Кіріспе
Математикада нақты мәнді функция, егер функция графигіндегі кез келген екі түрлі нүкте арасындағы түзу кесіндісі екі нүкте арасындағы графиктің үстінде жатса, дөңгелек функция деп аталады. Балама түсіндіру бойынша, функция дөңгелек болады, егер оның эпиграфы (функция графигіндегі немесе одан жоғарыдағы нүктелер жиыны) дөңгелек жиын болса. Қарапайым тілмен айтқанда, дөңгелек функция графигінің пішіні кесе тәрізді (немесе сызықтық функция сияқты түзу сызық), ал ойыс функция графигінің пішіні қақпақ тәрізді болады. Бір айнымалының екі рет дифференциалданатын функциясы дөңгелек болады, егер және тек қана оның екінші туындысы бүкіл анықталу облысында теріс емес болса. Бір айнымалының дөңгелек функцияларының белгілі мысалдары: сызықтық функция (мұндағы – нақты сан), квадраттық функция (– оң немесе теріс емес нақты сан) және экспоненциалдық функция (– оң немесе теріс емес нақты сан). Дөңгелек функциялар математиканың көптеген салаларында маңызды рөл атқарады. Олар әсіресе оптимизация мәселелерін зерттеуде маңызды, онда олар көптеген ыңғайлы қасиеттерімен ерекшеленеді. Мысалы, ашық жиынтықтағы қатаң дөңгелек функцияда бірден артық минимум болмайды. Тіпті шексіз өлшемді кеңістіктерде де, тиісті қосымша гипотезалар болған жағдайда, дөңгелек функциялар осындай қасиеттерді сақтайды және нәтижесінде вариациялар есебінде ең жақсы түсінілген функционалдар болып табылады. Ықтималдықтар теориясында, кездейсоқ шаманың күтілетін мәніне қолданылған дөңгелек функция әрқашан кездейсоқ шаманың дөңгелек функциясының күтілетін мәнімен шектеледі. Бұл нәтиже Дженсеннің теңсіздігі деп аталады, оны арифметикалық-геометриялық орта теңсіздігі және Гельдердің теңсіздігі сияқты теңсіздіктерді шығару үшін пайдалануға болады.
In mathematics, a real valued function is called convex if the line segment between any two distinct points on the graph of the function lies above the graph between the two points. Equivalently, a function is convex if its epigraph (the set of points on or above the graph of the function) is a convex set. In simple terms, a convex function graph is shaped like a cup (or a straight line like a linear function), while a concave function's graph is shaped like a cap
A twice differentiable function of a single variable is convex if and only if its second derivative is nonnegative on its entire domain. Well known examples of convex functions of a single variable include a linear function (where is a real number), a quadratic function ( as a nonnegative real number) and an exponential function ( as a nonnegative real number). Convex functions play an important role in many areas of mathematics. They are especially important in the study of optimization problems where they are distinguished by a number of convenient properties. For instance, a strictly convex function on an open set has no more than one minimum. Even in infinite dimensional spaces, under suitable additional hypotheses, convex functions continue to satisfy such properties and as a result, they are the most well understood functionals in the calculus of variations. In probability theory, a convex function applied to the expected value of a random variable is always bounded above by the expected value of the convex function of the random variable. This result, known as Jensen's inequality, can be used to deduce inequalities such as the arithmetic–geometric mean inequality and Hölder's inequality.
Басқа атаулар
Конвекс термині көбінесе төмен қарай қисық немесе жоғары қарай дөңгелек деп аталады, ал конкава термині көбінесе жоғары қарай қисық немесе төмен қарай дөңгелек деп аталады. Егер "convex" термині "up" немесе "down" сөзі қолданылмаса, онда ол қалыпты түрде тостаған тәрізді графикке қатысты болады. Мысалы, Дженсеннің теңсіздігі конвекс немесе төмен қарай қисық функцияны қамтитын теңсіздікке қатысты.
Қасиеттері
Көптеген дөңес функциялардың қасиеттері көптеген айнымалылардың функциялары үшін, бір айнымалының функциялары үшін де бірдей қарапайым түрде беріледі. Көптеген айнымалылар жағдайындағы қасиеттер төменде келтірілген, олардың кейбіреулері бір айнымалы функциялар үшін тізімделмеген.
