Сандар теориясының алгебралық саласы: Класс далалар теориясы

Кіріспе

Алгебралық сандар теориясының Абельдік кеңейтулерімен айналысатын саласы. Математикада кластық өріс теориясы (CFT) – алгебралық сандар теориясының негізгі саласы, мақсаты – негізгі өріске байланысты объектілерді қолдана отырып, жергілікті және жаһандық өрістердің барлық Абельдік Галуа кеңейтулерін сипаттау. Гилберт осы саладағы пионерлердің бірі ретінде танымал. Дегенмен, бұл ұғым Кронекерге бұрыннан мәлім болған, ал Вебер бұл терминді Гилберттің негізгі еңбектері жарық көргенге дейін қолданған. Тиісті идеялар бірнеше онжылдықтар бойы дамыды, нәтижесінде Гилберттің болжамдары жиынтығы пайда болды, олар кейін Такаги және Артин (Чеботарев теоремасын қолдана отырып) дәлелдеді. Басты нәтижелердің бірі: егер F – сан өрісі болса және K – F-тің максималды Абельдік тармақталмаған кеңейтуі болса, онда K-нің F-ке дейінгі Галуа тобы F-тің идеалдық сынып тобына канондық түрде изоморфты болады. Бұл тұжырым Артиннің өзара байланыс заңы деп аталады; идеалдық тілде, егер CF – F-тің идеалдық сынып тобы болса және L – F-тің кез келген шекті Абельдік кеңейтуі болса, онда бұл заң канондық изоморфизмді береді, мұндағы – L-ден F-ге дейінгі идеалдық нормалау картасы. Бұл изоморфизм өзара байланыс картасы деп аталады. Барлық теоремаға сәйкес, өзара байланыс картасын F-тің Абельдік кеңейтулер жиыны мен -ның шекті индексі бар жабық кіші топтар жиыны арасындағы биекцияны құру үшін пайдалануға болады. 1930 жылдардан бері жаһандық кластық өріс теориясын дамытудың стандартты әдісі – жергілікті кластық өріс теориясын құру болды, ол жергілікті өрістердің Абельдік кеңейтулерін сипаттайды, содан кейін оны жаһандық кластық өріс теориясын құру үшін қолдануға болады. Бұл жұмысты алғаш рет Эмил Артин және Тейт топтың когомологиялық теориясын қолдана отырып, әсіресе сыныптық құрылымдар ұғымын дамыта отырып жасады. Кейіннен Нойкирх жаһандық кластық өріс теориясының негізгі тұжырымдарын когомологиялық идеяларды қолданбай дәлелдеді. Оның әдісі нақты және алгоритмдік болды. Кластық өріс теориясының ішінде арнайы кластық өріс теориясы мен жалпы кластық өріс теориясын ажыратуға болады. Нақты кластық өріс теориясы сан өрісінің максималды Абельдік кеңейтулерінің нақты құрылысын әр түрлі жағдайларда ұсынады. Теорияның бұл бөлігі Кронэкер-Вебер теоремасынан тұрады, оны Абельдік кеңейтулерді құру үшін қолдануға болады, сондай-ақ CM өрістерінің Абельдік кеңейтулерін құру үшін күрделі көбейту теориясынан тұрады. Кластық өріс теориясының үш негізгі жалпыламасы бар: жоғары кластық өріс теориясы, Лэнглендс бағдарламасы (немесе «Лэнглендс сәйкестіктері») және анабелий геометриясы.

Branch of algebraic number theory concerned with abelian extensions
In mathematics, class field theory (CFT) is the fundamental branch of algebraic number theory whose goal is to describe all the abelian Galois extensions of local and global fields using objects associated to the ground field. Hilbert is credited as one of pioneers of the notion of a class field. However, this notion was already familiar to Kronecker and it was actually Weber who coined the term before Hilbert's fundamental papers came out. The relevant ideas were developed in the period of several decades, giving rise to a set of conjectures by Hilbert that were subsequently proved by Takagi and Artin (with the help of Chebotarev's theorem). One of the major results is: given a number field F, and writing K for the maximal abelian unramified extension of F, the Galois group of K over F is canonically isomorphic to the ideal class group of F. This statement was generalized to the so called Artin reciprocity law; in the idelic language, writing CF for the idele class group of F, and taking L to be any finite abelian extension of F, this law gives a canonical isomorphism

where denotes the idelic norm map from L to F. This isomorphism is named the reciprocity map. The existence theorem states that the reciprocity map can be used to give a bijection between the set of abelian extensions of F and the set of closed subgroups of finite index of

