Неевклидова геометрия: Эллиптическая геометрия и её особенности

Введение

Неевклидова геометрия

Эллиптическая геометрия является примером геометрии, в которой не выполняется параллельный постулат Евклида. Вместо этого, как и в сферической геометрии, параллельных линий не существует, поскольку любые две линии должны пересекаться. Однако, в отличие от сферической геометрии, обычно предполагается, что две линии пересекаются в одной точке (а не в двух). В связи с этим, эллиптическая геометрия, описанная в данной статье, иногда называется однократной эллиптической геометрией, в то время как сферическая геометрия иногда называется двукратной эллиптической геометрией. Появление этой геометрии в девятнадцатом веке стимулировало развитие неевклидовой геометрии в целом, включая гиперболическую геометрию. Эллиптическая геометрия обладает множеством свойств, отличающихся от свойств классической евклидовой планиметрии. Например, сумма внутренних углов любого треугольника всегда превышает 180°.

Определения

В эллиптической геометрии две прямые, перпендикулярные данной прямой, должны пересекаться. Фактически, все перпендикуляры с одной стороны пересекаются в одной точке, называемой абсолютным полюсом этой прямой. Перпендикуляры с другой стороны также пересекаются в точке. Однако, в отличие от сферической геометрии, полюса с обеих сторон совпадают. Это происходит потому, что в эллиптической геометрии нет антиподальных точек. Например, в гиперсферической модели (описанной ниже) этого достигают, представляя "точки" нашей геометрии как пары противоположных точек на сфере. Это необходимо для того, чтобы эллиптическая геометрия удовлетворяла аксиоме о существовании единственной прямой, проходящей через любые две точки. Каждая точка соответствует абсолютной полярной прямой, абсолютным полюсом которой она является. Любая точка на этой полярной прямой образует с полюсом абсолютную сопряжённую пару. Такая пара точек является ортогональной, а расстояние между ними составляет квадрант. Расстояние между двумя точками пропорционально углу между их абсолютными полярными прямыми.

Эллиптическая плоскость

Эллиптическая плоскость — это реальная проективная плоскость, снабжённая метрикой. Кеплер и Дезарг использовали гномоническую проекцию, чтобы установить связь между плоскостью σ и точками на полушарии, касающемся её. Если O — центр полушария, то точка P в σ определяет линию OP, пересекающую полушарие, а любая линия L ⊂ σ определяет плоскость OL, которая пересекает полушарие по половине большой окружности. Полушарие ограничено плоскостью, проходящей через O и параллельной σ. Ни одна обычная прямая плоскости σ не соответствует этой плоскости; вместо этого к σ добавляется прямая на бесконечности. Поскольку любая прямая в этом расширении σ соответствует плоскости, проходящей через O, и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по прямой, проходящей через O, можно заключить, что любая пара прямых в расширении пересекается: точка пересечения лежит там, где пересечение плоскостей пересекает σ или прямую на бесконечности. Таким образом, аксиома проективной геометрии, требующая, чтобы все пары прямых в плоскости пересекались, подтверждается. Для заданных точек P и Q в σ эллиптическое расстояние между ними является мерой угла POQ, обычно выражаемой в радианах. Артур Кейли начал изучение эллиптической геометрии, написав работу «Определении расстояния». Это устремление к абстракции в геометрии продолжили Феликс Клейн и Бернхард Риман, что привело к возникновению неевклидовой геометрии и римановой геометрии.

Сравнение с евклидовой геометрией

В евклидовой геометрии фигуру можно увеличивать или уменьшать в неограниченном масштабе, и полученные фигуры будут подобны, то есть иметь одинаковые углы и одинаковые внутренние пропорции. В эллиптической геометрии это не так. Например, в сферической модели мы видим, что расстояние между любыми двумя точками должно быть строго меньше половины окружности сферы (поскольку антиподальные точки отождествляются). Следовательно, отрезок прямой не может быть увеличен в масштабе бесконечно. Значительная часть евклидовой геометрии напрямую переносится в эллиптическую геометрию. Например, первый и четвертый постулаты Евклида, утверждающие, что между любыми двумя точками существует единственная прямая и что все прямые углы равны, справедливы и в эллиптической геометрии. Постулат 3, согласно которому можно построить окружность с любым заданным центром и радиусом, не выполняется, если под «любым радиусом» понимать «любое действительное число», но выполняется, если понимать под этим «длину любого заданного отрезка прямой». Следовательно, любой результат в евклидовой геометрии, вытекающий из этих трех постулатов, будет справедлив и в эллиптической геометрии, например, предложение 1 из первой книги «Начал», в котором говорится, что для любого отрезка прямой можно построить равносторонний треугольник, основанием которого будет этот отрезок. Эллиптическая геометрия также схожа с евклидовой в том, что пространство непрерывно, однородно, изотропно и лишено границ. Изотропия гарантируется четвертым постулатом, утверждающим, что все прямые углы равны. В качестве примера однородности отметим, что предложение Евклида I.1 подразумевает, что один и тот же равносторонний треугольник можно построить в любой точке, а не только в каких-то особых местах. Отсутствие границ следует из второго постулата о неограниченном продолжении отрезка прямой. Один из способов, которым эллиптическая геометрия отличается от евклидовой, заключается в том, что сумма внутренних углов треугольника больше 180 градусов. Например, в сферической модели можно построить треугольник с вершинами в точках пересечения трех положительных декартовых координатных осей со сферой, и все три его внутренних угла равны 90 градусам, в сумме давая 270 градусов. Для достаточно малых треугольников превышение 180 градусов можно сделать сколь угодно малым. Теорема Пифагора не выполняется в эллиптической геометрии. В описанном выше треугольнике с углами 90°–90°–90° все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, не удовлетворяют теореме Пифагора, которая восстанавливается в пределе малых треугольников. Отношение длины окружности к площади круга меньше, чем в евклидовой геометрии. В общем случае, площадь и объем не масштабируются как вторая и третья степени линейных размеров.

