Трехмерная геометрия и гипотеза униформизации

Введение

Трехмерный аналог гипотезы униформизации

В математике гипотеза геометризации Турстона утверждает, что каждое из определенных трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которую можно с ним связать. Это аналог теоремы об униформизации для двухмерных поверхностей, которая утверждает, что каждой односвязной поверхности Римана можно приписать одну из трех геометрий (евклидову, сферическую или гиперболическую). В трех измерениях не всегда возможно назначить единую геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое трехмерное многообразие можно каноническим образом разложить на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном и влечет за собой ряд других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза Турстона об эллиптизации. Теорема гиперболизации Турстона подразумевает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Турстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор несколько полных доказательств были опубликованы. Григорий Перельман объявил о доказательстве полной гипотезы геометризации в 2003 году, используя поток Риччи с хирургиями в двух статьях, размещенных на сервере препринтов arXiv.org. Работы Перельмана были изучены несколькими независимыми группами, которые создали книги и онлайн-рукописи, содержащие полные детали его рассуждений. Проверка была в основном завершена к моменту присуждения Перельману медали Филдса в 2006 году за его работу, а в 2010 году Институт математики Клэя присудил ему приз в 1 миллион долларов США за решение гипотезы Пуанкаре, от которого Перельман отказался. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической пространственной форме являются следствиями гипотезы геометризации, хотя существуют более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Геометрия универсального покрытия SL ((2, R)

Универсальное накрытие SL(2, R) обозначается как . Оно расслоено над H2, и пространство иногда называют "Twisted H2 × R". Группа G имеет 2 компоненты. Ее связная компонента единицы имеет структуру . Стабилизатор точки равен O(2,R). Примеры многообразий с этой геометрией включают: многообразие единичных векторов касательного расслоения гиперболической поверхности и, в более общем случае, сферы гомологии Брискорна (за исключением 3-сферы и пространства Пуанкаре-додекаэдра). Эту геометрию можно моделировать как левоинвариантическую метрику на группе Бьянки типа VIII или III. Многообразия конечного объема с этой геометрией ориентируемы и имеют структуру расслоения Зейферта. Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоениях Зейферта. При нормализованном потоке Риччи многообразия с этой геометрией сходятся к двумерному многообразию.

Ниль геометрия

Это расслоение над E2, и поэтому иногда называется "Скрученный E2 × R". Это геометрия группы Гейзенберга. Стабилизатор точки – O(2, R). Группа G имеет 2 компоненты и является полупрямым произведением трехмерной группы Гейзенберга и группы O(2, R) изометрий окружности. Компактные многообразия с этой геометрией включают в себя тор, полученный как факторпространство 2-тора по действию дехновского скручивания, или факторгруппу группы Гейзенберга по "целочисленной группе Гейзенберга". Эту геометрию можно моделировать как левоинвариантную метрику на группе Бианки типа II. Многообразия конечного объема с этой геометрией компактны и ориентируемы и имеют структуру расслоения над окружностью (пространства волокна Сейферта). Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоениях над окружностью Сейферта. При нормализованном потоке Риччи компактные многообразия с этой геометрией сходятся к R² с плоской метрикой.

Геометрия соля

Эта геометрия (также называемая геометрией Сольва) расслаивается над линией, имея в качестве волокна плоскость, и является геометрией единичной компоненты группы G. Стабилизатор точки — диэдрическая группа порядка 8. Группа G имеет 8 компонент и представляет собой группу отображений из двухмерного пространства Минковского в само себя, являющихся либо изометриями, либо умножающими метрику на −1. Единичная компонента имеет нормальную подгруппу R2 с факторгруппой R, где R действует на R2 с помощью 2 (действительных) собственных подпространств, с различными действительными собственными значениями, произведение которых равно 1. Это группа Бианки типа VI0, и геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на этой группе. Все многообразия конечного объема с геометрией Сольва компактны. Компактные многообразия с геометрией Сольва являются либо отображающим тором аносовского отображения 2-торуса (такое отображение является автоморфизмом 2-торуса, заданным обратимой матрицей 2x2, собственные значения которой действительны и различны, например), либо частными от этих многообразий по группам порядка не более 8. Собственные значения автоморфизма тора порождают порядок в вещественном квадратичном поле, и многообразия Сольва можно классифицировать в терминах единиц и классов идеалов этого порядка. При нормализованном потоке Риччи компактные многообразия с этой геометрией сходятся (довольно медленно) к R1.