A standard method for developing global class field theory since the 1930s was to construct local class field theory, which describes abelian extensions of local fields, and then use it to construct global class field theory. This was first done by Emil Artin and Tate using the theory of group cohomology, and in particular by developing the notion of class formations. Later, Neukirch found a proof of the main statements of global class field theory without using cohomological ideas. His method was explicit and algorithmic. Inside class field theory one can distinguish special class field theory and general class field theory. Explicit class field theory provides an explicit construction of maximal abelian extensions of a number field in various situations. This portion of the theory consists of Kronecker–Weber theorem, which can be used to construct the abelian extensions of , and the theory of complex multiplication to construct abelian extensions of CM fields. There are three main generalizations of class field theory: higher class field theory, the Langlands program (or 'Langlands correspondences'), and anabelian geometry.

Қазіргі тілмен айтылған сөз

Қазіргі заманғы математикалық тілінде кластық өріс теориясы (CFT) былай тұжырымдалуы мүмкін. Жергілікті немесе жаһандық K өрісінің максималды Абельдік кеңеюін қарастырайық. Ол K үстіне шексіз дәрежелі; A үстіне K-нің Галуа тобы шексіз профаниттік топ, сондықтан компактты топологиялық топ, және ол абельдік. Кластық өріс теориясының негізгі мақсаттары: G-ді K-ге байланысты белгілі бір тиісті топологиялық объектілер тұрғысынан сипаттау, K-нің шекті абельдік кеңейтулерін K-ге байланысты топологиялық объектідегі шекті индекстің ашық кіші топтары тұрғысынан сипаттау. Атап айтқанда, K-нің шекті абельдік кеңейтулері мен олардың нормалық топтары арасындағы K-ге арналған осы топологиялық объектідегі бір-бірге сәйкестікті орнату. Бұл топологиялық объект – шекті қалдық өрісі бар жергілікті өрістер жағдайындағы көбейтуші топ, ал жаһандық өрістер жағдайындағы идеалдық сынып тобы. Шекті индекстің ашық кіші тобына сәйкес келетін абельдік шекті кеңею сол кіші топтың сыныптық өрісі деп аталады, бұл теорияға осы атауды берді. Жалпы кластық өріс теориясының негізгі нәтижесі G тобының табиғи түрде CK-ның профаниттік толықталуына изоморфты екенін, жергілікті өрістің көбейту тобы немесе жаһандық өрістің идеалдық сынып тобының, K өрісінің ерекше құрылымына байланысты CK-дағы табиғи топологияға қатысты екенін көрсетеді. Басқаша айтқанда, K-ның кез келген шекті Галуа кеңейтуі үшін, кеңейтудің Галуа тобының абелиандалуының изоморфизмі (Артиннің өзара картасы) бар.

In modern mathematical language, class field theory (CFT) can be formulated as follows. Consider the maximal abelian extension A of a local or global field K. It is of infinite degree over K; the Galois group G of A over K is an infinite profinite group, so a compact topological group, and it is abelian. The central aims of class field theory are: to describe G in terms of certain appropriate topological objects associated to K, to describe finite abelian extensions of K in terms of open subgroups of finite index in the topological object associated to K. In particular, one wishes to establish a one to one correspondence between finite abelian extensions of K and their norm groups in this topological object for K. This topological object is the multiplicative group in the case of local fields with finite residue field and the idele class group in the case of global fields. The finite abelian extension corresponding to an open subgroup of finite index is called the class field for that subgroup, which gave the name to the theory. The fundamental result of general class field theory states that the group G is naturally isomorphic to the profinite completion of CK, the multiplicative group of a local field or the idele class group of the global field, with respect to the natural topology on CK related to the specific structure of the field K. Equivalently, for any finite Galois extension L of K, there is an isomorphism (the Artin reciprocity map)

of the abelianization of the Galois group of the extension with the quotient of the idele class group of K by the image of the norm of the idele class group of L.

