Введение
Реальная функция с секущей линией между точками над графиком
In mathematics, a real valued function is called convex if the line segment between any two distinct points on the graph of the function lies above the graph between the two points. Equivalently, a function is convex if its epigraph (the set of points on or above the graph of the function) is a convex set. In simple terms, a convex function graph is shaped like a cup (or a straight line like a linear function), while a concave function's graph is shaped like a cap
A twice differentiable function of a single variable is convex if and only if its second derivative is nonnegative on its entire domain. Well known examples of convex functions of a single variable include a linear function (where is a real number), a quadratic function ( as a nonnegative real number) and an exponential function ( as a nonnegative real number). Convex functions play an important role in many areas of mathematics. They are especially important in the study of optimization problems where they are distinguished by a number of convenient properties. For instance, a strictly convex function on an open set has no more than one minimum. Even in infinite dimensional spaces, under suitable additional hypotheses, convex functions continue to satisfy such properties and as a result, they are the most well understood functionals in the calculus of variations. In probability theory, a convex function applied to the expected value of a random variable is always bounded above by the expected value of the convex function of the random variable. This result, known as Jensen's inequality, can be used to deduce inequalities such as the arithmetic–geometric mean inequality and Hölder's inequality.
В математике, функция действительного переменного называется выпуклой, если отрезок прямой, соединяющий любые две различные точки на графике функции, лежит над графиком между этими точками. Эквивалентно, функция является выпуклой, если её эпиграф (множество точек на или выше графика функции) является выпуклым множеством. Проще говоря, график выпуклой функции имеет форму чаши (или прямой линии, как у линейной функции), а график вогнутой функции – форму колпака.
In mathematics, a real valued function is called convex if the line segment between any two distinct points on the graph of the function lies above the graph between the two points. Equivalently, a function is convex if its epigraph (the set of points on or above the graph of the function) is a convex set. In simple terms, a convex function graph is shaped like a cup (or a straight line like a linear function), while a concave function's graph is shaped like a cap
A twice differentiable function of a single variable is convex if and only if its second derivative is nonnegative on its entire domain. Well known examples of convex functions of a single variable include a linear function (where is a real number), a quadratic function ( as a nonnegative real number) and an exponential function ( as a nonnegative real number). Convex functions play an important role in many areas of mathematics. They are especially important in the study of optimization problems where they are distinguished by a number of convenient properties. For instance, a strictly convex function on an open set has no more than one minimum. Even in infinite dimensional spaces, under suitable additional hypotheses, convex functions continue to satisfy such properties and as a result, they are the most well understood functionals in the calculus of variations. In probability theory, a convex function applied to the expected value of a random variable is always bounded above by the expected value of the convex function of the random variable. This result, known as Jensen's inequality, can be used to deduce inequalities such as the arithmetic–geometric mean inequality and Hölder's inequality.
Дважды дифференцируемая функция одной переменной является выпуклой тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на всей области определения. Хорошо известные примеры выпуклых функций одной переменной включают линейную функцию (где *a* – действительное число), квадратичную функцию (где *a* – неотрицательное действительное число) и экспоненциальную функцию (где *a* – неотрицательное действительное число). Выпуклые функции играют важную роль во многих областях математики. Они особенно важны при изучении задач оптимизации, где они характеризуются рядом удобных свойств. Например, строго выпуклая функция на открытом множестве имеет не более одного минимума. Даже в бесконечномерных пространствах, при подходящих дополнительных предположениях, выпуклые функции продолжают удовлетворять этим свойствам и, как следствие, являются наиболее хорошо изученными функционалами в вариационном исчислении. В теории вероятностей, выпуклая функция, примененная к математическому ожиданию случайной величины, всегда ограничена сверху математическим ожиданием выпуклой функции от этой случайной величины. Этот результат, известный как неравенство Йенсена, может быть использован для вывода таких неравенств, как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим и неравенство Гёльдера.
In mathematics, a real valued function is called convex if the line segment between any two distinct points on the graph of the function lies above the graph between the two points. Equivalently, a function is convex if its epigraph (the set of points on or above the graph of the function) is a convex set. In simple terms, a convex function graph is shaped like a cup (or a straight line like a linear function), while a concave function's graph is shaped like a cap
A twice differentiable function of a single variable is convex if and only if its second derivative is nonnegative on its entire domain. Well known examples of convex functions of a single variable include a linear function (where is a real number), a quadratic function ( as a nonnegative real number) and an exponential function ( as a nonnegative real number). Convex functions play an important role in many areas of mathematics. They are especially important in the study of optimization problems where they are distinguished by a number of convenient properties. For instance, a strictly convex function on an open set has no more than one minimum. Even in infinite dimensional spaces, under suitable additional hypotheses, convex functions continue to satisfy such properties and as a result, they are the most well understood functionals in the calculus of variations. In probability theory, a convex function applied to the expected value of a random variable is always bounded above by the expected value of the convex function of the random variable. This result, known as Jensen's inequality, can be used to deduce inequalities such as the arithmetic–geometric mean inequality and Hölder's inequality.
