Теория полей классов: основные понятия и обобщения

Введение

В математике теория классов (CFT) является фундаментальной ветвью алгебраической теории чисел, целью которой является описание всех абелевых расширений Галуа локальных и глобальных полей с использованием объектов, связанных с базовым полем. Гильберту приписывают заслуги одного из пионеров понятия классового поля. Однако это понятие было уже знакомо Кронекеру, и фактически именно Вебер ввел этот термин до публикации основополагающих работ Гильберта. Соответствующие идеи развивались в течение нескольких десятилетий, что привело к ряду гипотез Гильберта, впоследствии доказанных Такаги и Артином (с использованием теоремы Чеботарева). Одним из основных результатов является: для заданного числового поля F и обозначения K для максимального абелева неразветвленного расширения F, группа Галуа K над F канонически изоморфна группе классов идеалов F. Это утверждение было обобщено в так называемый закон взаимности Артина; в иделической терминологии, обозначая CF группу классов идеалов F и L – любое конечное абелево расширение F, этот закон дает канонический изоморфизм, где обозначает иделическую норму из L в F. Этот изоморфизм называется отображением взаимности. Теорема о существовании утверждает, что отображение взаимности можно использовать для установления биекции между множеством абелевых расширений F и множеством замкнутых подгрупп конечного индекса в . Стандартным методом разработки глобальной теории поля классов с 1930-х годов было построение локальной теории поля классов, описывающей абелевы расширения локальных полей, и последующее использование ее для построения глобальной теории поля классов. Это впервые было сделано Эмилем Артином и Тейтом с использованием теории групповой когомологии, в частности, путем развития понятия классовых формаций. Позже Нойкирх нашел доказательство основных утверждений глобальной теории поля классов без использования когомологических идей. Его метод был явным и алгоритмическим. Внутри теории поля классов можно выделить теорию поля специального класса и теорию поля общего класса. Явная теория поля классов обеспечивает явное построение максимальных абелевых расширений числового поля в различных ситуациях. Эта часть теории включает теорему Кронекера — Вебера, которую можно использовать для построения абелевых расширений , и теорию комплексного умножения для построения абелевых расширений полей CM. Существует три основных обобщения теории поля классов: теория полей высшего класса, программа Лэнглендса (или «соответствия Лэнглендса») и анабелийская геометрия.

Branch of algebraic number theory concerned with abelian extensions
In mathematics, class field theory (CFT) is the fundamental branch of algebraic number theory whose goal is to describe all the abelian Galois extensions of local and global fields using objects associated to the ground field. Hilbert is credited as one of pioneers of the notion of a class field. However, this notion was already familiar to Kronecker and it was actually Weber who coined the term before Hilbert's fundamental papers came out. The relevant ideas were developed in the period of several decades, giving rise to a set of conjectures by Hilbert that were subsequently proved by Takagi and Artin (with the help of Chebotarev's theorem). One of the major results is: given a number field F, and writing K for the maximal abelian unramified extension of F, the Galois group of K over F is canonically isomorphic to the ideal class group of F. This statement was generalized to the so called Artin reciprocity law; in the idelic language, writing CF for the idele class group of F, and taking L to be any finite abelian extension of F, this law gives a canonical isomorphism

where denotes the idelic norm map from L to F. This isomorphism is named the reciprocity map. The existence theorem states that the reciprocity map can be used to give a bijection between the set of abelian extensions of F and the set of closed subgroups of finite index of

A standard method for developing global class field theory since the 1930s was to construct local class field theory, which describes abelian extensions of local fields, and then use it to construct global class field theory. This was first done by Emil Artin and Tate using the theory of group cohomology, and in particular by developing the notion of class formations. Later, Neukirch found a proof of the main statements of global class field theory without using cohomological ideas. His method was explicit and algorithmic. Inside class field theory one can distinguish special class field theory and general class field theory. Explicit class field theory provides an explicit construction of maximal abelian extensions of a number field in various situations. This portion of the theory consists of Kronecker–Weber theorem, which can be used to construct the abelian extensions of , and the theory of complex multiplication to construct abelian extensions of CM fields. There are three main generalizations of class field theory: higher class field theory, the Langlands program (or 'Langlands correspondences'), and anabelian geometry.

