Кіріспе

Бастапқы интеграл элементарлық есептеу математикасының нақты талдау саласында Бернхард Риман жасаған Риман интегралы, функцияның интервалдағы интегралының алғашқы қатаң анықтамасы болды. Ол 1854 жылы Геттинген университетінің факультетіне ұсынылды, бірақ 1868 жылға дейін журналда жарияланбады. Көптеген функциялар мен практикалық қолданулар үшін Риман интегралын есептеудің негізгі теоремасымен есептеуге болады немесе сандық интеграция арқылы жуықтауға болады, немесе Монте-Карло интеграциясын қолдану арқылы симуляциялауға болады.

Шолу

f [a, b] аралығында теріс емес нақты мәнді функция болсын, ал S функция графигінің астындағы және [a, b] аралығынан жоғарыдағы жазықтықтағы аймақ болсын. Оң жақтағы жоғарғы суретті қараңыз. Бұл аймақты жиынтық құраушы белгісімен былай көрсетуге болады:

Біз S аймағының ауданын өлшеуге қызығушымыз. Оны өлшегеннен кейін, ауданын әдеттегідей былай белгілейміз:

Риман интегралының негізгі идеясы S аймағының ауданы үшін өте қарапайым жуықтамаларды пайдалану болып табылады. Жақсырақ және жақсырақ жуықтамалар алу арқылы, "шекке жеткенде" қисық астындағы S аймағының нақты ауданын аламыз дей аламыз. Егер f(x) теріс мәндер қабылдаса, интеграл f графигі мен x осьі арасындағы белгіленген ауданға тең болады: яғни, x осьінің үстіндегі аудан x осьінің астындағы ауданнан азайтылған мән.

Риманның қосындысы

f [a, b] аралығында анықталған нақты мәнді функция болсын. f функциясының x0, ..., xn белгіленген бөліміне және t0, ..., tn-1 таңдалған нүктелерге сәйкес Риман қосындысы келесідей беріледі:

Қосындының әрбір мүшесі – функцияның берілген нүктедегі мәні мен аралықтың ұзындығының көбейтіндісі. Сәйкесінше, әрбір мүше f(ti) биіктігі және xi+1 – xi ені бар тіктөртбұрыштың (белгіленген) ауданын көрсетеді. Риман қосындысы – барлық тіктөртбұрыштардың (белгіленген) аудандарының қосындысы. Тығыз байланысты түсініктер – төменгі және жоғарғы Дарбукс қосындылары. Бұл Риман қосындыларына ұқсас, бірақ таңдалған нүктелер әр кіші аралықтағы f функциясының инфимумы және супремумымен (сәйкесінше) ауыстырылады:

Егер f үздіксіз болса, онда белгіленбеген бөлім үшін төменгі және жоғарғы Дарбукс қосындылары сол бөлімнің Риман қосындысына тең болады, мұнда таңдалған нүктелер әр кіші аралықтағы f функциясының ең төменгі немесе ең жоғары мәні (сәйкесінше) ретінде таңдалады. (Егер f кіші аралықта үздіксіз болмаса, онда сол кіші аралықта инфимумға немесе супремумға жететін таңдалған нүкте болмауы мүмкін.) Дарбукс интегралы, Риман интегралына ұқсас, бірақ Дарбукс қосындыларына негізделген, Риман интегралына эквивалентті.

Ұқсас ұғымдар

Риман интегралын Дарбукс интегралы деп анықтау кең таралған. Бұл Дарбукс интегралы техникалық тұрғыдан қарапайым болғандықтан, және функция Риман интегралданатын болса ғана, ол Дарбукс интегралданатын болады. Кейбір оқулықтар жалпы белгіленген бөліктерді пайдаланбай, тек белгіленген бөліктердің белгілі бір түрлерімен ғана шектеледі. Егер бөлік түрі тым шектеулі болса, кейбір интегралдана алмайтын функциялар интегралданатын сияқты көрінуі мүмкін. Бір танымал шектеу – «сол жақтан» және «оң жақтан» Риман қосындыларын пайдалану. Сол жақ Риман қосындысында, барлық i үшін, ал оң жақ Риман қосындысында, барлық i үшін. Бұл шектеудің өзі проблема тудырмайды: кез келген бөлікті әрбір tᵢ бойынша бөліп, оны сол немесе оң жақ қосындысына айналдыруға болады. Формальды тілмен айтқанда, барлық сол жақ Риман қосындыларының жиыны және барлық оң жақ Риман қосындыларының жиыны, барлық белгіленген бөліктер жиынында кофинал болып табылады. Тағы бір танымал шектеу – аралықтың реттелген бөліністерін пайдалану. Мысалы, [0, 1] аралығының n-ші реттелген бөлінісі келесі аралықтардан тұрады.

Тағы да, бұл шектеудің өзі проблема тудырмайды, бірақ осы фактіні түсіну үшін қажетті ойлау, сол және оң жақ Риман қосындыларына қарағанда қиын. Дегенмен, осы шектеулерді біріктіру, яғни реттелген аралықтарда тек сол немесе оң жақ Риман қосындыларын пайдалану қауіпті. Егер функцияның Риман интегралданатыны алдын ала белгілі болса, онда бұл әдіс интегралдың дұрыс мәнін береді. Бірақ осы шарттарда индикатор функциясы [0, 1] аралығында интегралы 1-ге тең интегралданатын болып көрінеді: әрбір кіші аралықтың әрбір соңғы нүктесі рационал сан болады, сондықтан функция әрқашан рационал сандарда есептеледі, демек, ол әрқашан 1-ге тең болады. Бұл анықтаманың мәселесі интегралды екіге бөлуге тырысқанда айқын болады. Келесі теңдеу орындалуы керек:

Егер біз реттелген бөліністерді және сол немесе оң жақ Риман қосындыларын қолдансақ, онда сол жақтағы екі мүше нөлге тең болады, өйткені 0 және 1-ден басқа барлық нүктелер иррационал болады, бірақ оң жақтағы мүше, біз көргендей, 1-ге тең болады. Жоғарыда айтылғандай, Риман интегралы осы мәселені интегралдаудан бас тарту арқылы болдырмайды. Лебег интегралы барлық осы интегралдар 0-ге тең етіп анықталады.

Басқа интеграция теорияларымен салыстыру

Риман интегралы көптеген теориялық мақсаттар үшін қолайсыз. Риман интеграциясындағы кейбір техникалық кемшіліктер Риман-Стильджес интегралымен түзетілуі мүмкін, ал көбісі Лебег интегралымен жоғалады, бірақ соңғысы бұрыс интегралдарды толыққанды қарастырмайды. Гауж интегралы – Лебег интегралының жалпыламасы, сонымен бірге Риман интегралына жақын. Бұл жалпы теориялар Риман интегралы жоқ, бірақ "тігірулі" немесе "қатты тербелісті" функцияларды интегралдауға мүмкіндік береді; бірақ теориялар Риман интегралы бар болған жағдайда, осымен бірдей мән береді. Оқу ортасында Дарбу интегралы қарапайым анықтама ұсынады, онымен жұмыс істеу оңай; оны Риман интегралын енгізу үшін қолдануға болады. Дарбу интегралы Риман интегралы бар кезде анықталады және әрқашан бірдей нәтиже береді. Керісінше, гауж интегралы – Риман интегралының қарапайым, бірақ күшті жалпыламасы және кейбір оқытушыларды кіріспе есептеу курстарында Риман интегралын алмастыру қажет деп ұсынуға итермеледі.