Кіріспе

Сыныптық өріс теориясының орталық ұғымы – математикадағы объект. Математикада, жаһандық өрістің адель сақинасы (сондай-ақ адель сақинасы, адельдер сақинасы немесе адель сақинасы) – алгебралық сан теориясының бір саласы болып табылатын сыныптық өріс теориясының орталық объектісі. Бұл жаһандық өрістің барлық толықтыруларының шектеулі көбейтіндісі және өзіне-өзі жұптас топологиялық сақинаның мысалы. Адель – нақты бір түріндегі иделден туындайды. "Идель" сөзі француз тіліндегі "idèle" сөзінен алынған, оны француз математигі Клод Шевалье енгізген. Бұл сөз "идеалдық элементтің" (қысқартылған: id. эл.) аббревиатурасы. Адель (француз тілінде: "adèle") – "қосымша идел" (яғни, қосымша идеалдық элемент) дегенді білдіреді. Адель сақинасы Артиннің өзара байланыс заңын, яғни квадраттық өзара байланыстың жалпыламасын, және шекті өрістердегі басқа да өзара байланыс заңдарын сипаттауға мүмкіндік береді. Сонымен қатар, Вейльдің классикалық теоремасы бойынша, шекті өріс үстіндегі алгебралық қисықтағы шоғырлар редуктивті топ үшін адельдер арқылы сипатталуы мүмкін. Адельдер сондай-ақ адельдік алгебралық топтармен және адельдік қисықтармен байланысты. Сандық өрістің адель сақинасы бойынша сандар геометриясын зерттеу адель геометриясы деп аталады.

Анықтама

Глобалды өріс (шекті өрістің шекті кеңейтілуі немесе қисықтың шекті өріс үстіндегі функциялық өрісі) болсын. -ның адель сақинасы – бұл барлық, бірақ шекті саны ғана орындарда субсақинасында жататын топтардан тұратын субсақина. Мұндағы индекс жаһандық өрістің барлық бағалаулары бойынша өтеді, – сол бағалаудағы толықтырылу, ал – сәйкес бағалау сақинасы.

Мотивация

Адель сақинасы "рационал сандарды талдау" техникалық мәселесін шешеді. Классикалық шешім – стандартты метрикалық толықтыруға өту және онда аналитикалық әдістерді қолдану еді. Бірақ, кейіннен белгілі болғандай, Островский жіктемесі бойынша, әрбір жай сан үшін бір-бірден, Евклид қашықтығынан өзге көптеген абсолюттік шамалар бар. Евклидтік абсолюттік шама, деп белгіленеді, көптеген басқа шамалардың арасында тек біреуі ғана, бірақ адель сақинасы барлық бағалауларды бірден түсінуге және пайдалануға мүмкіндік береді. Бұл аналитикалық әдістерді қолданудың, сонымен қатар жай сандар туралы ақпаратты сақтаудың артықшылығын береді, өйткені олардың құрылымы шектеулі шексіз көбейтіндіге енгізілген. Адель сақинасының мақсаты – барлық толықтыруларды бірден қарастыру. Адель сақинасы Картезиан көбейтіндісіне қарағанда шектеулі көбейтіндімен анықталады. Мұның екі себебі бар: әрбір элемент үшін бағалаулар дерлік барлық орындарда нөлге тең, яғни шекті санынан басқа барлық орындарда. Сондықтан, жаһандық өріс шектеулі көбейтіндіге енгізілуі мүмкін. Шектеулі көбейтінді – жергілікті ықшам кеңістік, ал Картезиан көбейтіндісі – емес. Сондықтан, Картезиан көбейтіндісіне гармониялық талдау қолданылмайды. Өйткені жергілікті ықшамдық, жалпы топтардағы талдаудың маңызды құралы болып табылатын Haar шамасының болуын (және бірегейлігін) қамтамасыз етеді.

Неліктен бұл өнімге шектеу қойылды?

Шектелген шексіз көбейтінді – сан өрісіне ішінде тор құрылымын беру үшін қажетті техникалық шарт, бұл Фурье талдау теориясын құруға мүмкіндік береді (қ. Гармоникалық талдау) адельдік жағдайда. Бұл алгебралық сандар теориясындағы жағдайға ұқсас, онда алгебралық сандар өрісінің бүтін сандар сақинасы тор ретінде енгізіледі. Фурье талдауының жаңа теориясының күшімен Тейт L функцияларының ерекше класын және Дедекинд зета функцияларының күрделі жазықтықта мероморфты екенін дәлелдеді. Бұл техникалық шарттың орын алуының тағы бір себебін адель сақинасын сақиналардың тензорлық көбейтіндісі ретінде құру арқылы көруге болады. Егер интегралды адельдер сақинасын сақина деп анықтасақ, онда адельдер сақинасы эквивалентті түрде осылай анықталады. Бұл сақинадағы нақты элементтерді қарастырғаннан кейін шектелген көбейтінді құрылымы айқын болады. Элементтің шектелмеген көбейтіндідегі бейнесі – элементі болып табылады, егер де көбейтіндісі , -ның жай бөлгіші болмаса, бұл жай сандардың шексіз көп саны үшін орынды.

