Кіріспе
Бинарлық сан – 2-ге негізделген сандық жүйеде көрсетілген сан, яки екі символ ғана қолданылатын математикалық өрнектеу әдісі: әдетте "0" (нөл) және "1" (бір). 2-ге негізделген сандық жүйе – 2 радиксі бар позициялық жазба. Әрбір цифр бит немесе екілік цифр деп аталады. Логикалық қақпаларды пайдалана отырып, цифрлық электрондық тізбектерде оңай іске асырылатындықтан, бинарлық жүйе дерлік барлық қазіргі заманғы компьютерлер мен компьютерлік құрылғылар үшін басымдықпен қолданылады, себебі тілдің қарапайымдылығы және физикалық іске асырылу кезіндегі шуға төзімділігі. Теріс сандар көбінесе екілік толықтыру арқылы бинарлық түрде көрсетіледі.
A binary number is a number expressed in the base 2 numeral system or binary numeral system, a method of mathematical expression which uses only two symbols: typically "0" (zero) and "1" (one). The base 2 numeral system is a positional notation with a radix of 2. Each digit is referred to as a bit, or binary digit. Because of its straightforward implementation in digital electronic circuitry using logic gates, the binary system is used by almost all modern computers and computer based devices, as a preferred system of use, over various other human techniques of communication, because of the simplicity of the language and the noise immunity in physical implementation. Negative numbers are commonly represented in binary using two's complement.
Тарих
Қазіргі бинарлық сандар жүйесі 16-шы және 17-ші ғасырларда Еуропада Томас Харриот, Хуан Карамуэль и Лобковиц және Готфрид Лейбницпен зерттелді. Дегенмен, бинарлық сандармен байланысты жүйелер бұрынғы кезде ежелгі Египет, Қытай және Үндістан сияқты түрлі мәдениеттерде кездескен.
Мысыр
Ежелгі Мысырдың жазушылары өздерінің бөлшектері үшін екі түрлі жүйе қолданған: мысырлық бөлшектер (бинарлық сан жүйесімен байланысты емес) және Горус Көзі бөлшектері (математика тарихшыларының көптегені осы жүйеде қолданылған символдар Горус Көзінің пішінін құрауы мүмкін деп санайды, бірақ бұл пікір даулы). Горус Көзі – дәнді, сұйықтықты немесе басқа өлшемдердің бөлшек мөлшерлерін көрсетуге арналған бинарлық сандық жүйе. Онда гекттың бір бөлігі 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 және 1/64 бинарлық бөлшектерінің қосындысы ретінде жазылған. Бұл жүйенің алғашқы нысандары шамамен б.з.д. 2400 жылға жататын Мысырдың Бесінші династиясының құжаттарында кездеседі, ал толыққанды дамыған иероглифтік түрі шамамен б.з.д. 1200 жылға дейін соқты. Ежелгі Мысырдағы көбейту әдісі де екілік сандармен тығыз байланысты. Бұл әдісте бір санды екіншіге көбейту кезең-кезеңімен жасалады: бастапқыдағы мән (әдетте екі санның біріншісі) екі еселенеді немесе оған бірінші сан қосылады; осы қадамдардың орындалу реті екінші санның екілік көрсетілімімен анықталады. Мысалы, б.з.д. 1650 жыл шамасында жазылған Ринд математикалық папирусында осы әдіс қолданылған.
Қытай
И-Цзин Қытайда б.з.д. 9 ғасырда пайда болған. И-Цзиндегі екілік нотация оның төрттік болжау әдісін түсіндіру үшін қолданылады. Сегіз триграмма (багуа) және 64 гексаграмма ("алпыс төрт" гуа) жиынтығы, үш биттік және алты биттік екілік сандарға ұқсас, кем дегенде ежелгі Қытайдың Чжоу әулеті дәуірінде қолданылған. Шао Ённың шаршысындағы жеке гексаграмманың үстіне ең кіші мәнді битті қарап, қатарларды төменгі оң жақтан жоғарғы сол жаққа қарай тұйық сызықтарды 0, үзілген сызықтарды 1 деп немесе жоғарғы сол жақтан төменгі оң жаққа қарай тұйық сызықтарды 1, үзілген сызықтарды 0 деп есептегенде гексаграммалар 0-ден 63-ке дейінгі тізбек ретінде түсіндірілуі мүмкін.
and reading along rows either from bottom right to top left with solid lines as 0 and broken lines as 1 or from top left to bottom right with solid lines as 1 and broken lines as 0 hexagrams can be interpreted as sequence from 0 to 63.