Уникальность

Закрытое 3-многообразие имеет геометрическую структуру не более чем одного из 8 типов, перечисленных выше, но 3-многообразия конечного объема, не являющиеся компактными, могут иногда иметь более одного типа геометрической структуры. (Тем не менее, многообразие может иметь множество различных геометрических структур одного и того же типа; например, поверхность рода не менее 2 имеет континуум различных гиперболических метрик.) Более точно, если M — многообразие с геометрической структурой конечного объема, то тип геометрической структуры почти однозначно определяется фундаментальной группой π1(M) следующим образом:
Если π1(M) конечна, то геометрическая структура на M сферическая, и M компактна. Если π1(M) виртуально циклична, но не конечна, то геометрическая структура на M равна S2×R, и M компактна. Если π1(M) виртуально абелева, но не виртуально циклична, то геометрическая структура на M евклидова, и M компактна. Если π1(M) виртуально нилпотентна, но не виртуально абелева, то геометрическая структура на M — ниль-геометрия, и M компактна. Если π1(M) виртуально разрешима, но не виртуально нилпотентна, то геометрическая структура на M — геометрия solv, и M компактна. Коллектор M может быть как компактным, так и некомпактным. Если он компактен, то эти две геометрии можно различить по наличию или отсутствию подгруппы конечного индекса в π1(M), расщепляющейся в полупрямое произведение нормальной циклической подгруппы и некоторого другого фактора. Если многообразие не компактно, то фундаментальная группа не может различить эти две геометрии, и существуют примеры (например, дополнение узла-трефоли), где многообразие может иметь геометрическую структуру конечного объема любого из этих типов. Если π1(M) не имеет бесконечной нормальной циклической подгруппы и не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M гиперболическая, и M может быть как компактной, так и некомпактной. Многообразия бесконечного объема могут иметь множество различных типов геометрической структуры: например, R3 может иметь 6 из различных геометрических структур, перечисленных выше, поскольку 6 из 8 модельных геометрий гомеоморфны ему. Более того, если объем не обязан быть конечным, существует бесконечное число новых геометрических структур без компактных моделей; например, геометрия почти любой не унимодулярной трехмерной группы Ли. Может быть более одного способа разложить замкнутое 3-многообразие на части с геометрическими структурами. Например: взятие связных сумм с несколькими копиями S3 не изменяет многообразие. Связная сумма двух проективных 3-пространств имеет геометрию S2×R, а также является связной суммой двух частей с геометрией S3. Произведение поверхности отрицательной кривизны и окружности имеет геометрическую структуру, но также может быть разрезано вдоль торов, чтобы получить меньшие части, которые также имеют геометрические структуры. Существует множество подобных примеров для сефертовских расслоений. Можно выбрать "каноническое" разложение на части с геометрической структурой, например, сначала разрезая многообразие на простые части минимальным образом, а затем разрезая их с использованием наименьшего возможного числа торов. Однако это минимальное разложение не обязательно является тем, которое получается потоком Риччи; на самом деле, поток Риччи может разрезать многообразие на геометрические части многими неэквивалентными способами, в зависимости от выбора начальной метрики.

A closed 3 manifold has a geometric structure of at most one of the 8 types above, but finite volume non compact 3 manifolds can occasionally have more than one type of geometric structure. (Nevertheless, a manifold can have many different geometric structures of the same type; for example, a surface of genus at least 2 has a continuum of different hyperbolic metrics.) More precisely, if M is a manifold with a finite volume geometric structure, then the type of geometric structure is almost determined as follows, in terms of the fundamental group π1(M):
If π1(M) is finite then the geometric structure on M is spherical, and M is compact. If π1(M) is virtually cyclic but not finite then the geometric structure on M is S2×R, and M is compact. If π1(M) is virtually abelian but not virtually cyclic then the geometric structure on M is Euclidean, and M is compact. If π1(M) is virtually nilpotent but not virtually abelian then the geometric structure on M is nil geometry, and M is compact. If π1(M) is virtually solvable but not virtually nilpotent then the geometric structure on M is solv geometry, and M is compact. If π1(M) has an infinite normal cyclic subgroup but is not virtually solvable then the geometric structure on M is either H2×R or the universal cover of SL(2, R). The manifold M may be either compact or non compact. If it is compact, then the 2 geometries can be distinguished by whether or not π1(M) has a finite index subgroup that splits as a semidirect product of the normal cyclic subgroup and something else. If the manifold is non compact, then the fundamental group cannot distinguish the two geometries, and there are examples (such as the complement of a trefoil knot) where a manifold may have a finite volume geometric structure of either type. If π1(M) has no infinite normal cyclic subgroup and is not virtually solvable then the geometric structure on M is hyperbolic, and M may be either compact or non compact. Infinite volume manifolds can have many different types of geometric structure: for example, R3 can have 6 of the different geometric structures listed above, as 6 of the 8 model geometries are homeomorphic to it. Moreover if the volume does not have to be finite there are an infinite number of new geometric structures with no compact models; for example, the geometry of almost any non unimodular 3 dimensional Lie group. There can be more than one way to decompose a closed 3 manifold into pieces with geometric structures. For example:
Taking connected sums with several copies of S3 does not change a manifold. The connected sum of two projective 3 spaces has a S2×R geometry, and is also the connected sum of two pieces with S3 geometry. The product of a surface of negative curvature and a circle has a geometric structure, but can also be cut along tori to produce smaller pieces that also have geometric structures. There are many similar examples for Seifert fiber spaces. It is possible to choose a "canonical" decomposition into pieces with geometric structure, for example by first cutting the manifold into prime pieces in a minimal way, then cutting these up using the smallest possible number of tori. However this minimal decomposition is not necessarily the one produced by Ricci flow; in fact, the Ricci flow can cut up a manifold into geometric pieces in many inequivalent ways, depending on the choice of initial metric.