Альтернативное название
Термин "выпуклый" часто называют выпуклым вниз или вогнутым вверх, а термин "вогнутый" часто называют вогнутым вниз или выпуклым вверх. Если термин "выпуклый" используется без указания "вверх" или "вниз", то он относится строго к графику в форме чаши. Например, неравенство Йенсена относится к неравенству, включающему выпуклую или выпуклую вниз функцию.
Свойства
Многие свойства выпуклых функций имеют столь же простую формулировку для функций многих переменных, как и для функций одной переменной. Ниже приведены свойства для случая многих переменных, поскольку некоторые из них не перечислены для функций одной переменной.
Функции одной переменной
Предположим, что – функция одной вещественной переменной, определенная на интервале, и пусть (отметим, что – это наклон фиолетовой линии на первом рисунке; функция симметрична относительно означает, что не меняется при замене на и наоборот). Функция выпукла, если и только если монотонно не убывает по для каждого фиксированного (или наоборот). Эта характеристика выпуклости весьма полезна для доказательства следующих результатов. Выпуклая функция одной вещественной переменной, определенная на некотором открытом интервале , непрерывна на , имеет левые и правые производные, и они монотонно не убывают. Кроме того, левая производная левонепрерывна, а правая производная правонепрерывна. Следовательно, дифференцируема почти всюду, то есть во всех точках, кроме, возможно, счетного множества, при этом множество точек, где не дифференцируема, может быть плотным. Если замкнут, то может быть не непрерывной в конечных точках (пример приведен в разделе примеров). Дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале, если и только если ее производная монотонно не убывает на этом интервале. Если функция дифференцируема и выпукла, то она также непрерывно дифференцируема. Дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале, если и только если ее график лежит выше всех своих касательных: для всех и в интервале. Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале, если и только если ее вторая производная там неотрицательна; это дает практический критерий выпуклости. Визуально, дважды дифференцируемая выпуклая функция "выпукла вверх", без изгибов в другую сторону (точек перегиба). Если ее вторая производная положительна во всех точках, то функция строго выпукла, но обратное неверно. Например, вторая производная от равна , которая равна нулю для , но строго выпукла. Это свойство и вышеуказанное свойство, выраженное словами "ее производная монотонно не убывает", не эквивалентны, поскольку если неотрицательна на интервале , то монотонно не убывает на , в то время как обратное неверно: например, монотонно не убывает на , в то время как ее производная не определена в некоторых точках на . Если – выпуклая функция одной вещественной переменной и , то супераддитивна на положительных вещественных числах, то есть для любых положительных вещественных чисел и . Функция является средневыпуклой на интервале , если для всех . Это условие лишь немного слабее, чем выпуклость. Например, измеримая по Лебегу функция с вещественными значениями, которая является средневыпуклой, является выпуклой: это теорема Серпинского. В частности, непрерывная функция, которая является средневыпуклой, будет выпуклой.
A function is midpoint convex on an interval if for all This condition is only slightly weaker than convexity. For example, a real valued Lebesgue measurable function that is midpoint convex is convex: this is a theorem of Sierpiński. In particular, a continuous function that is midpoint convex will be convex.
Функции нескольких переменных
Функция, принимающая значения в расширенных действительных числах, является выпуклой тогда и только тогда, когда её эпиграф является выпуклым множеством. Дифференцируемая функция, определенная на выпуклой области, является выпуклой тогда и только тогда, когда выполняется для всех в этой области. Дважды дифференцируемая функция нескольких переменных является выпуклой на выпуклом множестве тогда и только тогда, когда её гессиан – матрица вторых частных производных – является положительно полуопределенной на внутренней части выпуклого множества. Для выпуклой функции множества подуровней и с являются выпуклыми множествами. Функция, удовлетворяющая этому свойству, называется квазивыпуклой функцией и может не быть выпуклой. Следовательно, множество глобальных минимумов выпуклой функции является выпуклым множеством: выпуклым. Любой локальный минимум выпуклой функции также является глобальным минимумом. Строго выпуклая функция имеет не более одного глобального минимума. Неравенство Йенсена применимо к любой выпуклой функции. Если является случайной величиной, принимающей значения в области определения , то , где обозначает математическое ожидание. Действительно, выпуклые функции – это именно те, которые удовлетворяют условию неравенства Йенсена. Однородная функция первого порядка от двух положительных переменных и (то есть функция, удовлетворяющая для всех положительных действительных чисел) которая выпукла по одной переменной, должна быть выпуклой и по другой переменной.
Функции n переменных
Функция LogSumExp, также называемая функцией softmax, является выпуклой функцией. Функция, определённая на множестве положительно определённых матриц, является выпуклой.