For some small fields, such as the field of rational numbers or its quadratic imaginary extensions there is a more detailed very explicit but too specific theory which provides more information. For example, the abelianized absolute Galois group G of is (naturally isomorphic to) an infinite product of the group of units of the p adic integers taken over all prime numbers p, and the corresponding maximal abelian extension of the rationals is the field generated by all roots of unity. This is known as the Kronecker–Weber theorem, originally conjectured by Leopold Kronecker. In this case the reciprocity isomorphism of class field theory (or Artin reciprocity map) also admits an explicit description due to the Kronecker–Weber theorem. However, principal constructions of such more detailed theories for small algebraic number fields are not extendable to the general case of algebraic number fields, and different conceptual principles are in use in the general class field theory. The standard method to construct the reciprocity homomorphism is to first construct the local reciprocity isomorphism from the multiplicative group of the completion of a global field to the Galois group of its maximal abelian extension (this is done inside local class field theory) and then prove that the product of all such local reciprocity maps when defined on the idele group of the global field is trivial on the image of the multiplicative group of the global field. The latter property is called the global reciprocity law and is a far reaching generalization of the Gauss quadratic reciprocity law. One of the methods to construct the reciprocity homomorphism uses class formation which derives class field theory from axioms of class field theory. This derivation is purely topological group theoretical, while to establish the axioms one has to use the ring structure of the ground field. There are methods which use cohomology groups, in particular the Brauer group, and there are methods which do not use cohomology groups and are very explicit and fruitful for applications.

Кейбір кішкентай өрістер үшін, мысалы, рационал сандар өрісі немесе оның квадраттық жорамал өрістері үшін, одан да егжей-тегжейлі, бірақ тым арнайы теория бар, ол көбірек ақпарат береді. Мысалы, G-нің абелиандастырылған абсолютті Галуа тобы (табиғи түрде изоморфты) барлық жай сандар p бойынша алынған p-адық бүтін сандардың бірліктері тобының шексіз көбейтіндісі болып табылады, ал рационалдардың сәйкес максималды абельдік кеңейтімі – бірліктің барлық түбірлерін тудыратын өріс. Бұл Кронекер–Вебер теоремасы деп аталады, оны Леопольд Кронекер болжаған. Бұл жағдайда кластық өріс теориясының (немесе Артиннің өзара картасының) өзара теңдік изоморфизмі де Кронекер–Вебер теоремасының арқасында нақты сипаттамаға ие. Алайда, кішкентай алгебралық сандар өрістері үшін осындай егжей-тегжейлі теориялардың негізгі құралымдары алгебралық сандар өрістерінің жалпы жағдайына кеңейтілмейді, ал жалпы кластық өріс теориясында басқа концептуалды принциптер қолданылады. Өзара гомоморфизмді құрудың стандартты әдісі – алдымен, жаһандық өрістің толықталуының көбейту тобынан оның максималды абельдік кеңеюінің Галуа тобына жергілікті өзара изоморфизмді құрастыру (бұл жергілікті кластық өріс теориясының ішінде жасалады), содан кейін жаһандық өрістің идеалдық тобында анықталған кезде барлық осындай жергілікті өзара карталарының көбейтіндісі жаһандық өрістің көбейту тобының бейнесі бойынша тривиальды екенін дәлелдеу. Соңғы қасиет – жаһандық өзара қарым-қатынас заңы деп аталады және Гаусс квадраттық өзара қарым-қатынас заңының кең ауқымды жалпылануы болып табылады. Өзара сәйкестік гомоморфизмін құру әдістерінің бірі кластық өріс теориясының аксиомаларынан туындаған кластық өріс теориясын пайдаланады. Бұл туынды таза топологиялық топтық теориялық, ал аксиомаларды орнату үшін негізгі өрістің сақиналық құрылымын пайдалану керек. Когомология топтарын пайдаланатын әдістер бар, атап айтқанда Брауэр тобы, және когомология топтарын қолданбайтын, қолданбалар үшін өте нақты және жемісті әдістер бар.