История

Медаль Филдса была присуждена Турстону в 1982 году частично за его доказательство гипотезы геометризации для многообразий Хакена. В 1982 году Ричард С. Гамильтон показал, что для замкнутого трехмерного многообразия с метрикой положительной кривизны Риччи поток Риччи сведет многообразие к точке за конечное время, что доказывает гипотезу геометризации для этого случая, поскольку метрика становится «почти круглой» непосредственно перед сжатием. Позже он разработал программу доказательства гипотезы геометризации с помощью потока Риччи и хирургии. Идея состоит в том, что поток Риччи в общем случае порождает сингулярности, но можно попытаться продолжить поток Риччи за сингулярностью, используя хирургию для изменения топологии многообразия. Грубо говоря, поток Риччи сжимает области с положительной кривизной и расширяет области с отрицательной кривизной, поэтому он должен устранять части многообразия с геометрией «положительной кривизны» S³ и S² × ℝ, а то, что останется при больших временах, должно иметь толсто-тонкое разложение на «толстую» часть с гиперболической геометрией и «тонкое» графовое многообразие. В 2003 году Григорий Перельман объявил о доказательстве гипотезы геометризации, показав, что поток Риччи действительно можно продолжить за сингулярностями и что он ведет себя так, как описано выше. Одним из компонентов доказательства Перельмана стала новая теорема о сжатии в римановой геометрии. Перельман не опубликовал никаких подробностей о доказательстве этого результата (теорема 7.4 в препринте «Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях»). Начиная с работ Шиоя и Ямагути, существует несколько различных доказательств теоремы о сжатии Перельмана или ее вариантов. Формулировка Шиоя и Ямагути была использована в первых полных и подробных изложениях работы Перельмана. Другой подход к последней части доказательства геометризации Перельмана — метод Лорана Бессиера и его соавторов, который использует теорему гиперболизации Турстона для многообразий Хакена и норму Громова для трехмерных многообразий. Книга тех же авторов, содержащая полные детали их версии доказательства, была опубликована Европейским математическим обществом.

The Fields Medal was awarded to Thurston in 1982 partially for his proof of the geometrization conjecture for Haken manifolds. In 1982, Richard S. Hamilton showed that given a closed 3 manifold with a metric of positive Ricci curvature, the Ricci flow would collapse the manifold to a point in finite time, which proves the geometrization conjecture for this case as the metric becomes "almost round" just before the collapse. He later developed a program to prove the geometrization conjecture by Ricci flow with surgery. The idea is that the Ricci flow will in general produce singularities, but one may be able to continue the Ricci flow past the singularity by using surgery to change the topology of the manifold. Roughly speaking, the Ricci flow contracts positive curvature regions and expands negative curvature regions, so it should kill off the pieces of the manifold with the "positive curvature" geometries S3 and S2 × R, while what is left at large times should have a thick–thin decomposition into a "thick" piece with hyperbolic geometry and a "thin" graph manifold. In 2003, Grigori Perelman announced a proof of the geometrization conjecture by showing that the Ricci flow can indeed be continued past the singularities, and has the behavior described above. One component of Perelman's proof was a novel collapsing theorem in Riemannian geometry. Perelman did not release any details on the proof of this result (Theorem 7.4 in the preprint 'Ricci flow with surgery on three manifolds'). Beginning with Shioya and Yamaguchi, there are now several different proofs of Perelman's collapsing theorem, or variants thereof. Shioya and Yamaguchi's formulation was used in the first fully detailed formulations of Perelman's work. A second route to the last part of Perelman's proof of geometrization is the method of Laurent Bessières and co authors, which uses Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds and Gromov's norm for 3 manifolds. A book by the same authors with complete details of their version of the proof has been published by the European Mathematical Society.

Более высокие размеры

В четырех измерениях геометрическое разложение допускается только для довольно ограниченного класса замкнутых 4-многообразий. Однако, списки максимальных моделей геометрий все еще могут быть приведены. Их общепринятые названия: E4, Nil4, Nil3 × E1, (счетное бесконечное семейство), H3 × E1, H2 × E2, H2 × H2, H4, H2(C) (комплексное гиперболическое пространство), F4 (касательный расслоение гиперболической плоскости), S2 × E2, S2 × H2, S3 × E1, S4, CP2 (комплексная проективная плоскость) и S2 × S2.