Формулировка на современном языке

В современном математическом языке теорию поля классов (ТПК) можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим максимальное абелево расширение A локального или глобального поля K. Оно имеет бесконечную степень над K; группа Галуа G от A над K является бесконечной проконечной группой, следовательно, компактной топологической группой, и она абелева. Центральные цели теории классовых полей заключаются в следующем: описать G в терминах определенных соответствующих топологических объектов, связанных с K, описать конечные абелевы расширения K в терминах открытых подгрупп конечного индекса в топологическом объекте, связанном с K. В частности, желательно установить взаимно однозначное соответствие между конечными абелевыми расширениями K и их группами норм в этом топологическом объекте для K. Этот топологический объект является мультипликативной группой в случае локальных полей с конечным полем вычетов и группой идеального класса в случае глобальных полей. Конечное абелево расширение, соответствующее открытой подгруппе конечного индекса, называется классовым полем для этой подгруппы, что и дало название теории. Фундаментальный результат общей теории классовых полей утверждает, что группа G естественным образом изоморфна проконечному завершению CK, мультипликативной группы локального поля или группы идеального класса глобального поля, относительно естественной топологии на CK, связанной со специфической структурой поля K. Эквивалентно, для любого конечного галазоисова расширения L поля K, существует изоморфизм (отображение взаимности Артина)

абелианизации группы Галуа расширения и факторгруппы группы идеального класса K по образу нормы группы идеального класса L.

Для некоторых малых полей, таких как поле рациональных чисел или его квадратичных мнимых расширений, существует более детальная, но слишком специфическая теория, которая предоставляет больше информации. Например, абелизированная абсолютная группа Галуа G поля ℚ (естественно изоморфна) бесконечному произведению группы единиц p-адических целых чисел, взятых по всем простым числам p, и соответствующее максимальное абелево расширение рациональных чисел — это поле, порожденное всеми корнями из единицы. Это известно как теорема Кронекера — Вебера, первоначально предложенная Леопольдом Кронекером. В этом случае отображение взаимности теории классовых полей (или отображение взаимности Артина) также допускает явное описание благодаря теореме Кронекера — Вебера. Однако основные построения таких более детальных теорий для малых алгебраических числовых полей не могут быть распространены на общий случай алгебраических числовых полей, и в общей теории классовых полей используются различные концептуальные принципы. Стандартный метод построения отображения взаимности состоит в том, чтобы сначала построить локальный изоморфизм взаимности из мультипликативной группы завершения глобального поля в группу Галуа его максимального абелева расширения (это делается в теории поля локальных классов), а затем доказать, что произведение всех таких локальных отображений взаимности, когда оно определено на группе иделов глобального поля, тривиально на образе мультипликативной группы глобального поля. Последнее свойство называется глобальным законом взаимности и является далеко идущим обобщением квадратичного закона взаимности Гаусса. Один из методов построения отображения взаимности использует формирование классов, которое выводит теорию классовых полей из аксиом теории классовых полей. Этот вывод является чисто топологически-групповым, в то время как для установления аксиом необходимо использовать кольцевую структуру исходного поля. Существуют методы, использующие группы когомологий, в частности группу Брауэра, и методы, не использующие группы когомологий, но являющиеся явными и плодотворными для приложений.