Атаудың шығу тегі

"Идель" термині француз математигі Клод Шевалье (1909–1984) тарапынан ойлап табылды және "идеалдық элементті" (қысқаша: id. эл.) білдіреді. "Адель" (фр. adèle) термині қосымша идельді білдіреді. Осылайша, адель – бұл қосымша идеалдық элемент.

Рационалдық сандар үшін Адельдің сақинасы

Рационал сандар әрбір жай сан үшін бағаға ие, мұндағы , және бір шексіз баға ∞ бар. Осылайша, элементі – нақты сан және әрбір үшін p-адық рационал сан, олардың тек шекті саны ғана p-адық бүтін сандар болып табылады.

Жобалау сызығының функциялық өрісі үшін адельдер сақинасы

Екінші, проекциялық түзудің шекті өріс үстіндегі функциялық өрісін қарастырайық. Оның бағалаулары нүктелеріне сәйкес келеді, яғни карталар арқылы .

Мысалы, нысанның нүктелері бар. Бұл жағдайда – бұл құрылымдық шоғырдың нүктесіндегі толық сабағы (яғни, нүктесінің формальды аймағындағы функциялар) және – оның бөлшек өрісі. Осылайша,

Осыған ұқсас, шекті өріс үстіндегі кез келген тегіс және жабық қисық үшін де осы қатынас сақталады, шектелген көбейтінді барлық нүктелер бойынша жүзеге асырылады.

Тейттің диссертациясы

Кез келген кеңістікте топология бар, онда фактор кеңістік тығыз болады, бұл оған гармониялық талдау жасауға мүмкіндік береді. Джон Тейт өзінің "Сандық өрістердегі Фурье талдауы және Гекке зета функциялары" деген диссертациясында Адель сақинасы мен Идель тобындағы Фурье талдауын қолдана отырып, Дирихле L функциялары туралы нәтижелерді дәлелдеді. Сондықтан, Адель сақинасы мен Идель тобы Риман зета функциясын және одан да жалпы зета функцияларын, сондай-ақ L функцияларын зерттеу үшін қолданылған.

Серре дуалдығын тегіс қисықта дәлелдеу

Егер – комплекс сандар бойынша тегіс меншікті қисық болса, оның функциялық өрісінің адельдерін, шекті өрістер жағдайындағыдай, дәл анықтауға болады. Джон Тейт мына Адель сақинасымен жұмыс істеу арқылы қисық үшін Серре дуалдығын шығаруға болатынын дәлелдеді. Мұнда L – қисық үстіндегі түзу шоғыр.

Әлемдік өрістер

Бұл мақалада, – жаһандық өріс, яғни ол сан өрісі (сандар өрісінің шекті кеңейтілуі) немесе жаһандық функциялық өріс (жақсырақ анықталған p саны үшін шекті кеңейтілуі) болып табылады. Анықтама бойынша, жаһандық өрістің шекті кеңейтілуі өзі жаһандық өріс болып табылады.

Сандық өрістердің баламалы анықтамасы

Анықтама (проконечный бүтін сандар). Проконечный бүтін сандар сақиналардың проконечный толықталуы ретінде, ішінара ретпен анықталады, яғни,

Лемма. Дәлел. Бұл қытайлық қалдық теоремасынан шығады. Лемма. Дәлел. Тензорлық көбейтіндінің универсалды қасиетін пайдаланыңыз. Билинейрлік функцияны анықтаңыз.

Бұл дұрыс анықталған, себебі берілген өзара жай сан үшін, бөліп тұратын жай сандар саны шекті. Бір басқа модуль болсын, онда билинейрлік бейнелеу бар. Ол бірегей түрде факторланады, яғни, мынадай бірегей сызықтық бейнелеу бар: берілген үшін, бар және барлық үшін анықталған, сызықтық, қанағаттандыратын және осы қасиеттерімен бірегей екенін көрсетуге болады. Соры. Анықтаңыз. Бұл алгебралық изоморфизмге әкеледі.

