Кіріспе
Категориялар теориясындағы жалпыланған нысан. Категориялар теориясындағы бір санаттағы екі (немесе одан да көп) нысанның көбейтіндісі – жиындардың декарт көбейтіндісі, топтардың немесе сақиналардың тура көбейтіндісі, топологиялық кеңістіктердің көбейтіндісі сияқты математиканың басқа салаларындағы құралымдардың мәнін түсіндіретін ұғым. Құны бойынша, нысандар отбасының көбейтіндісі – берілген нысандардың әрқайсысына морфизмді қабылдайтын "ең жалпы" нысан.
In category theory, the product of two (or more) objects in a category is a notion designed to capture the essence behind constructions in other areas of mathematics such as the Cartesian product of sets, the direct product of groups or rings, and the product of topological spaces. Essentially, the product of a family of objects is the "most general" object which admits a morphism to each of the given objects.
Шектеу ретінде
Өнім – шектің ерекше жағдайы. Бұл дискретті категорияны (тек өзіне-өзінің морфизмдерінен басқа морфизмдері жоқ объектілер жиыны) шектің анықтамасы үшін қажетті диаграмма ретінде қолдану арқылы көрінеді. Дискретті объектілер компоненттер мен проекциялардың индексі қызметін атқарады. Егер осы диаграмманы функтор ретінде қарастырсақ, ол дискретті категория ретінде қарастырылған индекс жиынынан туындайтын функтор болады. Өнімнің анықтамасы шектің анықтамасымен толық сәйкес келеді, яғни ол конус болып табылады, ал проекциялар – шек (шектеу конусы).
Жалпыға ортақ меншік
Шек универсалды құрылымның ерекше жағдайы болғандай, көбейтінді де солай. Шектердің әмбебап қасиеті үшін берілген анықтамадан бастап, екі объектісі бар дискретті категорияны қарастырайық, онда жай ғана өнім категориясы болады. Диагональдық функтор әрбір объектіге реттелген жұпты, ал әрбір морфизмге жұптарды сәйкес қояды. категориясындағы көбейтінді, функтордан категориясындағы объектіге әмбебап морфизммен беріледі. Бұл әмбебап морфизм категориясының бір объектісінен және проекцияларды қамтитын морфизмнен тұрады.
Тарату қабілеті
Тақырыбы шектеулі өнімдер мен копродукты бар санаттағы кез келген нысан үшін каноникалық морфизм бар, мұнда плюс белгісі копродуктыны білдіреді. Мұны көру үшін, копродуктының әмбебап қасиеті келесі диаграмманы толтыратын бірегей жебелердің болуын кепілдейді (индуцированный жебелер пунктирмен белгіленген):
Өнімнің әмбебап қасиеті жоғарыдағы диаграммадағы пунктирмен белгіленген жебелер арқылы индуцированный бірегей морфизмді кепілдейді. Дистрибутивті категория – бұл морфизмнің іс жүзінде изоморфизм болуымен сипатталатын категория. Осылайша, дистрибутивті категорияда каноникалық изоморфизм бар.