Введение

Обобщенный объект в теории категорий

В теории категорий произведение двух (или более) объектов в категории — это понятие, разработанное для отражения сути конструкций в других областях математики, таких как декартово произведение множеств, прямое произведение групп или колец и произведение топологических пространств. По сути, произведение семейства объектов является "наиболее общим" объектом, для которого существует морфизм в каждый из заданных объектов.

В качестве предела

Продукт является частным случаем предела. Это можно увидеть, использовав дискретную категорию (семейство объектов без каких-либо морфизмов, кроме тождественных) в качестве диаграммы, необходимой для определения предела. Дискретные объекты будут служить индексом для компонентов и проекций. Если рассматривать эту диаграмму как функтор, то это функтор из индексного множества, рассматриваемого как дискретная категория. Тогда определение продукта совпадает с определением предела, представляя собой конус, а проекции – предельный конус (ограничивающий конус).

Универсальная собственность

Так же, как предел является частным случаем универсальной конструкции, так же является и произведение. Начиная с определения, данного для универсального свойства пределов, рассмотрим дискретную категорию с двумя объектами, так что она является просто категорией произведений. Диагональный функтор сопоставляет каждому объекту упорядоченную пару, а каждому морфизму – пару. Произведение в этой категории задается универсальным морфизмом из функтора в объект в этой категории. Этот универсальный морфизм состоит из объекта и морфизма, содержащего проекции.

Распределённость

Для любых объектов категории с конечными произведениями и сопроизведениями существует канонический морфизм, где знак плюс здесь обозначает сопроизведение. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что универсальное свойство сопроизведения гарантирует существование единственных стрелок, дополняющих следующую диаграмму (индуцированные стрелки пунктирные):

Универсальное свойство произведения затем гарантирует единственный морфизм, индуцированный пунктирными стрелками на вышеуказанной диаграмме. Дистрибутивная категория – это категория, в которой этот морфизм является изоморфизмом. Таким образом, в дистрибутивной категории существует канонический изоморфизм.