Тарих

Сыныптық өріс теориясының бастауы Гаусс дәлелдеген квадраттық өзара байланыс заңында жатыр. Жалпылау ұзақ мерзімді тарихи жоба ретінде жүргізілді, оған квадраттық формалар мен олардың «жыныс теориясы», Эрнст Кумер және Леопольд Кронекер/Курт Хенселдің идеалдар мен толықтырулар, циклотомиялық және Кумер кеңейтулері теориясы бойынша жұмыстары кірді. Алғашқы екі сыныптық өріс теориясы өте нақты циклотомиялық және күрделі көбейту сыныптық өріс теориялары болды. Олар қосымша құрылымдарды пайдаланды: рационал сандар өрісі үшін бірлік түбірлерін, ал рационал сандар өрісінің жорамал квадраттық кеңейтулері үшін күрделі көбейтуі бар эллипстік қисықтарды және олардың шекті реттік нүктелерін қолданды. Кейіннен Шимура теориясы алгебралық сандар өрістерінің бір класы үшін тағы бір өте нақты сыныптық өріс теориясын ұсынды. Оң мінездемеде Кавада мен Сатак Витт дуалдығын қолданып, өзара гомоморфизмнің бөлігін өте оңай сипаттады. Дегенмен, бұл өте нақты теорияларды жалпы сандық өрістерге кеңейту мүмкін болмады. Жалпы сыныптық өріс теориясы әрбір жаһандық өріс үшін жұмыс істейтін әртүрлі ұғымдар мен құрылымдарды пайдаланды. Дэвид Гильберттің атақты мәселелері одан әрі дамуға түрткі болды, нәтижесінде өзара байланыс заңдары мен Тейджи Такаги, Филипп Фуртвенглер, Эмиль Артин, Хельмут Хассе және басқалардың дәлелдемелері пайда болды. Такагидің маңызды теоремасы 1920 жылға дейін, ал барлық негізгі нәтижелер шамамен 1930 жылға дейін белгілі болды. Дәлелденген соңғы классикалық болжамдардың бірі – принципализация қасиеті. Сыныптық өріс теориясының алғашқы дәлелдемелері маңызды талдамалық әдістерді қолданды. 1930 жылдары және одан кейін шексіз кеңейтулердің және Вольфганг Круллдің олардың Галуа топтарының теориясының қолданылуы артты. Бұл Понтрягин дуалдығымен бірігіп, орталық нәтиже, яғни Артиннің өзара байланыс заңының нақтырақ, бірақ абстрактілі тұжырымын берді. 1930 жылдары Клод Шевалидің идеалдық кластарды алмастыру үшін идеалдарды енгізуі маңызды қадам болды, бұл, негізінен, жаһандық өрістердің абельдік кеңейтулерін сипаттауды нақтылап, жеңілдетті. 1940 жылға дейін көптеген негізгі нәтижелер дәлелденді. Кейіннен нәтижелер топтық когомология тұрғысынан қайта формулировкаланды, бұл бірнеше буын сан теориялықтары үшін сыныптық өріс теориясын оқып үйренудің стандартты тәсіліне айналды. Когомологиялық әдістің бір кемшілігі – оның салыстырмалы түрде түсініксіздігі. Бернард Дворк, Джон Тейт, Михель Хазевинкельдің жергілікті үлестерінің нәтижесінде және Юрген Нойкирхтің жергілікті және жаһандық қайта түсіндіруі, сондай-ақ көптеген математиктердің ашық өзара формулалар бойынша жұмысына байланысты, сыныптық өріс теориясының өте нақты және когомологиясыз ұсынылысы 1990 жылдары құрылды. (Мысалы, Нойкирхтің «Сыныптық өріс теориясы» еңбегін қараңыз.)

