Абелевы многообразия: алгебраическая геометрия и теория чисел

Введение

Проективное алгебраическое многообразие, которое также является алгебраической группой.

В математике, особенно в алгебраической геометрии, комплексном анализе и алгебраической теории чисел, абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, которое также является алгебраической группой, то есть имеет групповой закон, который может быть задан регулярными функциями. Абелевы многообразия одновременно являются одними из наиболее изученных объектов в алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для исследований других тем в алгебраической геометрии и теории чисел. Абелево многообразие может быть определено уравнениями с коэффициентами в любом поле; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми абелевыми многообразиями, которые изучались, были те, которые определены над полем комплексных чисел. Такие абелевы многообразия оказываются точно теми комплексными торами, которые можно голоморфно вложить в комплексное проективное пространство. Абелевы многообразия, определенные над алгебраическими числовыми полями, являются особым случаем, который также важен с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом приводят от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к тем, которые определены над конечными полями и различными локальными полями. Поскольку числовое поле является полем дробей домена Дедекинда, для любого ненулевого простого числа домена Дедекинда существует отображение из домена Дедекинда в фактор-домен по этому простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. Это индуцирует отображение из поля дробей в любое такое конечное поле. Для заданной кривой с уравнением, определенным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля. Абелевы многообразия естественно возникают как якобианы (связные компоненты нуля в пикардовых многообразиях) и албанезы других алгебраических многообразий. Групповой закон абелева многообразия обязательно коммутативен, а многообразие не является сингулярным. Эллиптическая кривая — это абелево многообразие размерности 1. Абелевы многообразия имеют размерность Кодаиры 0.

История и мотивация

В начале девятнадцатого века теория эллиптических функций заложила основу теории эллиптических интегралов, открыв очевидное направление для исследований. Стандартные формы эллиптических интегралов включали квадратные корни кубических и квартичных многочленов. Что произойдет, если заменить их многочленами более высокой степени, например, пятой степени? В работах Нильса Абеля и Карла Якоби был сформулирован ответ: это потребует функций двух комплексных переменных, имеющих четыре независимых периода (то есть векторы периодов). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 (абелевой поверхности): о том, что сейчас называется якобианом гиперэллиптической кривой рода 2. После Абеля и Якоби наиболее значительный вклад в теорию абелевых функций внесли Риман, Вейерштрасс, Фробениус, Пуанкаре и Пикар. Эта тема была очень популярна в то время и уже имела обширную литературу. К концу XIX века математики начали использовать геометрические методы в изучении абелевых функций. В конечном итоге, в 1920-х годах Лефшец заложил основы изучения абелевых функций с точки зрения комплексных торов. Он также, по-видимому, впервые использовал название «абелево многообразие». Именно Андре Вейль в 1940-х годах дал предмету его современные основы на языке алгебраической геометрии. Сегодня абелевы многообразия являются важным инструментом в теории чисел, в динамических системах (в частности, в изучении гамильтоновых систем) и в алгебраической геометрии (особенно в разновидностях Пикара и албанских многообразиях).

Определение

Комплексный тор размерности g — это тор вещественной размерности 2g, наделённый структурой комплексного многообразия. Его всегда можно получить как фактор g-мерного комплексного векторного пространства по решётке ранга 2g. Комплексное абелево многообразие размерности g — это комплексный тор размерности g, который также является проективным алгебраическим многообразием над полем комплексных чисел. Используя теорему Кодайры о вложении и теорему Чоу, можно эквивалентно определить комплексное абелево многообразие размерности g как комплексный тор размерности g, допускающий положительное линейное расслоение. Поскольку они являются комплексными торами, абелевы многообразия имеют структуру группы. Морфизм абелевых многообразий — это морфизм лежащих в основе алгебраических многообразий, сохраняющий единичный элемент для групповой структуры. Изогения — это морфизм конечного к одному. Когда комплексный тор наделён структурой алгебраического многообразия, эта структура обязательно единственна. В случае g = 1 понятие абелева многообразия совпадает с понятием эллиптической кривой, и каждый комплексный тор порождает такую кривую; для g > 1 известно с времён Римана, что условие алгебраического многообразия накладывает дополнительные ограничения на комплексный тор.

Условия Римана

Следующий критерий Римана определяет, является ли заданный комплексный тор абелевым многообразием, то есть, может ли он быть вложен в проективное пространство. Пусть X — g-мерный тор, заданный как X = V/L, где V — комплексное векторное пространство размерности g, а L — решетка в V. Тогда X является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда существует положительно определенная эрмитова форма на V, чья мнимая часть принимает целые значения на L×L. Такая форма на X обычно называется (невырожденной) формой Римана. Выбирая базис для V и L, можно сделать это условие более явным. Существует несколько эквивалентных формулировок этого; все они известны как условия Римана.

Якобиан алгебраической кривой

Каждая алгебраическая кривая C рода g ≥ 1 связана с абелевым многообразием J размерности g посредством аналитического отображения C в J. Как тор, J обладает коммутативной групповой структурой, а образ C порождает J как группу. Более точно, J накрывается Cg: любая точка в J получается из g-кортежа точек в C. Изучение дифференциальных форм на C, порождающих абелевы интегралы, с которых и началась теория, может быть выведено из более простой, трансляционно-инвариантной теории дифференциалов на J. Абелево многообразие J называется якобианом кривой C для любой несингулярной кривой C над комплексными числами. С точки зрения бирациональной геометрии, его поле функций является полем фиксированных элементов симметрической группы на g элементах, действующей на поле функций Cg.