For some small fields, such as the field of rational numbers or its quadratic imaginary extensions there is a more detailed very explicit but too specific theory which provides more information. For example, the abelianized absolute Galois group G of is (naturally isomorphic to) an infinite product of the group of units of the p adic integers taken over all prime numbers p, and the corresponding maximal abelian extension of the rationals is the field generated by all roots of unity. This is known as the Kronecker–Weber theorem, originally conjectured by Leopold Kronecker. In this case the reciprocity isomorphism of class field theory (or Artin reciprocity map) also admits an explicit description due to the Kronecker–Weber theorem. However, principal constructions of such more detailed theories for small algebraic number fields are not extendable to the general case of algebraic number fields, and different conceptual principles are in use in the general class field theory. The standard method to construct the reciprocity homomorphism is to first construct the local reciprocity isomorphism from the multiplicative group of the completion of a global field to the Galois group of its maximal abelian extension (this is done inside local class field theory) and then prove that the product of all such local reciprocity maps when defined on the idele group of the global field is trivial on the image of the multiplicative group of the global field. The latter property is called the global reciprocity law and is a far reaching generalization of the Gauss quadratic reciprocity law. One of the methods to construct the reciprocity homomorphism uses class formation which derives class field theory from axioms of class field theory. This derivation is purely topological group theoretical, while to establish the axioms one has to use the ring structure of the ground field. There are methods which use cohomology groups, in particular the Brauer group, and there are methods which do not use cohomology groups and are very explicit and fruitful for applications.

История

Истоки теории классовых полей лежат в законе квадратичной взаимности, доказанном Гауссом. Обобщение происходило как долгосрочный исторический проект, включающий в себя квадратичные формы и их «теорию рода», работы Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера/Курта Хенселя по идеалам и дополнениям, теорию циклотомических и куммеровских расширений. Первые две теории поля классов были очень явными – циклотомическая и теория поля класса с комплексным умножением. Они использовали дополнительные структуры: в случае поля рациональных чисел – корни из единицы, в случае воображаемых квадратичных расширений поля рациональных чисел – эллиптические кривые с комплексным умножением и их точки конечного порядка. Гораздо позже теория Шимуры предоставила другую очень явную теорию поля классов для класса алгебраических числовых полей. В характеристике, отличной от нуля, Кавада и Сатакэ использовали дуальность Витта, чтобы получить очень простое описание части гомоморфизма взаимности. Однако эти очень явные теории нельзя было распространить на более общие числовые поля. Общая теория поля классов использовала различные концепции и построения, работающие над любым глобальным полем. Знаменитые проблемы Давида Гильберта стимулировали дальнейшее развитие, которое привело к законам взаимности и доказательствам Тейдзи Такаги, Филиппа Фуртвенглера, Эмиля Артина, Гельмута Хассе и многих других. Ключевая теорема существования Такаги была известна к 1920 году, а все основные результаты – примерно к 1930 году. Одной из последних классических гипотез, которые предстояло доказать, было свойство принципиализации. Первые доказательства теории классовых полей использовали существенные аналитические методы. В 1930-х годах и впоследствии наблюдалось возрастающее использование бесконечных расширений и теории Вольфганга Крулла об их группах Галуа. Это, в сочетании с дуальностью Понтрягина, дало более ясную, хотя и более абстрактную формулировку центрального результата – закона взаимности Артина. Важным шагом стало введение идел Клодом Шевали в 1930-х годах для замены классов идеалов, по существу уточняя и упрощая описание абелевых расширений глобальных полей. Большинство основных результатов были доказаны к 1940 году. Позже результаты были переформулированы в терминах групповой когомологии, которая стала стандартным способом изучения теории поля классов для нескольких поколений теоретиков чисел. Одним из недостатков когомологического метода является его относительная неявность. В результате локальных вкладов Бернарда Дворка, Джона Тейта, Михеля Хазевинкеля и локальной и глобальной реинтерпретации Юргена Нойкирха, а также в связи с работами над формулами явной взаимности, выполненными многими математиками, в 1990-х годах была создана очень явная и свободная от когомологий презентация теории классовых полей. (См., например, «Теория поля классов» Нойкирха.)

