Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая теорема
Mathematical theorem
В комплексном анализе теорема Римана об отображениях утверждает, что если – непустое простосвязное открытое подмножество комплексной плоскости , которое не является всей плоскостью, то существует биголоморфное отображение (то есть биективное голоморфное отображение, обратное к которому также голоморфно) из на открытый единичный диск.
In complex analysis, the Riemann mapping theorem states that if is a non empty simply connected open subset of the complex number plane which is not all of , then there exists a biholomorphic mapping (i. e. a bijective holomorphic mapping whose inverse is also holomorphic) from onto the open unit disk
Это отображение известно как отображение Римана. Интуитивно, условие простосвязности означает, что не содержит "дыр". Тот факт, что биголоморфно, подразумевает, что это конформное отображение и, следовательно, сохраняет углы. Такое отображение можно интерпретировать как сохранение формы любой достаточно малой фигуры, возможно, с вращением и масштабированием (но без отражения). Анри Пуанкаре доказал, что отображение определено с точностью до вращения и сдвига: если – элемент и – произвольный угол, то существует ровно одно отображение f, удовлетворяющее условиям и такое, что аргумент производной в точке равен . Это непосредственное следствие леммы Шварца. Как следствие теоремы, любые два простосвязных открытых подмножества сферы Римана, в которых отсутствует по крайней мере две точки сферы, могут быть конформно отображены друг в друга.
This mapping is known as a Riemann mapping. Intuitively, the condition that be simply connected means that does not contain any “holes”. The fact that is biholomorphic implies that it is a conformal map and therefore angle preserving. Such a map may be interpreted as preserving the shape of any sufficiently small figure, while possibly rotating and scaling (but not reflecting) it. Henri Poincaré proved that the map is unique up to rotation and recentering: if is an element of and is an arbitrary angle, then there exists precisely one f as above such that and such that the argument of the derivative of at the point is equal to This is an easy consequence of the Schwarz lemma. As a corollary of the theorem, any two simply connected open subsets of the Riemann sphere which both lack at least two points of the sphere can be conformally mapped into each other.
История
Теорема была сформулирована (при условии, что граница области является кусочно гладкой) Бернардом Риманом в 1851 году в его докторской диссертации. Ларс Ахлфорс однажды писал об изначальной формулировке теоремы, что она была «в конечном счете выражена терминами, которые сделали бы невозможной любую попытку доказательства, даже с использованием современных методов». Некорректное доказательство Римана опиралось на принцип Дирихле (который был назван самим Риманом), который в то время считался обоснованным. Однако Карл Вейерштрасс показал, что этот принцип не является универсально верным. Позже Давид Гильберт смог доказать, что принцип Дирихле в значительной степени справедлив при тех предположениях, с которыми работал Риман. Однако для своей справедливости принцип Дирихле требует определенных предположений относительно границы области (а именно, что это кривая Жордана), которые не выполняются для просто связных областей в общем случае. Первое строгое доказательство теоремы было дано Уильямом Фоггом Осгудом в 1900 году. Он доказал существование функции Грина на произвольных просто связных областях, отличных от самой себя; это установило теорему о отображениях Римана. Константин Каратеодори представил другое доказательство теоремы в 1912 году, которое впервые полностью основывалось на методах теории функций, а не теории потенциала. В его доказательстве использовалась концепция нормальных семей Монтеля, которая стала стандартным методом доказательства в учебниках. Каратеодори продолжил свои исследования в 1913 году, решив дополнительный вопрос о том, можно ли расширить отображение Римана между областями до гомеоморфизма их границ (см. теорему Каратеодори). В доказательстве Каратеодори использовались римановы поверхности, и два года спустя Пол Коэбе упростил его таким образом, что они стали не нужны. Еще одно доказательство, принадлежащее Липоту Фейеру и Фригешу Риешу, было опубликовано в 1922 году и оказалось значительно короче предыдущих. В этом доказательстве, как и в доказательстве Римана, искомое отображение было получено как решение экстремальной задачи. Доказательство Фейера — Риеша было дополнительно упрощено Александром Островским и Каратеодори.
