Эвклид емес геометрия: Эллиптикалық геометрияның негіздері

Кіріспе

Эллиптік геометрия — Евклидтің параллельдік постулаты қолданылмайтын геометрияның мысалы. Оның орнына, сфералық геометриядағыдай, кез келген екі түзудің қиысуы міндетті, сондықтан параллель түзулер жоқ. Дегенмен, сфералық геометриядан өзгеше, екі түзу әдетте бір нүктеде қиысады (екі емес). Осы себепті, осы мақалада сипатталған эллиптік геометрия кейде бір эллиптік геометрия деп аталады, ал сфералық геометрия кейде қос эллиптік геометрия деп аталады. Бұл геометрияның XIX ғасырда пайда болуы, жалпы Евклид емес геометрияның, оның ішінде гиперболалық геометрияның дамуына серпін берді. Эллиптік геометрия классикалық Евклидтік жазық геометриясынан өзгеше көптеген қасиеттерге ие. Мысалы, кез келген үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы әрқашан 180°-тан асады.

Анықтамалар

Эллипстік геометрияда берілген түзуге перпендикуляр екі түзу міндетті түрде қиылысуы керек. Шындығында, бір жақтағы перпендикулярлардың бәрі сол түзудің абсолютті полюсі деп аталатын жалғыз нүктеде қиылысады. Екінші жақтағы перпендикулярлар да бір нүктеде қиылысады. Дегенмен, сфералық геометриядан айырмашылығы, екі жақтағы полюстер бірдей болады. Өйткені эллипстік геометрияда антиподальді нүктелер жоқ. Мысалы, бұл гиперсфералық модельде (төменде сипатталған) геометриямыздағы "нүктелерді" шардың қарама-қарсы нүктелер жұбы ретінде жасау арқылы қол жеткізіледі. Мұның себебі – эллипстік геометрияға кез келген екі нүкте арқылы өтетін бірегей түзу бар деген аксиоманы қанағаттандыруға мүмкіндік беру. Кез келген нүктеге абсолютті полюс болып табылатын абсолютті поляр түзу сәйкес келеді. Осы поляр түзудегі кез келген нүкте полюспен абсолютті конъюгат жұпты құрайды. Мұндай нүктелер жұбы ортогональды, ал олардың арасындағы қашықтық бір квадрантқа тең. Нүктелер жұбының арасындағы қашықтық олардың абсолютті полярлары арасындағы бұрышқа пропорционалды.

Эллипстік жазықтық

Эллипстік жазықтық — метрикамен жабдықталған нақты проективтік жазықтық. Кеплер мен Десарг σ жазықтығын оған жанасқан жарты шардың нүктелерімен байланыстыру үшін гномоникалық проекцияны қолданды. O жарты шардың центрі болғанда, σ жазықтығындағы P нүктесі жарты шарды қиып өтетін OP түзуін анықтайды, ал кез келген L түзуі σ жазықтығында жарты шарды үлкен шеңбердің жартысында қиып өтетін OL жазықтығын анықтайды. Жарты шарды O арқылы өтетін және σ-ға параллель жазықтық шектейді. σ-ның кез келген қарапайым түзуі осы жазықтыққа сәйкес келмейді; оның орнына σ-ға шексіз түзу қосылады. σ-ның осы кеңейтілген түріндегі кез келген түзу O арқылы өтетін жазықтыққа сәйкес келеді, және мұндай жазықтықтардың кез келген жұбы O арқылы өтетін түзуде қиылысады, сондықтан кеңейтілген түзулердің кез келген жұбы қиылысады деген қорытындыға келуге болады: қиылысу нүктесі жазықтықтардың қиылысы σ немесе шексіз түзуде орналасқан. Осылайша, проективтік геометрияның аксиомасы, яғни жазықтықтағы барлық түзу жұптарының қиылысуын талап ететін қағидасы расталады. Егер P және Q нүктелері σ жазықтығында берілген болса, олардың арасындағы эллипстік қашықтық POQ бұрышының өлшемімен анықталады, әдетте радиандармен өлшенеді. Артур Кейли «Алысты анықтау туралы» еңбегін жазғанда эллипстік геометрияны зерттеуді бастады. Геометриядағы абстракцияға жасалған бұл қадамнан кейін Феликс Клейн мен Бернхард Риман эвклидтік емес геометрия мен Риман геометриясын дамытты.

