Кіріспе
жоқ Кестелерде 1-ден 1000-ға дейінгі табиғи сандардың жай көбейткіштері келтірілген. Егер n жай сан болса, оның жай көбейткіші тек n-нің өзі, төменде қалың әріппен көрсетілген. 1 саны бірлік деп аталады. Оның жай көбейткіштері жоқ, және ол жай да емес, құрама да емес.
The tables contain the prime factorization of the natural numbers from 1 to 1000. When n is a prime number, the prime factorization is just n itself, written in bold below. The number 1 is called a unit. It has no prime factors and is neither prime nor composite.
Қасиеттері
Натурал санның көптеген қасиеттерін n-нің алғашқы факторлануынан көруге немесе тікелей есептеуге болады. n-нің алғашқы факторы p-нің көбейтіндісі – pm n-ді бөлетін ең үлкен дәреже m болып табылады. Кестелер әр алғашқы фактордың көбейтіндісін көрсетеді. Егер дәреже жазылмаса, онда көбейтінді 1-ге тең (p = p¹). n-ді бөлмейтін жай санның көбейтіндісін 0 деп атауға болады немесе анықталмаған деп қарастыруға болады. Ω(n) – жай омега функциясы, n-нің жай факторларының саны, көбейтіндісімен есептелген (яғни, бұл барлық жай факторлардың көбейтінділерінің қосындысы). Жай сан үшін Ω(n) = 1. Біріншілері: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Жай сандардың көптеген ерекше түрлері бар. Құрама сан үшін Ω(n) > 1. Біріншілері: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. 1-ден жоғары сандардың барлығы жай немесе құрама сандар. 1 – екеуінің де бірі емес. Жартылай жай сан үшін Ω(n) = 2 (демек, ол құрама сан). Біріншілері: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34. k (k – табиғи сан) дерлік жай саны үшін Ω(n) = k (демек, k > 1 болса, ол құрама сан). Жұп санның жай факторы 2 болады. Біріншілері: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24. Тақ санның жай факторы 2 болмайды. Біріншілері: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23. Барлық бүтін сандар жұп немесе тақ болады. Квараттың барлық жай факторлары үшін жұп көбейтінді бар (ол a² түрінде, кейбір a үшін). Біріншілері: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Кубтың барлық көбейтінділері 3-ке бөлінеді (ол a³ түрінде, кейбір a үшін). Біріншілері: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728. Кемел дәрежедегі барлық көбейтінділер үшін ортақ бөлгіш m > 1 болады (ол am түрінде, кейбір a > 1 және m > 1 үшін). Біріншілері: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100. 1 кейде қосылады. Күшті сан (сонымен қатар квадратты деп аталады) барлық жай факторлары үшін 1-ден жоғары көбейтіндіге ие. Біріншілері: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72. Жай дәрежеде тек бір жай фактор болады. Біріншілері: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19. 1 кейде қосылады. Ахилл саны күшті, бірақ кемел емес. Біріншілері: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968. Квадратсыз бүтін санның 1-ден жоғары көбейтіндісі жоқ. Біріншілері: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17. Кейбір, бірақ барлық жай факторларының көбейтіндісі 1-ден жоғары емес сан, квадратсыз да, квадратты да емес. Лиувилл функциясы λ(n) – егер Ω(n) жұп болса 1, ал Ω(n) тақ болса -1. Мёбиус функциясы μ(n) – егер n квадратсыз болмаса 0. Әйтпесе, μ(n) – егер Ω(n) жұп болса 1, ал Ω(n) тақ болса -1. Сфендік сан үшін Ω(n) = 3 және квадратсыз (демек, ол 3 түрлі жай санның көбейтіндісі). Біріншілері: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154. a₀(n) – n-ді бөлетін жай сандардың қосындысы, көбейтіндісімен есептелген. Бұл қосу функциясы. Рут Арон жұбы – екі қатарлы сан (x, x+1), мұнда a₀(x) = a₀(x+1). Біріншісі (x мәні бойынша): 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248. Басқа анықтама – бір ғана рет саналған сол жай сан; егер солай болса, біріншісі (x мәні бойынша): 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299. Примириал x# – 2-ден x-ке дейінгі барлық жай сандардың көбейтіндісі. Біріншілері: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810. 1# = 1 кейде қосылады. Х-тің факториалы x! – 1-ден x-ке дейінгі сандардың көбейтіндісі. Біріншілері: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600. 0! = 1 кейде қосылады. k тегіс саны (k – табиғи сан) жай факторлары ≤ k (демек, ол кез келген j > k үшін j тегіс). m, n-нің ең үлкен жай факторы n-нің ең үлкенінен төмен болса, m, n-ден тегіс болады. Қалыпты санның 5-тен жоғары жай факторы болмайды (демек, ол 5 тегіс). Біріншілері: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16. k күштері жұмсақ санның pm ≤ k, мұнда p – m көбейтіндісі бар жай фактор. Асыл санның жай факторындағы цифрлар санынан көп цифрлар бар (төмендегі кестелер сияқты 1-ден жоғары көбейтінділерімен жазылғанда). Ондық санның біріншілері: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250. Тең сандық санның жай факторлармен бірдей сандары болады. Ондық санның біріншілері: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17. Ашықтық санның пропорционалды бөлшектерінен сан саны аз. Ондық санның біріншілері: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Экономикалық сан үнемді сан деп анықталған, сонымен қатар үнемді немесе тең сандық сан деп анықталған. gcd(m, n) (m және n-нің ең үлкен ортақ бөлгіші) – m және n-де (m және n үшін ең кіші көбейтіндісімен) бар барлық жай факторлардың көбейтіндісі. m және n – егер gcd(m, n) = 1 болса (яғни олардың ортақ жай көбейтіндісі жоқ) коприм (алмасуша пропорционалды деп те аталады). lcm(m, n) (m және n-нің ең кіші ортақ еселігі) – m немесе n-нің барлық жай көбейткіштерінің көбейтіндісі (m немесе n үшін ең үлкен көбейтіндісі бар). gcd(m, n) × lcm(m, n) = m × n. Бастапқы көбейткіштерді табу көбінесе басқа алгоритмдерді қолдану арқылы gcd және lcm есептеуден қиын. m, n-ді бөледі (немесе m, n-ді бөледі, немесе n, m-ге бөлінеді) егер m-нің барлық жай факторлары n-де кемінде осындай көбейтіндіге ие болса. n-нің бөлгіштері – n-нің жай факторларының барлығының (жай факторлардың бос көбейтіндісін қоса алғанда 1) көбейтінділері. Бөлгіштердің саны көбейтіндінің барлық дәрежелерін 1-ге арттыру арқылы және оларды көбейту арқылы есептелуі мүмкін. Бөлгіштер және бөлгіштерге қатысты қасиеттер кестеде көрсетілген.