In Euclidean geometry, a figure can be scaled up or scaled down indefinitely, and the resulting figures are similar, i. e., they have the same angles and the same internal proportions. In elliptic geometry, this is not the case. For example, in the spherical model we can see that the distance between any two points must be strictly less than half the circumference of the sphere (because antipodal points are identified). A line segment therefore cannot be scaled up indefinitely. A great deal of Euclidean geometry carries over directly to elliptic geometry. For example, the first and fourth of Euclid's postulates, that there is a unique line between any two points and that all right angles are equal, hold in elliptic geometry. Postulate 3, that one can construct a circle with any given center and radius, fails if "any radius" is taken to mean "any real number", but holds if it is taken to mean "the length of any given line segment". Therefore any result in Euclidean geometry that follows from these three postulates will hold in elliptic geometry, such as proposition 1 from book I of the Elements, which states that given any line segment, an equilateral triangle can be constructed with the segment as its base. Elliptic geometry is also like Euclidean geometry in that space is continuous, homogeneous, isotropic, and without boundaries. Isotropy is guaranteed by the fourth postulate, that all right angles are equal. For an example of homogeneity, note that Euclid's proposition I.1 implies that the same equilateral triangle can be constructed at any location, not just in locations that are special in some way. The lack of boundaries follows from the second postulate, extensibility of a line segment. One way in which elliptic geometry differs from Euclidean geometry is that the sum of the interior angles of a triangle is greater than 180 degrees. In the spherical model, for example, a triangle can be constructed with vertices at the locations where the three positive Cartesian coordinate axes intersect the sphere, and all three of its internal angles are 90 degrees, summing to 270 degrees. For sufficiently small triangles, the excess over 180 degrees can be made arbitrarily small. The Pythagorean theorem fails in elliptic geometry. In the 90°–90°–90° triangle described above, all three sides have the same length, and consequently do not satisfy The Pythagorean result is recovered in the limit of small triangles. The ratio of a circle's circumference to its area is smaller than in Euclidean geometry. In general, area and volume do not scale as the second and third powers of linear dimensions.

Гиперсферная модель

Гиперсферическая модель является обобщением сферической модели на более высокие размерности. Точки n-мерного эллиптического пространства — это пары единичных векторов (x, −x) в Rn+1, то есть пары антиподальных точек на поверхности единичного шара в (n + 1)-мерном пространстве (n-мерная гиперсфера). Линии в этой модели — это большие круги, то есть пересечения гиперсферы с плоскими гиперповерхностями размерности n, проходящими через начало координат.

Проективная эллиптическая геометрия

В проективной модели эллиптической геометрии точки n-мерного вещественного проективного пространства используются в качестве точек модели. Это моделирует абстрактную эллиптическую геометрию, также известную как проективная геометрия. Точки n-мерного проективного пространства могут быть отождествлены с прямыми, проходящими через начало координат в (n + 1)-мерном пространстве, и могут быть неоднозначно представлены ненулевыми векторами в Rn+1, при этом понимается, что u и λu, для любого ненулевого скаляра λ, представляют одну и ту же точку. Расстояние определяется с помощью метрики, то есть расстояние между двумя точками – это угол между соответствующими прямыми в Rn+1. Формула расстояния однородна относительно каждой переменной, и d(λu, μv) = d(u, v) при любых ненулевых скалярах λ и μ, что означает, что она определяет расстояние между точками проективного пространства. Важным свойством проективной эллиптической геометрии является то, что для четных размерностей, таких как плоскость, геометрия не ориентируема. Она устраняет различие между вращением по часовой стрелке и против часовой стрелки, отождествляя их.

Самосогласованность

Поскольку сферическую эллиптическую геометрию можно моделировать, например, как сферическое подпространство евклидова пространства, следует, что если евклидова геометрия самосогласована, то и сферическая эллиптическая геометрия также самосогласована. Поэтому невозможно доказать постулат о параллельных прямых, опираясь только на остальные четыре постулата евклидовой геометрии. Тарский доказал полноту элементарной евклидовой геометрии: существует алгоритм, который для любого утверждения может установить его истинность или ложность. (Это не противоречит теореме Гёделя, поскольку евклидова геометрия не позволяет описать достаточно арифметики для применения этой теоремы.) Следовательно, элементарная эллиптическая геометрия также самосогласована и полна.