The origins of class field theory lie in the quadratic reciprocity law proved by Gauss. The generalization took place as a long term historical project, involving quadratic forms and their 'genus theory', work of Ernst Kummer and Leopold Kronecker/Kurt Hensel on ideals and completions, the theory of cyclotomic and Kummer extensions. The first two class field theories were very explicit cyclotomic and complex multiplication class field theories. They used additional structures: in the case of the field of rational numbers they use roots of unity, in the case of imaginary quadratic extensions of the field of rational numbers they use elliptic curves with complex multiplication and their points of finite order. Much later, the theory of Shimura provided another very explicit class field theory for a class of algebraic number fields. In positive characteristic , Kawada and Satake used Witt duality to get a very easy description of the part of the reciprocity homomorphism. However, these very explicit theories could not be extended to more general number fields. General class field theory used different concepts and constructions which work over every global field. The famous problems of David Hilbert stimulated further development, which led to the reciprocity laws, and proofs by Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Emil Artin, Helmut Hasse and many others. The crucial Takagi existence theorem was known by 1920 and all the main results by about 1930. One of the last classical conjectures to be proved was the principalisation property. The first proofs of class field theory used substantial analytic methods. In the 1930s and subsequently saw the increasing use of infinite extensions and Wolfgang Krull's theory of their Galois groups. This combined with Pontryagin duality to give a clearer if more abstract formulation of the central result, the Artin reciprocity law. An important step was the introduction of ideles by Claude Chevalley in the 1930s to replace ideal classes, essentially clarifying and simplifying the description of abelian extensions of global fields. Most of the central results were proved by 1940. Later the results were reformulated in terms of group cohomology, which became a standard way to learn class field theory for several generations of number theorists. One drawback of the cohomological method is its relative inexplicitness. As the result of local contributions by Bernard Dwork, John Tate, Michiel Hazewinkel and a local and global reinterpretation by Jürgen Neukirch and also in relation to the work on explicit reciprocity formulas by many mathematicians, a very explicit and cohomology free presentation of class field theory was established in the 1990s. (See, for example, Class Field Theory by Neukirch.)

Приложения

Теория полей классов используется для доказательства дуальности Артина — Вердье. Очень конкретная теория полей классов применяется во многих областях алгебраической теории чисел, таких как теория Ивасавы и теория модулей Галуа. Большинство ключевых результатов в направлении соответствия Лэнглендса для числовых полей, гипотезы Бирча — Свиннертон-Дайера для числовых полей и теории Ивасавы для числовых полей основаны на очень конкретных, но узкоспециализированных методах теории полей классов или их обобщениях. Таким образом, открытым остается вопрос об использовании обобщений общей теории полей классов в этих трех направлениях.

Обобщения теории классовых полей

Есть три основных обобщения, каждое из которых представляет большой интерес. Это: программа Лэнгландса, анабелева геометрия и теория поля высшего класса. Часто соответствие Лэнгландса рассматривается как неабелева теория классовых полей. Если и когда оно будет полностью установлено, оно будет содержать определенную теорию неабелевских расширений Галуа глобальных полей. Однако, в соответствии Лэнгландса не содержится столько арифметической информации о конечных расширениях Галуа, как в теории классовых полей в абелевом случае. Оно также не включает аналог теоремы о существовании в теории классовых полей: понятие классовых полей отсутствует в соответствии Лэнгландса. Существует несколько других неабелевых теорий, локальных и глобальных, которые предлагают альтернативы точке зрения, основанной на соответствии Лэнгландса. Другим обобщением теории классовых полей является анабелева геометрия, которая изучает алгоритмы восстановления исходного объекта (например, числового поля или гиперболической кривой над ним) из знания его полной абсолютной группы Галуа или алгебраической фундаментальной группы. Еще одним естественным обобщением является теория поля высшего класса, разделенная на теорию поля высшего местного класса и теорию поля высшего глобального класса. Она описывает абелевы расширения высших локальных полей и высших глобальных полей. Последние представляются как поля функций схем конечного типа над целыми числами и их соответствующих локализаций и завершений. В ней используется алгебраическая K-теория, а соответствующие группы Милнора K обобщают те, которые используются в одномерной теории классовых полей.