Гипотеза Ходжа: нерешенная проблема алгебраической геометрии. Связь топологии комплексных многообразий с их подмногообразиями. Математика, алгебра, геометрия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Нерешенная проблема в геометрии
Unsolved problem in geometry
В математике гипотеза Ходжа является одной из важнейших нерешенных проблем в алгебраической и комплексной геометрии, связывающей алгебраическую топологию несингулярного комплексного алгебраического многообразия с его подмногообразиями. Говоря простыми словами, гипотеза Ходжа утверждает, что основную топологическую информацию, такую как число дыр в определенных геометрических пространствах – комплексных алгебраических многообразиях, – можно понять, изучая возможные «хорошие» формы, находящиеся внутри этих пространств и представляющие собой нуль-множества полиномиальных уравнений. Эти объекты можно исследовать с помощью алгебры и дифференциального исчисления аналитических функций, что позволяет косвенно понять общую форму и структуру часто многомерных пространств, которые иначе трудно представить. Более конкретно, гипотеза утверждает, что определенные классы когомологий де Рама являются алгебраическими, то есть представляют собой суммы двойственных Пуанкаре классов гомологии подмногообразий. Она была сформулирована шотландским математиком Уильямом Валлансом Дугласом Ходжем в результате работы между 1930 и 1940 годами, направленной на расширение описания когомологий де Рама с включением дополнительной структуры, присутствующей в случае комплексных алгебраических многообразий. Гипотеза не получила широкого внимания до доклада Ходжа на Международном конгрессе математиков 1950 года, проходившем в Кембридже, штат Массачусетс. Гипотеза Ходжа входит в список задач Института математики Клэя, за решение (доказательство или опровержение) которых предлагается приз в размере 1 000 000 долларов США.
In mathematics, the Hodge conjecture is a major unsolved problem in algebraic geometry and complex geometry that relates the algebraic topology of a non singular complex algebraic variety to its subvarieties. In simple terms, the Hodge conjecture asserts that the basic topological information like the number of holes in certain geometric spaces, complex algebraic varieties, can be understood by studying the possible nice shapes sitting inside those spaces, which look like zero sets of polynomial equations. The latter objects can be studied using algebra and the calculus of analytic functions, and this allows one to indirectly understand the broad shape and structure of often higher dimensional spaces which can not be otherwise easily visualized. More specifically, the conjecture states that certain de Rham cohomology classes are algebraic; that is, they are sums of Poincaré duals of the homology classes of subvarieties. It was formulated by the Scottish mathematician William Vallance Douglas Hodge as a result of a work in between 1930 and 1940 to enrich the description of de Rham cohomology to include extra structure that is present in the case of complex algebraic varieties. It received little attention before Hodge presented it in an address during the 1950 International Congress of Mathematicians, held in Cambridge, Massachusetts. The Hodge conjecture is one of the Clay Mathematics Institute's Millennium Prize Problems, with a prize of $1,000,000 US for whoever can prove or disprove the Hodge conjecture.
Переформулирование с точки зрения алгебраических циклов
Другой способ формулировки гипотезы Ходжа включает в себя идею алгебраического цикла. Алгебраический цикл на X – это формальная комбинация подмногообразий X; то есть, это выражение вида
Another way of phrasing the Hodge conjecture involves the idea of an algebraic cycle. An algebraic cycle on X is a formal combination of subvarieties of X; that is, it is something of the form
Коэффициенты обычно берутся целыми или рациональными. Мы определяем класс кохомологии алгебраического цикла как сумму классов кохомологии его компонент. Это пример отображения классов циклов в кохомологии де Рама, см. кохомологию Вейля. Например, класс кохомологии вышеуказанного цикла будет
The coefficients are usually taken to be integral or rational. We define the cohomology class of an algebraic cycle to be the sum of the cohomology classes of its components. This is an example of the cycle class map of de Rham cohomology, see Weil cohomology. For example, the cohomology class of the above cycle would be
Такой класс кохомологии называется алгебраическим. В этих обозначениях гипотеза Ходжа формулируется следующим образом:
Such a cohomology class is called algebraic. With this notation, the Hodge conjecture becomes
Пусть X – проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является алгебраическим. Предположение в гипотезе Ходжа о том, что X является алгебраическим (проективным комплексным многообразием), нельзя ослабить. В 1977 году Стивен Цукер показал, что можно построить контрпример к гипотезе Ходжа в виде комплексных торов с аналитической рациональной кохомологией типа , которые не являются проективными алгебраическими. (см. приложение Б к ).
