Введение

Базовый интеграл в элементарном исчислении

В области математики, известной как вещественный анализ, интеграл Римана, разработанный Бернхардом Риманом, стал первым строгим определением интеграла функции на интервале. Он был представлен на рассмотрение факультету Геттингенского университета в 1854 году, но опубликован в журнале лишь в 1868 году. Для многих функций и в практических приложениях интеграл Римана можно вычислить с помощью фундаментальной теоремы исчисления, аппроксимировать численным интегрированием или смоделировать, используя метод Монте-Карло.

Обзор

Пусть f — неотрицательная вещественнозначная функция на интервале [a, b], и пусть S — область на плоскости, расположенная под графиком функции f и над интервалом [a, b]. См. рисунок в правом верхнем углу. Эту область можно выразить в виде множества, заданного условием:

Нас интересует измерение площади S. Как только мы измерим ее, мы будем обозначать площадь обычным способом:

Основная идея интеграла Римана заключается в использовании очень простых приближений для площади S. Улучшая эти приближения, мы можем сказать, что "в пределе" мы получаем точное значение площади S под кривой. Если f(x) может принимать отрицательные значения, то интеграл равен алгебраической площади между графиком f и осью x: то есть площади над осью x минус площадь под осью x.

Сумма Римана

Пусть f – функция, принимающая действительные значения, определенная на интервале [a, b]. Сумма Римана функции f относительно разбиения x0, ..., xn с выбранными точками t0, ..., tn–1 определяется как

Каждый член этой суммы является произведением значения функции в заданной точке и длины соответствующего интервала. Следовательно, каждый член представляет собой (знаковую) площадь прямоугольника с высотой f(ti) и шириной xi+1 – xi. Сумма Римана – это (знаковая) площадь всех этих прямоугольников. Тесно связанными понятиями являются нижняя и верхняя суммы Дарбукса. Они аналогичны суммам Римана, но выбранные точки заменяются на инфимум и супремум (соответственно) функции f на каждом подинтервале:

Если f непрерывна, то нижняя и верхняя суммы Дарбукса для разбиения без выбранных точек равны сумме Римана для этого разбиения, при условии, что выбранные точки являются минимумом или максимумом (соответственно) функции f на каждом подинтервале. (Когда f разрывна на подинтервале, может не существовать выбранной точки, достигающей инфимума или супремума на этом подинтервале.) Интеграл Дарбукса, который аналогичен интегралу Римана, но основан на суммах Дарбукса, эквивалентен интегралу Римана.

Похожие понятия

Популярно определять интеграл Римана как интеграл Дарбукса. Это связано с тем, что интеграл Дарбукса технически проще и с тем, что функция является римано-интегрируемой тогда и только тогда, когда она является дарбу-интегрируемой. Некоторые учебники по математическому анализу не используют общие разбиения с метками, а ограничиваются определенными типами разбиений с метками. Если тип разбиения слишком ограничен, некоторые неинтегрируемые функции могут казаться интегрируемыми. Одним из распространенных ограничений является использование сумм Римана «левой руки» и «правой руки». В сумме Римана «левой руки» для всех i, а в сумме Римана «правой руки» для всех i. Само по себе это ограничение не создает проблем: любое разбиение можно уточнить таким образом, чтобы оно стало суммой «левой руки» или «правой руки», разбив его в каждой точке ti. На более формальном языке, множество всех сумм Римана «левой руки» и множество всех сумм Римана «правой руки» является кофинальным в множестве всех разбиений с метками. Другое распространенное ограничение — использование регулярных разбиений интервала. Например, n-е регулярное разбиение [0, 1] состоит из интервалов.

Опять же, само по себе это ограничение не создает проблем, но рассуждения, необходимые для понимания этого факта, сложнее, чем в случае сумм Римана «левой руки» и «правой руки». Однако объединение этих ограничений, то есть использование только сумм Римана «левой руки» или «правой руки» на регулярно разбитых интервалах, опасно. Если функция заранее известна как римано-интегрируемая, то этот метод даст правильное значение интеграла. Но при этих условиях индикаторная функция будет казаться интегрируемой на [0, 1] с интегралом, равным единице: каждая конечная точка каждого подинтервала будет рациональным числом, поэтому функция всегда будет вычисляться в рациональных точках, и, следовательно, будет казаться всегда равной единице. Проблема с этим определением становится очевидной, когда мы пытаемся разбить интеграл на две части. Следующее уравнение должно выполняться:

Если мы используем регулярные разбиения и суммы Римана «левой руки» или «правой руки», то два члена слева равны нулю, поскольку любая конечная точка, кроме 0 и 1, будет иррациональной, но, как мы видели, член справа будет равен 1. Как определено выше, интеграл Римана избегает этой проблемы, отказываясь интегрировать. Интеграл Лебега определяется таким образом, что все эти интегралы равны 0.

Сравнение с другими теориями интеграции

Интеграл Римана непригоден для многих теоретических целей. Некоторые технические недостатки интеграла Римана можно устранить с помощью интеграла Римана — Стильтьеса, а большинство из них исчезают при использовании интеграла Лебега, хотя последний не имеет удовлетворительного подхода к несобственным интегралам. Интеграл-мера является обобщением интеграла Лебега, которое одновременно ближе к интегралу Римана. Эти более общие теории позволяют интегрировать более "изрезанные" или "сильно колеблющиеся" функции, интеграл Римана для которых не существует; однако эти теории дают такое же значение, как и интеграл Римана, когда он существует. В учебных целях интеграл Дарбу предлагает более простое определение, с которым легче работать, и его можно использовать для введения интеграла Римана. Интеграл Дарбу определяется всякий раз, когда определен интеграл Римана, и всегда дает один и тот же результат. В свою очередь, интеграл-мера является простым, но более мощным обобщением интеграла Римана, и это побудило некоторых преподавателей предлагать заменить интеграл Римана интегралом-мерой во вводных курсах математического анализа.