Үндістан
Үндістан ғалымы Пингала (б.з.д. II ғасыр) өлең өлшемдерін сипаттау үшін екілік жүйені жасады. Ол өлшемдерді қысқа және ұзын буындар түрінде сипаттады (соңғысы екі қысқа буынға тең). Бұл буындар лагху (жеңіл) және гуру (ауыр) деп аталды. Пингаланың "Чандашастра" (8.23) атты индуистік классикалық еңбегі әрбір өлшемге бірегей мән беру үшін матрица құруды сипаттайды. "Chandaḥśāstra" санскрит тілінен аударғанда "өлшемдер ғылымы" дегенді білдіреді. Пингала жүйесіндегі екілік өрнектер қазіргі позициялық санау жүйесіндегі екілік сандар сияқты солға емес, оңға қарай өседі. Пингала жүйесінде сандар бірден басталады, нөлден емес. Төрт қысқа буыннан тұратын "0000" – бірінші үлгі және ол бірге сәйкес келеді. Сандық мән буын орнының мәндерінің қосындысына бірді қосу арқылы есептеледі.
Басқа да дақылдар
Француз Полинезиясындағы Мангарева аралының тұрғындары 1450 жылға дейін екілік-ондық гибридтік жүйені пайдаланған. Африка мен Азияда хабарларды жіберу үшін екілік ырғақтың көмегімен соққылы барабандар қолданылады.
Лейбництің батыс елдері
XIII ғасырдың соңында Рамон Люльл сол кездегі адамзат білімінің барлық салаларындағы барлық даналықты түсіндіруді мақсат етті. Ол осы мақсатта бірнеше қарапайым негізгі принциптер немесе санаттардың екілік комбинацияларына негізделген жалпы әдіс немесе "Ars generalis" әзірледі, осы себепті ол есептеу ғылымы мен жасанды интеллектің алға басушысы саналады. 1605 жылы Фрэнсис Бэкон әліпби әріптерін екілік сандар тізбегіне дейін азайтуға болатын жүйені талқылады, одан кейін оны кез келген мәтіндегі шрифттің көзге көрінбейтін өзгерістері ретінде шифрлеуге болады. (Бэкон шифрын қараңыз.) Джон Непьер 1617 жылы әріптерді пайдаланып, позициялық емес түрде екілік есептеулер жасауға арналған "орналасу арифметикасы" деп аталатын жүйені сипаттады. Томас Харриот бірнеше позициялық сандар жүйелерін, оның ішінде екілік жүйені зерттеді, бірақ нәтижелерін жарияламады; олар кейін оның қолжазбаларынан табылды. Еуропада бұл жүйені алғаш рет жариялаған адам, мүмкін, Хуан Карамуэль и Лобковиц болды, ол 1700 жылы жариялаған.
Лейбниц пен И-Цзин
Лейбниц 1679 жылы екілік сандарды зерттеді; оның еңбегі Explication de l'Arithmétique Binaire (1703 жылы жарияланған) атты мақаласында жарияланды. Лейбництің мақаласының толық атауы ағылшын тіліне «Екілік арифметиканы түсіндіру, ол тек 1 және 0 таңбаларын қолданады, оның пайдалылығы туралы бірнеше ескертулермен және Фу Сидің ежелгі қытайлық фигураларына салған жарығымен» деп аударылады. Лейбництің жүйесі қазіргі екілік сандық жүйе сияқты 0 және 1 сандарын пайдаланады. Лейбництің екілік сандық жүйесінің мысалы: Лейбниц өзінің «Екілік арифметиканы түсіндіру» еңбегінде осыған ұқсас өнертабыс туралы «осы мәнін осыншама ұзақ уақыттан кейін қайтару одан да қызықты болып көрінеді» деп жазды. Бұл қатынас оның тіл немесе characteristica universalis – әмбебап сипаттамасының орталық идеясы болды, бұл идеяны оның ізбасарлары, Готтлоб Фреге және Джордж Буль сияқтылар, қазіргі заманғы символдық логиканы құруда тығыз ұстанды. Лейбниц алғаш рет 1685 жылы Қытайға миссионер ретінде келген француз иезуиті Жоахим Буве арқылы И Цзинмен танысты. Лейбниц И Цзинге өзінің христиандық сенімдерінің әмбебаптығының куәсі ретінде қарады. Екілік сандар Лейбництің діни көзқарастарының маңызды бөлігі болды. Оның ойынша, екілік сандар христиандық идеяның – creatio ex nihilo, яғни жоқтан жарату – символы болды. quote|«Бұл түсінікті жұртқа, оларға үйрету оңай емес, себебі жоқтан жарату – Құдайдың құдіретімен болған нәрсе. Бірақ әлемде бұл күшті ештеңе осы сандардың шығу тегі арқылы жақсы көрсетуге болмайды, олардың қарапайым және әшекейсіз жазылуы – Бір және Нөл немесе Ештеңе арқылы»|Лейбництің Брансвик герцогіне жазған хатында И Цзинге қоса берілген гексаграммалар.