Let X be a projective complex manifold. Then every Hodge class on X is algebraic. The assumption in the Hodge conjecture that X be algebraic (projective complex manifold) cannot be weakened. In 1977, Steven Zucker showed that it is possible to construct a counterexample to the Hodge conjecture as complex tori with analytic rational cohomology of type , which is not projective algebraic. (see appendix B of )
Гиперповерхности
Согласно теореме сильного и слабого Лефшеца, единственной нетривиальной частью гипотезы Ходжа для гиперповерхностей является часть степени m (то есть, средняя когомология) гиперповерхности размерности 2m. Если степень d равна 2, то есть X является квадрикой, гипотеза Ходжа выполняется для всех m. Для четырёхмерных многообразий, то есть, для четырёхкратных, гипотеза Ходжа известна для .
By the strong and weak Lefschetz theorem, the only non trivial part of the Hodge conjecture for hypersurfaces is the degree m part (i. e., the middle cohomology) of a 2m dimensional hypersurface If the degree d is 2, i. e., X is a quadric, the Hodge conjecture holds for all m. For , i. e., fourfolds, the Hodge conjecture is known for .
Абелевы сорта
Для большинства абелевых многообразий алгебра Hdg*(X) порождается в степени один, поэтому гипотеза Ходжа выполняется. В частности, гипотеза Ходжа выполняется для достаточно общих абелевых многообразий, для произведений эллиптических кривых и для простых абелевых многообразий простого измерения. Однако, был построен пример абелева многообразия, где Hdg2(X) не порождается произведениями классов делителей. обобщил этот пример, показав, что всякий раз, когда многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле, то Hdg2(X) не порождается произведениями классов делителей. доказал, что в размерности меньше 5, либо Hdg*(X) порождается в степени один, либо многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле. В последнем случае гипотеза Ходжа известна лишь в частных случаях.
For most abelian varieties, the algebra Hdg*(X) is generated in degree one, so the Hodge conjecture holds. In particular, the Hodge conjecture holds for sufficiently general abelian varieties, for products of elliptic curves, and for simple abelian varieties of prime dimension. However, constructed an example of an abelian variety where Hdg2(X) is not generated by products of divisor classes. generalized this example by showing that whenever the variety has complex multiplication by an imaginary quadratic field, then Hdg2(X) is not generated by products of divisor classes. proved that in dimension less than 5, either Hdg*(X) is generated in degree one, or the variety has complex multiplication by an imaginary quadratic field. In the latter case, the Hodge conjecture is only known in special cases.
Алгебраичность локусов Ходжа
Самым сильным аргументом в пользу гипотезы Ходжа является результат об алгебраичности. Предположим, что мы варьируем комплексную структуру X над простосвязной базой. Тогда топологическая когомология X не изменяется, но разложение Ходжа меняется. Известно, что если гипотеза Ходжа верна, то множество всех точек на базе, где когомология волокна является классом Ходжа, фактически является алгебраическим подмножеством, то есть определяется полиномиальными уравнениями. Каттани, Делинь и Каплан (1995) доказали, что это всегда так, без предположения о справедливости гипотезы Ходжа.
The strongest evidence in favor of the Hodge conjecture is the algebraicity result of Suppose that we vary the complex structure of X over a simply connected base. Then the topological cohomology of X does not change, but the Hodge decomposition does change. It is known that if the Hodge conjecture is true, then the locus of all points on the base where the cohomology of a fiber is a Hodge class is in fact an algebraic subset, that is, it is cut out by polynomial equations. Cattani, Deligne & Kaplan (1995) proved that this is always true, without assuming the Hodge conjecture.