Введение

Число, выраженное в двоичной системе счисления – это число, представленное в системе счисления с основанием 2, или двоичной системе, методе математической записи, использующем только два символа: обычно "0" (ноль) и "1" (единица). Двоичная система счисления является позиционной системой с основанием 2. Каждая цифра в ней называется битом, или двоичной цифрой. Благодаря простоте реализации в цифровых электронных схемах с использованием логических элементов, двоичная система используется практически всеми современными компьютерами и устройствами на их основе в качестве предпочтительной системы, в отличие от различных других способов передачи информации, используемых человеком, благодаря простоте представления и устойчивости к помехам при физической реализации. Отрицательные числа обычно представляются в двоичном виде с использованием дополнительного кода.

История

Современная двоичная система счисления изучалась в Европе в XVI и XVII веках Томасом Гарриотом, Хуаном Карамуэлем и Лобковицем, и Готфридом Лейбницем. Однако системы, связанные с двоичными числами, возникали ранее в различных культурах, включая Древний Египет, Китай и Индию.

Египет

Писецы древнего Египта использовали две различные системы для представления дробей: египетские дроби (не связанные с двоичной системой счисления) и дроби глаза Гора (так называемые, поскольку многие историки математики полагают, что символы, используемые в этой системе, можно было расположить, чтобы образовать глаз Гора, хотя это утверждение оспаривается). Дроби глаза Гора – это двоичная система счисления для дробных количеств зерна, жидкостей или других мер, в которой дробь геката выражается как сумма двоичных дробей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Ранние формы этой системы встречаются в документах V династии Египта, датируемых приблизительно 2400 годом до н.э., а её полностью разработанная иероглифическая форма относится к XIX династии Египта, приблизительно 1200 году до н.э. Метод, использовавшийся для древнеегипетского умножения, также тесно связан с двоичными числами. В этом методе умножение одного числа на другое выполняется последовательностью шагов, в ходе которых значение (изначально равное первому из двух чисел) либо удваивается, либо к нему прибавляется первое число; порядок выполнения этих шагов определяется двоичным представлением второго числа. Этот метод можно увидеть, например, в Риндском математическом папирусе, датируемом приблизительно 1650 годом до н.э.

Китай

И-Цзин датируется IX веком до нашей эры в Китае. Бинарное представление в И-Цзин используется для интерпретации его четвертичной системы гадания. Восемь триграмм (багуа) и набор из 64 гексаграмм ("шестьдесят четыре" гуа), аналогичные трехбитным и шестибитным двоичным числам, использовались как минимум со времен династии Чжоу в Древнем Китае. Если рассматривать младший бит в верхней части отдельных гексаграмм в квадрате Шао Йона и читать строки либо снизу справа вверх и влево, принимая сплошные линии за 0 и прерывистые за 1, либо сверху слева вниз и вправо, принимая сплошные линии за 1 и прерывистые за 0, то гексаграммы можно интерпретировать как последовательность чисел от 0 до 63.

Индия

Индийский ученый Пингала (ок. II века до н.э.) разработал бинарную систему для описания просодии. Он описывал метры с помощью коротких и длинных слогов (последние по длительности равны двум коротким слогам). Короткие слоги назывались лагху (легкие), а длинные – гуру (тяжелые). Индийская классическая работа Пингалы под названием «Чандаḥшастра» (8.23) описывает формирование матрицы для присвоения уникального значения каждому метру. «Чандаḥшастра» буквально переводится с санскрита как «наука о метрах». Бинарные представления в системе Пингалы возрастают справа налево, в отличие от бинарных чисел в современной позиционной системе счисления. В системе Пингалы счет начинается с единицы, а не с нуля. Четыре коротких слога "0000" являются первым образцом и соответствуют значению один. Численное значение определяется путем прибавления единицы к сумме разрядных весов.

Другие культуры

Жители острова Мангарева во Французской Полинезии использовали гибридную двоично-десятичную систему счисления до 1450 года. Щёлевые барабаны с двоичными тонами используются для передачи сообщений в Африке и Азии.

Западные предшественники Лейбница

В конце XIII века Рамон Люль имел амбицию систематизировать все знания во всех областях человеческого знания того времени. Для этого он разработал общий метод, или "Ars generalis", основанный на двоичных комбинациях ряда простых базовых принципов или категорий, благодаря чему его считают предшественником вычислительной техники и искусственного интеллекта. В 1605 году Фрэнсис Бэкон описал систему, в которой буквы алфавита можно было бы свести к последовательностям двоичных цифр, которые затем можно было бы закодировать в виде едва заметных изменений шрифта в любом произвольном тексте. (См. Шифр Бэкона.) Джон Нейпер в 1617 году описал систему, которую он назвал арифметикой позиций, для выполнения двоичных вычислений с использованием непозиционного представления с помощью букв. Томас Харриот исследовал несколько позиционных систем счисления, включая двоичную, но не опубликовал свои результаты; они были обнаружены позже в его записях. Вероятно, первой публикацией этой системы в Европе была работа Хуана Карамуэля и Лобковица в 1700 году.