Абелевы функции

Абелева функция — это мероморфная функция на абелевом многообразии, которую можно рассматривать как периодическую функцию n комплексных переменных с 2n независимыми периодами; эквивалентно, это функция в поле функций абелева многообразия. Например, в девятнадцатом веке проявлялся большой интерес к гиперэллиптическим интегралам, которые можно выразить через эллиптические интегралы. Это эквивалентно вопросу о том, является ли J произведением эллиптических кривых с точностью до изогении.

Важные теоремы

Одной из важных теорем структуры абелевых многообразий является теорема Мацусаки. Она утверждает, что над алгебраически замкнутым полем каждое абелево многообразие является фактор-многообразием по якобиану некоторой кривой; то есть, существует некоторый эпиморфизм абелевых многообразий, где является якобианом. Эта теорема остаётся верной, если поле основания бесконечно.

Структура группы точек

Согласно определениям, абелево многообразие является групповым многообразием. Его группа точек может быть доказана коммутативной. Для поля C и, следовательно, по принципу Лефшеца для каждого алгебраически замкнутого поля характеристики ноль, группа кручения абелева многообразия размерности g изоморфна (Q/Z)^2g. Следовательно, его n-кручение изоморфно (Z/nZ)^2g, то есть произведению 2g копий циклической группы порядка n.

Когда базовое поле является алгебраически замкнутым полем характеристики p, n-кручение все еще изоморфно (Z/nZ)^2g, когда n и p взаимно просты. Когда n и p не являются взаимно простыми, тот же результат может быть получен, если понимать это так, что n-кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2g. Если вместо рассмотрения полной структуры схемы на n-кручении рассматривать только геометрические точки, то получается новый инвариант для многообразий в характеристике p (так называемый p-ранг, когда n = p). Группа k-рациональных точек для глобального поля k конечно порождена теоремой Морделла — Вейля. Следовательно, по теореме о структуре для конечно порожденных абелевых групп, она изоморфна произведению свободной абелевой группы Z^r и конечной коммутативной группы для некоторого неотрицательного целого числа r, называемого рангом абелева многообразия. Аналогичные результаты справедливы и для некоторых других классов полей k.

Продукты

Произведение абелева многообразия A размерности m и абелева многообразия B размерности n над одним и тем же полем является абелевым многообразием размерности m + n. Абелево многообразие называется простым, если оно не изогенно произведению абелевых многообразий меньшей размерности. Любое абелево многообразие изогенно произведению простых абелевых многообразий.

Поляризации

Поляризация абелева сорта — это изогения из абелева сорта в его дуальное, симметричная относительно двойной дуальности для абелевых сортов, и для которой обращение пучка Пуанкаре вдоль соответствующего морфизма графа является ample (то есть она аналогична положительно определенной квадратичной форме). Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов. Главная поляризация — это поляризация, являющаяся изоморфизмом. Якобианы кривых естественным образом снабжены главной поляризацией, как только выбрана произвольная рациональная базовая точка на кривой, и кривую можно восстановить из поляризованного якобиана, когда род больше 1. Не все главным образом поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых; см. проблему Шоттки. Поляризация индуцирует инволюцию Розати на кольце эндоморфизмов A.

Поляризации по комплексным числам

По отношению к комплексным числам поляризованное абелево многообразие может быть определено как абелево многообразие A вместе с выбором формы Римана H. Две формы Римана H1 и H2 называются эквивалентными, если существуют положительные целые числа n и m такие, что nH1 = mH2. Выбор класса эквивалентности римановых форм на A называется поляризацией A; в случае комплексных чисел это эквивалентно определению поляризации, данному выше. Морфизм поляризованных абелевых многообразий — это морфизм A → B абелевых многообразий, такой что обратное отображение формы Римана на B в A эквивалентно заданной форме на A.

Абелевская схема

Можно также определить абелевы многообразия схематически и относительно основания. Это позволяет единообразно изучать такие явления, как редукция абелевых многообразий по модулю p (см. Арифметика абелевых многообразий) и параметрические семейства абелевых многообразий. Абелева схема над базовой схемой S относительной размерности g — это правильная, гладкая групповая схема над S, геометрические волокна которой связны и имеют размерность g. Волокна абелевой схемы являются абелевыми многообразиями, поэтому абелеву схему над S можно рассматривать как семейство абелевых многообразий, параметризуемое схемой S.

Для абелевой схемы A / S группа n-крутильных точек образует конечную плоскую групповую схему. Объединение p^n-крутильных точек для всех n образует p-делимую группу. Деформации абелевых схем, согласно теореме Серра–Тата, определяются свойствами деформации соответствующих p-делимых групп.

Пример

Пусть будет таким, что многочлен не имеет кратных комплексных корней. Тогда дискриминант отличен от нуля. Пусть , так что является открытой подсхемой Тогда является абелевой схемой над . Её можно расширить до модели Нерона над , которая является гладкой групповой схемой над , но модель Нерона не является прое́ктивной и, следовательно, не является абелевой схемой над .

Не существует

В. А. Абрашкин и Жан Марк Фонтейн независимо доказали, что не существует ненулевых абелевых многообразий над Q с хорошим приведением во всех простых числах. Эквивалентно, не существует ненулевых абелевых схем над Spec Z. Доказательство состоит в том, чтобы показать, что координаты точек торсии порядка p генерируют числовые поля с очень малым разветвлением и, следовательно, с малым дискриминантом, тогда как, с другой стороны, существуют нижние оценки для дискриминантов числовых полей.

Семиабелская разновидность

Полуабелево многообразие — это коммутативное групповое многообразие, являющееся расширением абелева многообразия тором.