The origins of class field theory lie in the quadratic reciprocity law proved by Gauss. The generalization took place as a long term historical project, involving quadratic forms and their 'genus theory', work of Ernst Kummer and Leopold Kronecker/Kurt Hensel on ideals and completions, the theory of cyclotomic and Kummer extensions. The first two class field theories were very explicit cyclotomic and complex multiplication class field theories. They used additional structures: in the case of the field of rational numbers they use roots of unity, in the case of imaginary quadratic extensions of the field of rational numbers they use elliptic curves with complex multiplication and their points of finite order. Much later, the theory of Shimura provided another very explicit class field theory for a class of algebraic number fields. In positive characteristic , Kawada and Satake used Witt duality to get a very easy description of the part of the reciprocity homomorphism. However, these very explicit theories could not be extended to more general number fields. General class field theory used different concepts and constructions which work over every global field. The famous problems of David Hilbert stimulated further development, which led to the reciprocity laws, and proofs by Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Emil Artin, Helmut Hasse and many others. The crucial Takagi existence theorem was known by 1920 and all the main results by about 1930. One of the last classical conjectures to be proved was the principalisation property. The first proofs of class field theory used substantial analytic methods. In the 1930s and subsequently saw the increasing use of infinite extensions and Wolfgang Krull's theory of their Galois groups. This combined with Pontryagin duality to give a clearer if more abstract formulation of the central result, the Artin reciprocity law. An important step was the introduction of ideles by Claude Chevalley in the 1930s to replace ideal classes, essentially clarifying and simplifying the description of abelian extensions of global fields. Most of the central results were proved by 1940. Later the results were reformulated in terms of group cohomology, which became a standard way to learn class field theory for several generations of number theorists. One drawback of the cohomological method is its relative inexplicitness. As the result of local contributions by Bernard Dwork, John Tate, Michiel Hazewinkel and a local and global reinterpretation by Jürgen Neukirch and also in relation to the work on explicit reciprocity formulas by many mathematicians, a very explicit and cohomology free presentation of class field theory was established in the 1990s. (See, for example, Class Field Theory by Neukirch.)

Қолданбалар

Сыныптық өріс теориясы Артин-Вердье дуалдығын дәлелдеу үшін қолданылады. Көп егжей-тегжейлі сыныптық өріс теориясы алгебралық сан теориясының көптеген салаларында, мысалы, Ивасава теориясы және Галуа модульдері теориясында қолданылады. Сандық өрістер үшін Лэнгланд сәйкестігіне, сандық өрістер үшін BSD болжамына және сандық өрістер үшін Ивасава теориясына қатысты маңызды жетістіктердің көпшілігі егжей-тегжейлі, бірақ шешілген сыныптық өріс теориясы әдістерін немесе олардың жалпыламаларын қолданады. Сондықтан ашық мәселе – осы үш бағытта жалпы сыныптық өріс теориясының жалпыламаларын қолдану болып табылады.

Сыныптық өріс теориясының жалпылаулары

Үш негізгі жалпылау бар, олардың әрқайсысы зор қызығушылық тудырады. Олар: Лэнглендс бағдарламасы, анабелий геометриясы және жоғары сыныптық өріс теориясы. Көбінесе Лэнгленд сәйкестігі ненабелиандық сыныптық өріс теориясы ретінде қарастырылады. Егер толыққанды құрылса, ол ғаламдық өрістердің ненабелиандық Галуа кеңейтімдерінің белгілі бір теориясын қамтиды. Дегенмен, Лэнгленд сәйкестігі шекті Галуа кеңейтімдері туралы, абельдік жағдайдағы сыныптық өріс теориясы қамтитын қанша арифметикалық ақпаратты қамтымайды. Ол сондай-ақ сыныптық өріс теориясындағы барлық теореманың аналогын да қамтымайды: Лэнгленд сәйкестігінде сыныптық өрістер ұғымы жоқ. Лэнгленд сәйкестігіне балама болатын бірнеше басқа да ненабелиандық теориялар, жергілікті де, жаһандық та бар. Сыныптық өріс теориясының тағы бір жалпылауы – анабелий геометриясы, ол бастапқы объектіні (мысалы, сан өрісін немесе оның үстіндегі гиперболалық қисықты) оның толық абсолютті Галуа тобының немесе алгебралық фундаменталдық тобының білімінен қалпына келтіру алгоритмдерін зерттейді. Тағы бір табиғи жалпылау – жоғары сыныптық өріс теориясы, ол жоғары жергілікті сыныптық өріс теориясы мен жоғары жаһандық сыныптық өріс теориясына бөлінеді. Ол жоғары жергілікті өрістер мен жоғары жаһандық өрістердің абельдік кеңейтімдерін сипаттайды. Соңғылары бүтін сандар бойынша шекті типтегі схемалардың функциялық өрістері түрінде келеді, сондай-ақ олардың тиісті локализациялары мен толықтырулары да бар. Ол алгебралық K-теорияны қолданады, ал тиісті Милнор K-топтары бір өлшемді сыныптық өріс теориясында қолданылатын топтарды жалпылайды.