1937 жылы Клод Шеннон MIT-дегі магистрлік диссертациясында тарихта алғаш рет электронды релелер мен коммутаторларды қолдана отырып, Буль алгебрасы мен екілік арифметиканы іске асырды. «Релелік және коммутациялық схемалардың символдық талдауы» атты Шеннонның диссертациясы практикалық цифрлық схемаларды жобалаудың негізін қалады. 1937 жылдың қарашасында Джордж Стибиц, сол кезде Bell Labs-те жұмыс істеп, «Model K» (оны құрастырған «асхана» үшін) деп атаған релелік компьютерін аяқтады, ол екілік қосу арқылы есептеулер жасады. Bell Labs 1938 жылдың соңында Стибицтің басшылығымен толық зерттеу бағдарламасын іске қосты. Олардың 1940 жылдың 8 қаңтарында аяқталған Комплексті сандар компьютері күрделі сандарды есептей алды. 1940 жылдың 11 қыркүйегінде Дартмут колледжінде өткен Америка математикалық қоғамының конференциясында Стибиц Комплексті сандар калькуляторына телефон желісі арқылы телетайппен қашықтан командалар жібере алды. Бұл телефон желісі арқылы қашықтан басқарылған алғашқы компьютер болды. Конференцияға қатысып, демонстрацияны көргендердің арасында Джон фон Нейман, Джон Маухли және Норберт Винер болды, ол бұл туралы өзінің естеліктерінде жазды. 1935-1938 жылдар аралығында Конрад Цузе жобалаған және құрастырған Z1 компьютері Буль логикасы мен екілік үзіліс нүктелі сандарды қолданды.
Нақты сандарды бейнелеу
Тұра емес сандарды теріс дәрежелерді пайдалану арқылы көрсетуге болады, олар радикс нүктесі арқылы (ондық жүйеде ондық нүкте деп аталады) басқа цифрлардан бөлінеді. Мысалы, 11.012 екілік саны:
1 × 21 (1 × 2 = 2) plus1 × 20 (1 × 1 = 1) plus0 × 2−1 (0 × 1/2 = 0) plus1 × 2−2 (1 × 1/4 = 0.25)
For a total of 3.25 decimal. All dyadic rational numbers have a terminating binary numeral—the binary representation has a finite number of terms after the radix point. Other rational numbers have binary representation, but instead of terminating, they recur, with a finite sequence of digits repeating indefinitely. For instance
The phenomenon that the binary representation of any rational is either terminating or recurring also occurs in other radix based numeral systems. See, for instance, the explanation in decimal. Another similarity is the existence of alternative representations for any terminating representation, relying on the fact that 0.111111 is the sum of the geometric series 2−1 + 2−2 + 2−3 + which is 1. Binary numerals which neither terminate nor recur represent irrational numbers. For instance,
0.10100100010000100000100 does have a pattern, but it is not a fixed length recurring pattern, so the number is irrational
1.0110101000001001111001100110011111110 is the binary representation of , the square root of 2, another irrational. It has no discernible pattern.
1 × 2¹ (1 × 2 = 2) + 1 × 2⁰ (1 × 1 = 1) + 0 × 2⁻¹ (0 × 1/2 = 0) + 1 × 2⁻² (1 × 1/4 = 0.25)
1 × 21 (1 × 2 = 2) plus1 × 20 (1 × 1 = 1) plus0 × 2−1 (0 × 1/2 = 0) plus1 × 2−2 (1 × 1/4 = 0.25)
For a total of 3.25 decimal. All dyadic rational numbers have a terminating binary numeral—the binary representation has a finite number of terms after the radix point. Other rational numbers have binary representation, but instead of terminating, they recur, with a finite sequence of digits repeating indefinitely. For instance
The phenomenon that the binary representation of any rational is either terminating or recurring also occurs in other radix based numeral systems. See, for instance, the explanation in decimal. Another similarity is the existence of alternative representations for any terminating representation, relying on the fact that 0.111111 is the sum of the geometric series 2−1 + 2−2 + 2−3 + which is 1. Binary numerals which neither terminate nor recur represent irrational numbers. For instance,
0.10100100010000100000100 does have a pattern, but it is not a fixed length recurring pattern, so the number is irrational
1.0110101000001001111001100110011111110 is the binary representation of , the square root of 2, another irrational. It has no discernible pattern.
