Введение
Многочленная функция 3-й степени
In mathematics, a cubic function is a function of the form that is, a polynomial function of degree three. In many texts, the coefficients a, b, c, and d are supposed to be real numbers, and the function is considered as a real function that maps real numbers to real numbers or as a complex function that maps complex numbers to complex numbers. In other cases, the coefficients may be complex numbers, and the function is a complex function that has the set of the complex numbers as its codomain, even when the domain is restricted to the real numbers. Setting produces a cubic equation of the form
whose solutions are called roots of the function. The derivative of a cubic function is a quadratic function. A cubic function with real coefficients has either one or three real roots (which may not be distinct); all odd degree polynomials with real coefficients have at least one real root. The graph of a cubic function always has a single inflection point. It may have two critical points, a local minimum and a local maximum. Otherwise, a cubic function is monotonic. The graph of a cubic function is symmetric with respect to its inflection point; that is, it is invariant under a rotation of a half turn around this point. Up to an affine transformation, there are only three possible graphs for cubic functions. Cubic functions are fundamental for cubic interpolation.
В математике кубическая функция — это функция вида , то есть многочленная функция третьей степени. Во многих текстах коэффициенты a, b, c и d предполагаются действительными числами, и функция рассматривается как действительная функция, отображающая действительные числа в действительные числа, или как комплексная функция, отображающая комплексные числа в комплексные числа. В других случаях коэффициенты могут быть комплексными числами, и функция является комплексной функцией, имеющей множество комплексных чисел в качестве области значений, даже если область определения ограничена действительными числами. Приравнивание к нулю дает кубическое уравнение вида , решения которого называются корнями функции. Производная кубической функции является квадратичной функцией. Кубическая функция с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня (которые могут совпадать); все многочлены нечетной степени с действительными коэффициентами имеют по крайней мере один действительный корень. График кубической функции всегда имеет единственную точку перегиба. Он может иметь две критические точки — локальный минимум и локальный максимум. В противном случае кубическая функция является монотонной. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, то есть он инвариантен при повороте на 180 градусов вокруг этой точки. С точностью до аффинного преобразования существует только три возможных графика для кубических функций. Кубические функции являются основополагающими для кубической интерполяции.
In mathematics, a cubic function is a function of the form that is, a polynomial function of degree three. In many texts, the coefficients a, b, c, and d are supposed to be real numbers, and the function is considered as a real function that maps real numbers to real numbers or as a complex function that maps complex numbers to complex numbers. In other cases, the coefficients may be complex numbers, and the function is a complex function that has the set of the complex numbers as its codomain, even when the domain is restricted to the real numbers. Setting produces a cubic equation of the form
whose solutions are called roots of the function. The derivative of a cubic function is a quadratic function. A cubic function with real coefficients has either one or three real roots (which may not be distinct); all odd degree polynomials with real coefficients have at least one real root. The graph of a cubic function always has a single inflection point. It may have two critical points, a local minimum and a local maximum. Otherwise, a cubic function is monotonic. The graph of a cubic function is symmetric with respect to its inflection point; that is, it is invariant under a rotation of a half turn around this point. Up to an affine transformation, there are only three possible graphs for cubic functions. Cubic functions are fundamental for cubic interpolation.
Симметрия
Для кубической функции вида точкой перегиба, таким образом, является начало координат. Поскольку такая функция является нечётной, её график симметричен относительно точки перегиба и инвариантен при повороте на пол-оборота вокруг точки перегиба. Поскольку эти свойства инвариантны относительно подобия, следующее верно для всех кубических функций: график кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба и инвариантен при повороте на пол-оборота вокруг точки перегиба.
Кубическая интерполяция
Если заданы значения функции и ее производной в двух точках, существует ровно одна кубическая функция, принимающая те же четыре значения, которая называется кубическим сплайном Эрмита. Существует два стандартных способа использования этого факта. Во-первых, если известны, например, по результатам физических измерений, значения функции и ее производной в некоторых точках дискретизации, можно интерполировать функцию непрерывно дифференцируемой функцией, которая является кусочно-кубической. Если значение функции известно в нескольких точках, кубическая интерполяция заключается в приближении функции непрерывно дифференцируемой кусочно-кубической функцией. Для однозначного определения интерполяции необходимо добавить два дополнительных ограничения, например, значения производных на концах интервала или нулевую кривизну на концах интервала.