The multiplicity of a prime factor p of n is the largest exponent m for which pm divides n. The tables show the multiplicity for each prime factor. If no exponent is written then the multiplicity is 1 (since p = p1). The multiplicity of a prime which does not divide n may be called 0 or may be considered undefined. Ω(n), the prime omega function, is the number of prime factors of n counted with multiplicity (so it is the sum of all prime factor multiplicities). A prime number has Ω(n) = 1. The first: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 There are many special types of prime numbers. A composite number has Ω(n) > 1. The first: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 All numbers above 1 are either prime or composite. 1 is neither. A semiprime has Ω(n) = 2 (so it is composite). The first: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34 A k almost prime (for a natural number k) has Ω(n) = k (so it is composite if k > 1). An even number has the prime factor 2. The first: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 An odd number does not have the prime factor 2. The first: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 All integers are either even or odd. A square has even multiplicity for all prime factors (it is of the form a2 for some a). The first: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 A cube has all multiplicities divisible by 3 (it is of the form a3 for some a). The first: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 A perfect power has a common divisor m > 1 for all multiplicities (it is of the form am for some a > 1 and m > 1). The first: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 1 is sometimes included. A powerful number (also called squareful) has multiplicity above 1 for all prime factors. The first: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72 A prime power has only one prime factor. The first: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 1 is sometimes included. An Achilles number is powerful but not a perfect power. The first: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968 A square free integer has no prime factor with multiplicity above 1. The first: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 A number where some but not all prime factors have multiplicity above 1 is neither square free nor squareful. The Liouville function λ(n) is 1 if Ω(n) is even, and is 1 if Ω(n) is odd. The Möbius function μ(n) is 0 if n is not square free. Otherwise μ(n) is 1 if Ω(n) is even, and is −1 if Ω(n) is odd. A sphenic number has Ω(n) = 3 and is square free (so it is the product of 3 distinct primes). The first: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154 a0(n) is the sum of primes dividing n, counted with multiplicity. It is an additive function. A Ruth Aaron pair is two consecutive numbers (x, x+1) with a0(x) = a0(x+1). The first (by x value): 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248 Another definition is the same prime only counted once; if so, the first (by x value): 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299 A primorial x# is the product of all primes from 2 to x. The first: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810 1# = 1 is sometimes included. A factorial x! is the product of all numbers from 1 to x. The first: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600 0! = 1 is sometimes included. A k smooth number (for a natural number k) has its prime factors ≤ k (so it is also j smooth for any j > k). m is smoother than n if the largest prime factor of m is below the largest of n.
A regular number has no prime factor above 5 (so it is 5 smooth). The first: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16 A k powersmooth number has all pm ≤ k where p is a prime factor with multiplicity m.
A frugal number has more digits than the number of digits in its prime factorization (when written like the tables below with multiplicities above 1 as exponents). The first in decimal: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250 An equidigital number has the same number of digits as its prime factorization. The first in decimal: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17 An extravagant number has fewer digits than its prime factorization. The first in decimal: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 An economical number has been defined as a frugal number, but also as a number that is either frugal or equidigital. gcd(m, n) (greatest common divisor of m and n) is the product of all prime factors which are both in m and n (with the smallest multiplicity for m and n). m and n are coprime (also called relatively prime) if gcd(m, n) = 1 (meaning they have no common prime factor). lcm(m, n) (least common multiple of m and n) is the product of all prime factors of m or n (with the largest multiplicity for m or n). gcd(m, n) × lcm(m, n) = m × n. Finding the prime factors is often harder than computing gcd and lcm using other algorithms which do not require known prime factorization. m is a divisor of n (also called m divides n, or n is divisible by m) if all prime factors of m have at least the same multiplicity in n.
The divisors of n are all products of some or all prime factors of n (including the empty product 1 of no prime factors). The number of divisors can be computed by increasing all multiplicities by 1 and then multiplying them. Divisors and properties related to divisors are shown in table of divisors.