Кіріспе
3-дәрежелі полиномиялық функция. Математикада кубтық функция — 3-дәрежелі полиномиялық функция. Көптеген мәтіндерде a, b, c және d коэффициенттері нақты сандар деп есептеледі, ал функция нақты сандарды нақты сандарға немесе кешенді сандарды кешенді сандарға бейнелейтін кешенді функция ретінде қарастырылады. Басқа жағдайларда коэффициенттер кешенді сандар болуы мүмкін, және функцияның кодомены кешенді сандар жиыны болып табылады, тіпті домен нақты сандармен шектелген жағдайда да. Егер функцияны теңдеуге келтірсек, мынадай кубтық теңдеу пайда болады:
In mathematics, a cubic function is a function of the form that is, a polynomial function of degree three. In many texts, the coefficients a, b, c, and d are supposed to be real numbers, and the function is considered as a real function that maps real numbers to real numbers or as a complex function that maps complex numbers to complex numbers. In other cases, the coefficients may be complex numbers, and the function is a complex function that has the set of the complex numbers as its codomain, even when the domain is restricted to the real numbers. Setting produces a cubic equation of the form
whose solutions are called roots of the function. The derivative of a cubic function is a quadratic function. A cubic function with real coefficients has either one or three real roots (which may not be distinct); all odd degree polynomials with real coefficients have at least one real root. The graph of a cubic function always has a single inflection point. It may have two critical points, a local minimum and a local maximum. Otherwise, a cubic function is monotonic. The graph of a cubic function is symmetric with respect to its inflection point; that is, it is invariant under a rotation of a half turn around this point. Up to an affine transformation, there are only three possible graphs for cubic functions. Cubic functions are fundamental for cubic interpolation.
оның шешімдері функцияның түбірлері деп аталады. Кубтық функцияның туындысы — квадраттық функция. Нақты коэффициенттері бар кубтық функцияда бір немесе үш нақты түбір болады (олар бір-бірінен өзгеше болуы мүмкін); нақты коэффициенттері бар барлық тақ дәрежелі полиномдардың кем дегенде бір нақты түбірі болады. Кубтық функцияның графигінде әрқашан бір иілу нүктесі болады. Онда екі сыни нүкте болуы мүмкін: жергілікті минимум және жергілікті максимум. Әйтпесе, кубтық функция монотонды болады. Кубтық функцияның графигі иілу нүктесіне қатысты симметриялы; яғни, ол осы нүктеге жарты айналым жасағанда өзгермейді. Аффиндік түрлендіруге дейін кубтық функциялар үшін тек үш мүмкін график бар. Кубтық функциялар кубтық интерполяция үшін маңызды болып табылады.
In mathematics, a cubic function is a function of the form that is, a polynomial function of degree three. In many texts, the coefficients a, b, c, and d are supposed to be real numbers, and the function is considered as a real function that maps real numbers to real numbers or as a complex function that maps complex numbers to complex numbers. In other cases, the coefficients may be complex numbers, and the function is a complex function that has the set of the complex numbers as its codomain, even when the domain is restricted to the real numbers. Setting produces a cubic equation of the form
whose solutions are called roots of the function. The derivative of a cubic function is a quadratic function. A cubic function with real coefficients has either one or three real roots (which may not be distinct); all odd degree polynomials with real coefficients have at least one real root. The graph of a cubic function always has a single inflection point. It may have two critical points, a local minimum and a local maximum. Otherwise, a cubic function is monotonic. The graph of a cubic function is symmetric with respect to its inflection point; that is, it is invariant under a rotation of a half turn around this point. Up to an affine transformation, there are only three possible graphs for cubic functions. Cubic functions are fundamental for cubic interpolation.
Симметрия
Кубикалық функциясы үшін бұрылыс нүктесі бастапқы нүкте болады. Мұндай функция тақ функция болғандықтан, оның графигі бұрылыс нүктесіне қатысты симметриялық және бұрылыс нүктесінің айналасында 180 градусқа бұру кезінде өзгермейді. Бұл қасиеттер ұқсастық бойынша сақталады, сондықтан бұл барлық кубикалық функциялар үшін де дұрыс. Кубикалық функцияның графигі оның бұрылыс нүктесіне қатысты симметриялық және бұрылыс нүктесінің айналасында 180 градусқа бұру кезінде өзгермейді.
Кубтық интерполяция
Функцияның мәні мен оның туындысы екі нүктеде берілген болса, дәл сол төрт мәнді қайталайтын бір ғана текшелік функция болады, ол текшелік Гермит шплині деп аталады. Бұл фактіні пайдаланудың екі стандартты тәсілі бар. Біріншіден, егер функцияның мәні мен оның туындысы, мысалы, физикалық өлшеулер арқылы белгілі бір үлгілеу нүктелерінде белгілі болса, онда функцияны үздіксіз дифференциалданатын функциямен интерполяциялауға болады, ол бөліктік текшелік функция болып табылады. Егер функцияның мәні бірнеше нүктеде белгілі болса, текшелік интерполяция функцияны үздіксіз дифференциалданатын, яғни бөліктік текшелік функциямен жуықтаудан тұрады. Бірегей анықталған интерполяция үшін екі қосымша шектеу қосылуы керек, мысалы, туындының соңғы нүктелердегі мәндері немесе соңғы нүктелердегі нөлдік қисықтық.