Евклид геометриясымен салыстыру

Евклид геометриясында фигураны шексіз жоғары немесе төмен масштабтауға болады, ал нәтижедегі фигуралар ұқсас, яғни олардың бұрыштары мен ішкі пропорциялары бірдей. Эллипстік геометрияда мұндай мүмкіндік жоқ. Мысалы, сфералық модельде кез келген екі нүкте арасындағы қашықтық сфераның жартылай шеңберінен кем болуы керек (антиподальді нүктелер бірдей саналатынын ескерсек). Сондықтан түзу сызық сегментін шексіз масштабтау мүмкін емес. Евклид геометриясының көп бөлігі эллипстік геометрияға тікелей көшеді. Мысалы, Евклидтің бірінші және төртінші постулаттары – кез келген екі нүкте арасында тек бір түзу сызық өтеді және барлық тік бұрыштар тең болады – эллипстік геометрияда да қолданылады. Үшінші постулат, яғни кез келген орталық пен радиуспен шеңбер салуға болады, егер "кез келген радиус" дегеніміз "кез келген нақты сан" болса, орындалмайды, бірақ егер "кез келген сызық сегментінің ұзындығы" деген мағынада түсінілсе, орындалады. Демек, Евклид геометриясындағы осы үш постулаттан туындайтын кез келген нәтиже эллипстік геометрияда да орындалады. Мысалы, "Элементтер" кітабының бірінші бөліміндегі бірінші теоремада айтылғандай, берілген түзу сызық сегментіне сүйене отырып, теңқабырлы үшбұрыс салуға болады. Эллипстік геометрия кеңістіктің үздіксіз, біртекті, изотропты және шекарасыз екендігі жағынан да Евклид геометриясына ұқсас. Изотропия төртінші постулатпен, яғни барлық тік бұрыштар теңдігімен қамтамасыз етіледі. Біртектілікке мысал ретінде Евклидтің I.1 теоремасы келтірілуі мүмкін, ол бір теңқабырлы үшбұрысты кез келген жерде салуға болатынын көрсетеді, ерекше қасиеттері бар жерлерде ғана емес. Шекараның болмауы екінші постулаттан, яғни түзу сызық сегментін ұзарту мүмкіндігінен туындайды. Эллипстік геометрияның Евклид геометриясынан ерекшелігі – үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 градустан асады. Мысалы, сфералық модельде үш оң координата осьтері сфераны қиып өтетін нүктелерде үшбұрыс салынуы мүмкін, онда оның барлық үш ішкі бұрышы 90 градусқа тең болып, жалпы сомасы 270 градусқа жетеді. Үшбұрыш көлемі кіші болғанда, 180 градустан артық мөлшерді кез келген қалағандай кіші етуге болады. Пифагор теоремасы эллипстік геометрияда орындалмайды. Жоғарыда сипатталған 90°-90°-90° үшбұрышта барлық үш қабырғасының ұзындығы бірдей, сондықтан Пифагор теоремасы орындалмайды. Алайда, кіші үшбұрыштардың шегінде Пифагор теоремасы қайта қалпына келеді. Шеңбердің ұзындығының ауданына қатынасы Евклид геометриясындағыдан кіші. Жалпы алғанда, аудан мен көлем сызықтық өлшемдердің екінші және үшінші дәрежелеріне пропорционалды түрде өспейді.

