Введение

Отношение между родом, степенью и размерностью функциональных пространств над поверхностями

Теорема Римана-Роха — важная теорема в математике, в частности в комплексном анализе и алгебраической геометрии, для вычисления размерности пространства мероморфных функций с заданными нулями и допустимыми полюсами. Она связывает комплексный анализ связной компактной поверхности Римана с чисто топологическим родом g поверхности таким образом, что это можно перенести в чисто алгебраические контексты. Первоначально доказанная как неравенство Римана, теорема приобрела свою окончательную форму для поверхностей Римана после работ ученика Римана. Позже она была обобщена на алгебраические кривые, многообразия более высоких размерностей и далее.

RiemannRoch для линейных пучков

Используя тесное соответствие между делителями и голоморфными прямыми пучками на поверхности Римана, теорему можно также сформулировать другим, но эквивалентным способом: пусть L — голоморфный прямой пучок на X. Пусть обозначает пространство голоморфных сечений L. Это пространство будет конечномерным; его размерность обозначается Пусть K обозначает канонический пучок на X. Тогда теорема Римана — Роха утверждает, что

Теорема предыдущего раздела является частным случаем, когда L — пучок точек. Теорему можно применить, чтобы показать, что существует g линейно независимых голоморфных сечений K, или одна форма на X, следующим образом. Выберем L как тривиальный пучок, поскольку единственными голоморфными функциями на X являются константы. Степень L равна нулю, и является тривиальным пучком. Таким образом,

Следовательно, , что доказывает существование g голоморфных одномерных форм.

Род плоских кривых с сингулярностями

Неприводимая плоская алгебраическая кривая степени d имеет (d − 1)(d − 2)/2 − g сингулярностей, если их правильно посчитать. Следовательно, если кривая имеет (d − 1)(d − 2)/2 различных сингулярностей, то она является рациональной кривой и, таким образом, допускает рациональную параметризацию.

Формула РиманаХурвица

Формула Римана — Гурвица, касающаяся (разветвлённых) отображений между поверхностями Римана или алгебраическими кривыми, является следствием теоремы Римана — Роха.

Теорема Клиффорда о специальных делителях

Теорема Клиффорда о специальных делителях также является следствием теоремы Римана — Роха. Она утверждает, что для специального делителя (т.е. такого, что) выполняется следующее неравенство:

Доказательство алгебраических кривых

Утверждение для алгебраических кривых может быть доказано с помощью дуальности Серра. Целое число является размерностью пространства глобальных сечений линейного расслоения, ассоциированного с D (см. делитель Картье). В терминах когомологий пучков мы, следовательно, имеем , и аналогично. Но дуальность Серра для несингулярных проективных многообразий в частном случае кривой утверждает, что изоморфно двойственному. Левая часть, таким образом, равна эйлеровой характеристике делителя D. Когда D = 0, мы находим, что эйлерова характеристика структурного пучка равна по определению. Чтобы доказать теорему для общего делителя, можно затем последовательно добавлять к делителю точки и убедиться, что эйлерова характеристика преобразуется соответствующим образом в правую часть.

Доказательство для компактных поверхностей Римана

Теорему для компактных поверхностей Римана можно вывести из алгебраической версии, используя теорему Чоу и принцип GAGA: фактически, каждая компактная поверхность Римана определяется алгебраическими уравнениями в некотором комплексном проективном пространстве. (Теорема Чоу утверждает, что любое замкнутое аналитическое подмногообразие проективного пространства определяется алгебраическими уравнениями, а принцип GAGA утверждает, что когомологии пучка алгебраического многообразия совпадают с когомологиями пучка аналитического многообразия, заданного теми же уравнениями). Можно избежать использования теоремы Чоу, рассуждая аналогично доказательству в случае алгебраических кривых, но заменяя на пучок мероморфных функций h, таких что все коэффициенты делителя неотрицательны. Здесь тот факт, что характеристика Эйлера преобразуется требуемым образом при добавлении точки к делителю, можно прочитать из длинной точной последовательности, индуцированной короткой точной последовательностью

где – пучок-небоскреб в точке P, а отображение возвращает коэффициент Лорана порядка , где .

Обобщения теоремы Римана Роха

Теорема Римана — Роха для кривых была доказана для поверхностей Римана Риманом и Рохом в 1850-х годах и для алгебраических кривых Фридрихом Карлом Шмидтом в 1931 году, когда он работал над совершенными полями конечной характеристики. Как отметил Питер Рокет, первым крупным достижением Ф. К. Шмидта стало открытие того, что классическая теорема Римана — Роха для компактных поверхностей Римана может быть перенесена на поля функций с конечным базовым полем. Фактически, его доказательство теоремы Римана — Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных. Это фундаментальный результат, поскольку последующая теория кривых стремится уточнить получаемую им информацию (например, в теории Брилла — Нотера). Существуют обобщения на более высокие размерности (для соответствующего понятия делителя или линейного расслоения). Их общая формулировка зависит от разделения теоремы на две части. Одна из них, которую сейчас называют дуальностью Серра, интерпретирует член как размерность первой когомологической группы пучка; вместе с размерностью нулевой когомологической группы, или пространства сечений, левая часть теоремы становится характеристикой Эйлера, а правая часть — её вычислением как степени, скорректированной в соответствии с топологией римановой поверхности. В алгебраической геометрии размерности два такую формулу нашли геометры итальянской школы; была доказана теорема Римана — Роха для поверхностей (существует несколько версий, первая из которых, возможно, принадлежит Максу Нётеру). Обобщение на n измерений, теорема Хирцебруха — Римана — Роха, было обнаружено и доказано Фридрихом Хирцебрухом как применение характеристических классов в алгебраической топологии; на него оказал большое влияние труд Кунихико Кодайры. Примерно в то же время Жан-Пьер Серре дал общую форму дуальности Серра, в том виде, в каком мы её знаем сейчас. Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение в 1957 году, ныне известное как теорема Гротендика — Римана — Роха. Его работа переосмысливает теорему Римана — Роха не как теорему об алгебраическом многообразии, а как теорему о морфизме между двумя многообразиями. Детали доказательств были опубликованы Армандом Борелем и Жаном-Пьером Серре в 1958 году. Позже Гротендик и его соавторы упростили и обобщили доказательство. В конечном итоге общая версия была найдена и в алгебраической топологии. Все эти разработки были осуществлены в период с 1950 по 1960 год. После этого теорема Атия — Сингера об индексе открыла другой путь к обобщению. Следовательно, характеристика Эйлера когерентного пучка в целом вычислима. Для одного слагаемого в чередующейся сумме необходимо использовать дополнительные аргументы, такие как теоремы об исчезновении.