Лейбниц и И-Цзин

Лейбниц изучал двоичную систему счисления в 1679 году; его работа представлена в статье Explication de l'Arithmétique Binaire (опубликована в 1703 году). Полное название статьи Лейбница переводится на английский язык как «Объяснение двоичной арифметики, использующей только символы 1 и 0, с некоторыми замечаниями о её полезности и о свете, который она проливает на древнекитайские фигуры Фу Си». В системе Лейбница используются 0 и 1, как и в современной двоичной системе счисления. Пример двоичной системы счисления Лейбница выглядит следующим образом: об этом параллельном изобретении Лейбниц писал в своем «Объяснении двоичной арифметики», что «это восстановление их значения после столь длительного перерыва покажется тем более любопытным». Эта идея была центральной в его универсальной концепции языка или characteristica universalis, популярной идее, которой тесно следовали его последователи, такие как Готтлоб Фреге и Джордж Буль, при создании современной символической логики. Лейбниц впервые познакомился с «И Цзин» благодаря контакту с французским иезуитом Йоахимом Буве, посетившим Китай в 1685 году в качестве миссионера. Лейбниц видел в гексаграммах «И Цзин» подтверждение универсальности своих религиозных убеждений как христианина. Двоичные числа играли центральную роль в теологии Лейбница. Он считал, что двоичные числа символизируют христианскую идею творения из ничего. «[Эту концепцию] нелегко объяснить язычникам – это создание из ничего посредством всемогущества Бога. Теперь можно сказать, что ничто в мире не может лучше представить и продемонстрировать эту силу, чем происхождение чисел, как оно представлено здесь посредством простого и незамысловатого представления Единицы и Нуля, или Ничего». Письмо Лейбница герцогу Брауншвейгскому, приложенное к гексаграммам «И Цзин».

В 1937 году Клод Шеннон представил свою магистерскую диссертацию в MIT, в которой впервые в истории реализовал булеву алгебру и двоичную арифметику с использованием электронных реле и переключателей. Диссертация под названием «Символический анализ релейных и коммутационных схем» по сути заложила основы практического проектирования цифровых схем. В ноябре 1937 года Джордж Стибиц, работавший в Bell Labs, завершил компьютер на реле, который он назвал «Модель K» (по названию «Кухни», где он его собрал), который выполнял вычисления с использованием двоичного сложения. В конце 1938 года Bell Labs утвердила полномасштабную исследовательскую программу под руководством Стибица. Их Комплексный вычислитель, завершенный 8 января 1940 года, мог вычислять комплексные числа. В ходе демонстрации на конференции Американского математического общества в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Стибиц смог отправлять Комплексному вычислителю дистанционные команды по телефонным линиям с помощью телетайпа. Это была первая вычислительная машина, когда-либо использовавшаяся дистанционно по телефонной линии. Среди участников конференции, наблюдавших за демонстрацией, были Джон фон Нейман, Джон Маучли и Норберт Винер, который упомянул об этом в своих мемуарах. Компьютер Z1, спроектированный и построенный Конрадом Цузе в период с 1935 по 1938 год, использовал булеву логику и двоичные числа с плавающей запятой.

Представление действительных чисел

Нецелые числа могут быть представлены с помощью отрицательных степеней, которые отделяются от остальных цифр с помощью разделителя (называемого десятичной точкой в десятичной системе). Например, двоичное число 11.012 означает:

1 × 2¹ (1 × 2 = 2) плюс 1 × 2⁰ (1 × 1 = 1) плюс 0 × 2⁻¹ (0 × 1/2 = 0) плюс 1 × 2⁻² (1 × 1/4 = 0.25)

В общей сложности 3,25 в десятичной системе. Все диадные рациональные числа имеют конечное двоичное представление – двоичная запись содержит конечное число знаков после разделителя. Другие рациональные числа также имеют двоичное представление, но вместо того, чтобы быть конечным, оно бесконечно повторяется, с конечной последовательностью цифр, повторяющейся неопределенно. Например,

Свойство, согласно которому двоичное представление любого рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется, также справедливо и для других систем счисления с основанием. См., например, объяснение для десятичной системы. Другое сходство заключается в существовании альтернативных представлений для любого конечного представления, основанных на том факте, что 0,111111 является суммой геометрической прогрессии 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ + …, которая равна 1. Двоичные числа, которые не являются ни конечными, ни периодическими, представляют собой иррациональные числа. Например,

0.10100100010000100000100 имеет закономерность, но это не повторяющаяся последовательность фиксированной длины, поэтому число иррационально. 1.0110101000001001111001100110011111110 является двоичным представлением √2, квадратного корня из 2, другого иррационального числа. В нем нет уловимой закономерности.