In Euclidean geometry, a figure can be scaled up or scaled down indefinitely, and the resulting figures are similar, i. e., they have the same angles and the same internal proportions. In elliptic geometry, this is not the case. For example, in the spherical model we can see that the distance between any two points must be strictly less than half the circumference of the sphere (because antipodal points are identified). A line segment therefore cannot be scaled up indefinitely. A great deal of Euclidean geometry carries over directly to elliptic geometry. For example, the first and fourth of Euclid's postulates, that there is a unique line between any two points and that all right angles are equal, hold in elliptic geometry. Postulate 3, that one can construct a circle with any given center and radius, fails if "any radius" is taken to mean "any real number", but holds if it is taken to mean "the length of any given line segment". Therefore any result in Euclidean geometry that follows from these three postulates will hold in elliptic geometry, such as proposition 1 from book I of the Elements, which states that given any line segment, an equilateral triangle can be constructed with the segment as its base. Elliptic geometry is also like Euclidean geometry in that space is continuous, homogeneous, isotropic, and without boundaries. Isotropy is guaranteed by the fourth postulate, that all right angles are equal. For an example of homogeneity, note that Euclid's proposition I.1 implies that the same equilateral triangle can be constructed at any location, not just in locations that are special in some way. The lack of boundaries follows from the second postulate, extensibility of a line segment. One way in which elliptic geometry differs from Euclidean geometry is that the sum of the interior angles of a triangle is greater than 180 degrees. In the spherical model, for example, a triangle can be constructed with vertices at the locations where the three positive Cartesian coordinate axes intersect the sphere, and all three of its internal angles are 90 degrees, summing to 270 degrees. For sufficiently small triangles, the excess over 180 degrees can be made arbitrarily small. The Pythagorean theorem fails in elliptic geometry. In the 90°–90°–90° triangle described above, all three sides have the same length, and consequently do not satisfy The Pythagorean result is recovered in the limit of small triangles. The ratio of a circle's circumference to its area is smaller than in Euclidean geometry. In general, area and volume do not scale as the second and third powers of linear dimensions.

Гиперсфералық модель

Гиперсфералық модель – сфералық модельдің жоғары өлшемдерге обобщалануы. n өлшемді эллиптикалық кеңістіктің нүктелері – Rn+1 кеңістігіндегі бірлік векторлардың (x, −x) жұптары, яғни (n + 1) өлшемді кеңістіктегі бірлік шардың бетіндегі антиподальді нүктелердің жұптары. Бұл модельдегі түзулер – үлкен шеңберлер, яғни гиперсфераның бастапқы нүктеден өтетін n өлшемді жазық гипербеттермен қиылысуы.

Проективті эллипстік геометрия

Эллиптік геометрияның проекциялық моделінде n өлшемді нақты проекциялық кеңістіктің нүктелері модельдің нүктелері ретінде пайдаланылады. Бұл, проективтік геометрия деп те аталатын, абстрактілі эллиптік геометрияны моделідейді. n өлшемді проекциялық кеңістіктің нүктелерін (n + 1) өлшемді кеңістіктегі бастапқы нүкте арқылы өтетін түзулермен анықтауға болады, ал Rn+1-дегі нөлдік емес векторлармен бірегей емес түрде бейнелеуге болады, мұнда u және λu, кез келген нөлдік емес скаляр λ үшін, бірдей нүктені көрсетеді. Қашықтық мына метрика арқылы анықталады:

яғни, екі нүкте арасындағы қашықтық, Rn+1 кеңістігіндегі оларға сәйкес түзулер арасындағы бұрышқа тең. Қашықтық формуласы әрбір айнымалы бойынша біртекті, және егер λ және μ нөлдік емес скалярлар болса, онда 1=d(λu, μv) = d(u, v) теңдігі орындалады, сондықтан ол проекциялық кеңістіктің нүктелерінде қашықтықты анықтайды. Проективтік эллиптік геометрияның ерекше қасиеті – жазықтық сияқты жұп өлшемдер үшін, геометрия бағдарланбайды. Ол, сағат тілімен және сағат тіліне қарсы айналу арасындағы айырмашылықты жойып, оларды теңестіреді.

Өзін-өзі сәйкестік

Сфералық эллиптік геометрияны, мысалы, Евклид кеңістігінің сфералық ішкі кеңістігі ретінде модельдеуге болады, сондықтан Евклид геометриясы өзіне қатысты дұрыс болса, сфералық эллиптік геометрия да дұрыс болады. Демек, Евклид геометриясының қалған төрт постулатына сүйене отырып, параллельдік постулатты дәлелдеу мүмкін емес. Тарски элементар Евклид геометриясы толық екенін дәлелдеді: кез келген теорема үшін оның дұрыс немесе бұрыс екенін көрсете алатын алгоритм бар. (Бұл Гёдель теоремасына қайшы келмейді, себебі Евклид геометриясы теореманың қолданылуы үшін жеткілікті арифметиканы сипаттауға қабілетсіз.) Осыдан келіп, элементар эллиптік геометрия да өзіне қатысты дұрыс және толық екені шығады.