The theorem was stated (under the assumption that the boundary of is piecewise smooth) by Bernhard Riemann in 1851 in his PhD thesis. Lars Ahlfors wrote once, concerning the original formulation of the theorem, that it was “ultimately formulated in terms which would defy any attempt of proof, even with modern methods”. Riemann's flawed proof depended on the Dirichlet principle (which was named by Riemann himself), which was considered sound at the time. However, Karl Weierstrass found that this principle was not universally valid. Later, David Hilbert was able to prove that, to a large extent, the Dirichlet principle is valid under the hypothesis that Riemann was working with. However, in order to be valid, the Dirichlet principle needs certain hypotheses concerning the boundary of (namely, that it is a Jordan curve) which are not valid for simply connected domains in general. The first rigorous proof of the theorem was given by William Fogg Osgood in 1900. He proved the existence of Green's function on arbitrary simply connected domains other than itself; this established the Riemann mapping theorem. Constantin Carathéodory gave another proof of the theorem in 1912, which was the first to rely purely on the methods of function theory rather than potential theory. His proof used Montel's concept of normal families, which became the standard method of proof in textbooks. Carathéodory continued in 1913 by resolving the additional question of whether the Riemann mapping between the domains can be extended to a homeomorphism of the boundaries (see Carathéodory's theorem). Carathéodory's proof used Riemann surfaces and it was simplified by Paul Koebe two years later in a way that did not require them. Another proof, due to Lipót Fejér and to Frigyes Riesz, was published in 1922 and it was rather shorter than the previous ones. In this proof, like in Riemann's proof, the desired mapping was obtained as the solution of an extremal problem. The Fejér–Riesz proof was further simplified by Alexander Ostrowski and by Carathéodory.
Скетч-доказательство с помощью задачи Дирихле
При заданных U и точке, мы хотим построить функцию, которая отображает U в единичный диск и в . Для данного эскиза предположим, что U ограничен и его граница гладкая, как это делал Риман. Запишем
Given and a point , we want to construct a function which maps to the unit disk and to For this sketch, we will assume that U is bounded and its boundary is smooth, much like Riemann did. Write
где f – некоторая (определяемая) голоморфная функция с действительной частью u и мнимой частью v. Тогда ясно, что f имеет единственный ноль, который нам нужен для , поэтому нам необходимо
where is some (to be determined) holomorphic function with real part and imaginary part It is then clear that is the only zero of We require for , so we need
на границе. Поскольку u является действительной частью голоморфной функции, мы знаем, что u обязательно является гармонической функцией, то есть удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда возникает вопрос: существует ли гармоническая функция с вещественными значениями, определенная на всем U и удовлетворяющая заданному граничному условию? Положительный ответ дает принцип Дирихле. После установления существования u, уравнения Коши — Римана для голоморфной функции f позволяют нам найти v (этот аргумент зависит от предположения, что U просто связно). После построения u и v необходимо проверить, что полученная функция f действительно обладает всеми требуемыми свойствами.
on the boundary. Since is the real part of a holomorphic function, we know that is necessarily a harmonic function; i. e., it satisfies Laplace's equation. The question then becomes: does a real valued harmonic function exist that is defined on all of and has the given boundary condition? The positive answer is provided by the Dirichlet principle. Once the existence of has been established, the Cauchy–Riemann equations for the holomorphic function allow us to find (this argument depends on the assumption that be simply connected). Once and have been constructed, one has to check that the resulting function does indeed have all the required properties.
Теорема унифицирования
Теорему Римана об отображениях можно обобщить на случай поверхностей Римана: если U — непустое односвязное открытое подмножество поверхности Римана, то U биголоморфно к одной из следующих областей: сфере Римана, комплексной плоскости или единичному диску. Это известно как теорема об униформизации.
The Riemann mapping theorem can be generalized to the context of Riemann surfaces: If is a non empty simply connected open subset of a Riemann surface, then is biholomorphic to one of the following: the Riemann sphere, the complex plane , or the unit disk This is known as the uniformization theorem.
Гладкая теорема отображения Римана
В случае простосвязного ограниченного домена с гладкой границей функция Римана и все её производные непрерывно продолжаются на замыкание домена. Это можно доказать, используя свойства регулярности решений задачи Дирихле, вытекающие либо из теории пространств Соболева для плоских областей, либо из классической потенциальной теории. Другие методы доказательства теоремы о гладком отображении Римана включают теорию ядерных функций или уравнение Бельтрами.
In the case of a simply connected bounded domain with smooth boundary, the Riemann mapping function and all its derivatives extend by continuity to the closure of the domain. This can be proved using regularity properties of solutions of the Dirichlet boundary value problem, which follow either from the theory of Sobolev spaces for planar domains or from classical potential theory. Other methods for proving the smooth Riemann mapping theorem include the theory of kernel functions or the Beltrami equation.