Бір айнымалының функциялары
Болсын – нақты айнымалының бір интервалда анықталған функциясы, ал (бірінші суреттегі күлгін түстің еңісі; функция симметриялы, яғни және алмастырғанда өзгермейді). Функция дөңес болады, егер және тек қана әрбір бекітілген үшін монотонды түрде кемдемейтін болса (немесе керісінше). Бұл дөңестіктің сипаттамасы келесі нәтижелерді дәлелдеу үшін өте пайдалы. Бір нақты айнымалының белгілі бір ашық интервалда анықталған дөңес функциясы сол интервалда үздіксіз болады, сол және оң жақ туындыларын қабылдайды, және олар монотонды түрде кемдемейді. Сонымен қатар, сол жақ туындысы сол жақтан үздіксіз, ал оң жақ туындысы оң жақтан үздіксіз. Осының салдарынан, функция көптеген нүктелерде дифференциалданады, бірақ ең көп дегенде санаулы нүктелерде ғана дифференциалдана алмайды, бірақ дифференциалдана алмайтын жиын тығыз болуы мүмкін. Егер интервал жабық болса, онда функция интервалдың соңғы нүктелерінде үздіксіз болмауы мүмкін (мысалы, мысалдар бөлімінде көрсетілген). Бір айнымалының дифференциалданатын функциясы интервалда дөңес болады, егер және тек қана оның туындысы сол интервалда монотонды түрде кемдемейтін болса. Егер функция дифференциалданатын және дөңес болса, онда ол үздіксіз дифференциалданатын болады. Бір айнымалының дифференциалданатын функциясы интервалда дөңес болады, егер және тек қана оның графигі барлық жанамаларының үстінде жатса: интервалдағы барлық және үшін . Бір айнымалының екі рет дифференциалданатын функциясы интервалда дөңес болады, егер және тек қана оның екінші туындысы сол жерде теріс болмаса; бұл дөңестікті тексерудің практикалық тәсілін береді. Көрнекі тұрғыдан, екі рет дифференциалданатын дөңес функция "жоғары қарай иіледі", басқа жаққа бұрылмайды (инфлексиялық нүктелер). Егер оның екінші туындысы барлық нүктелерде оң болса, онда функция қатаң дөңес, бірақ керісінше дұрыс емес. Мысалы, функцияның екінші туындысы , ол үшін нөлге тең, бірақ функция қатаң дөңес. Бұл қасиет және жоғарыдағы "оның туындысы монотонды түрде кемдемейді" қасиеті бірдей емес, өйткені егер интервалда теріс болмаса, онда ол монотонды түрде кемдемейді, ал керісі дұрыс емес, мысалы, функцияның туындысы кейбір нүктелерде анықталмаса, ол монотонды түрде кемдемейді. Егер функция бір нақты айнымалының дөңес функциясы болса, және , онда ол оң нақты сандар үшін суперәдитивті болады, яғни оң нақты сандар және үшін .
A function is midpoint convex on an interval if for all This condition is only slightly weaker than convexity. For example, a real valued Lebesgue measurable function that is midpoint convex is convex: this is a theorem of Sierpiński. In particular, a continuous function that is midpoint convex will be convex.
Функция интервалда орта нүктесі бойынша дөңес болады, егер барлық үшін . Бұл шарт дөңестіктен сәл ғана әлсіз. Мысалы, орта нүктесі бойынша дөңес Lebesgue өлшенетін нақты функция дөңес болады: бұл Sierpiński теоремасы. Атап айтқанда, орта нүктесі бойынша дөңес үздіксіз функция дөңес болады.
A function is midpoint convex on an interval if for all This condition is only slightly weaker than convexity. For example, a real valued Lebesgue measurable function that is midpoint convex is convex: this is a theorem of Sierpiński. In particular, a continuous function that is midpoint convex will be convex.
Бірнеше айнымалылардың функциялары
Кеңейтілген нақты сандардағы функция құрғақ болады, егер және тек егер оның эпиграфы дөңес жиын болса. Дөңес доменде анықталған дифференциалданатын функция дөңес болады, егер және тек егер домендегі барлық x үшін дұрыс болса. Екі рет дифференциалданатын, бірнеше айнымалы функция дөңес жиында дөңес болады, егер және тек егер оның екінші жартылай туындыларының Гессиан матрицасы дөңес жиынның ішкі бөлігінде оң жартылай анықталған болса. Дөңес функция үшін төменгі деңгейлі жиынтықтар және with – дөңес жиынтықтар. Осы қасиетті қанағаттандыратын функция квазидөңес функция деп аталады және дөңес функция болмауы мүмкін. Сәйкесінше, дөңес функцияның жаһандық минимумдарының жиынтығы дөңес жиынтық болып табылады: дөңес. Дөңес функцияның кез келген жергілікті минимумы да жаһандық минимум болып табылады. Қатаң дөңес функция ең көп дегенде бір жаһандық минимумға ие болады. Дженсен теңсіздігі кез келген дөңес функцияға қолданылады. Егер x – функцияның доменіндегі мәндерді қабылдайтын кездейсоқ айнымалы болса, онда , мұнда математикалық күтуді білдіреді. Шындығында, дөңес функциялар – Дженсен теңсіздігінің гипотезасын қанағаттандыратын функциялар. Екі оң айнымалының бірінші реттік гомогенді функциясы және (яғни, барлық оң нақты сандар үшін қанағаттандыратын функция) бір айнымалыда дөңес болса, екінші айнымалыда да дөңес болуы керек.
n айнымалылардың функциялары
LogSumExp функциясы, сонымен қатар softmax функциясы деп аталады, – дөңгелек функция. Оң анықталған матрицалар облысындағы функция дөңгелек.