барлығы 3.25 ондық санды құрайды. Барлық диадтық рационалдық сандардың тоқтатылатын екілік өрнегі бар – екілік өрнектің радикс нүктесінен кейін шекті саны бар. Басқа рационалдық сандардың екілік өрнегі болады, бірақ олар тоқтамай, керісінше, шекті цифрлар тізбегі шексіз қайталанады. Мысалы,
1 × 21 (1 × 2 = 2) plus1 × 20 (1 × 1 = 1) plus0 × 2−1 (0 × 1/2 = 0) plus1 × 2−2 (1 × 1/4 = 0.25)
For a total of 3.25 decimal. All dyadic rational numbers have a terminating binary numeral—the binary representation has a finite number of terms after the radix point. Other rational numbers have binary representation, but instead of terminating, they recur, with a finite sequence of digits repeating indefinitely. For instance
The phenomenon that the binary representation of any rational is either terminating or recurring also occurs in other radix based numeral systems. See, for instance, the explanation in decimal. Another similarity is the existence of alternative representations for any terminating representation, relying on the fact that 0.111111 is the sum of the geometric series 2−1 + 2−2 + 2−3 + which is 1. Binary numerals which neither terminate nor recur represent irrational numbers. For instance,
0.10100100010000100000100 does have a pattern, but it is not a fixed length recurring pattern, so the number is irrational
1.0110101000001001111001100110011111110 is the binary representation of , the square root of 2, another irrational. It has no discernible pattern.
Кез келген рационалды санның екілік өрнегінің тоқтатылуы немесе қайталануы басқа радикстік сандық жүйелерде де кездеседі. Мысалы, ондық санмен түсіндірілуін қараңыз. Тағы бір ұқсастық – кез келген тоқтатылатын өрнек үшін баламалы өрнектердің болуы, себебі 0.111111 – бұл геометриялық қатардың қосындысы: 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ + …, ол 1-ге тең. Тоқтамайтын және қайталанбайтын екілік сандар иррационалды сандарды көрсетеді. Мысалы,
1 × 21 (1 × 2 = 2) plus1 × 20 (1 × 1 = 1) plus0 × 2−1 (0 × 1/2 = 0) plus1 × 2−2 (1 × 1/4 = 0.25)
For a total of 3.25 decimal. All dyadic rational numbers have a terminating binary numeral—the binary representation has a finite number of terms after the radix point. Other rational numbers have binary representation, but instead of terminating, they recur, with a finite sequence of digits repeating indefinitely. For instance
The phenomenon that the binary representation of any rational is either terminating or recurring also occurs in other radix based numeral systems. See, for instance, the explanation in decimal. Another similarity is the existence of alternative representations for any terminating representation, relying on the fact that 0.111111 is the sum of the geometric series 2−1 + 2−2 + 2−3 + which is 1. Binary numerals which neither terminate nor recur represent irrational numbers. For instance,
0.10100100010000100000100 does have a pattern, but it is not a fixed length recurring pattern, so the number is irrational
1.0110101000001001111001100110011111110 is the binary representation of , the square root of 2, another irrational. It has no discernible pattern.
0.10100100010000100000100 үлгіге ие, бірақ бұл тұрақты ұзындығы бар қайталанатын үлгі емес, сондықтан сан иррационалды. 1.0110101000001001111001100110011111110 – бұл 2-нің квадрат түбірінің, тағы бір иррационалды санның екілік өрнегі. Онда ешқандай анық үлгі жоқ.
1 × 21 (1 × 2 = 2) plus1 × 20 (1 × 1 = 1) plus0 × 2−1 (0 × 1/2 = 0) plus1 × 2−2 (1 × 1/4 = 0.25)
For a total of 3.25 decimal. All dyadic rational numbers have a terminating binary numeral—the binary representation has a finite number of terms after the radix point. Other rational numbers have binary representation, but instead of terminating, they recur, with a finite sequence of digits repeating indefinitely. For instance
The phenomenon that the binary representation of any rational is either terminating or recurring also occurs in other radix based numeral systems. See, for instance, the explanation in decimal. Another similarity is the existence of alternative representations for any terminating representation, relying on the fact that 0.111111 is the sum of the geometric series 2−1 + 2−2 + 2−3 + which is 1. Binary numerals which neither terminate nor recur represent irrational numbers. For instance,
0.10100100010000100000100 does have a pattern, but it is not a fixed length recurring pattern, so the number is irrational
1.0110101000001001111001100110011111110 is the binary representation of , the square root of 2, another irrational. It has no discernible pattern.