Дәлел. Лемма. Сандық өріс үшін

Ескерту. Қосылғыштар бар жерде пайдаланып, оң жақ өнім топологиясын алады және осы топологияны изоморфизм арқылы жеткізіңіз.

Адель сақинасындағы шаштың өлшемі

Анықтама. Функция егер өлшенетін болса және дерлік барлық үшін сақталады, онда қарапайым деп аталады.

Теорема. - локальды жиынтық топ болғандықтан, оған қосымша Хаар өлшемі бар. Бұл өлшемді нормализациялауға болады, сонда кез келген интегралданатын қарапайым функция келесіні қанағаттандырады:

мұндағы - бірлік өлшемді және Лебег өлшемі бар өлшем. Көбейтінді шекті, яғни дерлік барлық көбейткіштер бірге тең.

Алгебраның идеалдық тобы

Болсын – шекті өлшемді алгебра сақинасы үстінде. Егер субжиын топологиясымен топологиялық топ болмаса, оны жоғарыда көрсетілгенге ұқсас топологиямен жабдықтап, идеалдық топ деп атаймыз. Идеалдық топтың элементтері иделдер деп аталады.

Теорема. Болсын – сақина үстіндегі базаны қамтитын шекті жиын. Әрбір шекті орын үшін, – модуль деп атаймыз, ол сақинада жатыр. Мұндай орындардың шекті жиыны бар, олар үшін барлық – сақинаның ықшам қосалқы сақинасы болады. Сонымен қатар, жиыны кіріктірілген. Әрбір үшін – сақинаның ашық қосалқы жиыны болып табылады және бейнелеу – сақинада үздіксіз. Салдарынан, бейнелеу – сақинадағы бейнесіне гомеоморфты түрде бейнелейді. Сондықтан, – сақинаның ашық және ықшам подтобы болып табылады.

Иделе класының тобы

Лемма. Диагональдық бейнелеу арқылы берілгенге табиғи ену бар:

Дәлел. -нің ішкі жиыны болғандықтан, барлық үшін ену жақсы анықталған және инъективті. Қорытынды. -нің дискретті кіші тобы болып табылады.

Анықтама. Идеалдық класс тобына ұқсастыра отырып, -дағы элементтері -нің негізгі идеалдары деп аталады. квозиент тобы -нің идеалдық класс тобы деп аталады. Бұл топ идеалдық класс тобымен байланысты және сыныптық өріс теориясының орталық нысаны болып табылады. Ескерту. -да жабық, сондықтан - локальды ықшам топологиялық топ және Хаусдорф кеңістігі. Лемма. шекті кеңейту болсын. Ену инъективті бейнелеуді тудырады:

Сандық өрістің сынып нөмірінің шектілігі

Алдыңғы бөлімде сандық өрістің сынып саны шекті екендігі қолданылған болатын. Мұнда осы мәлімдеме дәлелденеді:

Теорема (сандық өрістің сынып санының шектілігі). Сандық өріс болсын. Онда

Дәлелдеме. Карта сюръективті, сондықтан компакт жиынның үздіксіз бейнесі болып табылады. Осылайша, компакт. Сонымен қатар, ол дискретті, демек шекті.

Ескерту. Глобальді функциялық өріс үшін де ұқсас нәтиже бар. Бұл жағдайда, бөлгіштер тобы анықталады. Барлық дәрежелі бөлгіштер жиынының негізгі бөлгіштер жиынына қатынасы шекті топ екенін көрсетуге болады.

Хассе қағидаты

Хассе Минковский теоремасы. Квадраттық форма нөлге тең, егер және тек егер, бұл квадраттық форма әрбір толықтыруда нөлге тең болса.

Ескерту. Бұл квадраттық формалар үшін Хассе принципі. 2-ден жоғары дәрежелі көпмүшелер үшін Хассе принципі әдетте қолданылмайды. Хассе принципі (жергілікті-глобалдық принцип деп те аталады) идеясы – сандық дененің берілген мәселесін оның толықтыруларында шешіп, содан кейін сандық дененің өзінде шешім бар екенін қорытындылау.

Тейттің диссертациясы

Фурье белгілерінің көмегімен Адель сақинасында талдау жасау мүмкін. Джон Тейт "Сандық өрістердегі Фурье талдауы және Гекке зета функциялары" деген диссертациясында Адель сақинасы мен Идель тобындағы Фурье талдауын қолданып, Дирихле L функциялары туралы нәтижелерді дәлелдеді. Сондықтан, Адель сақинасы мен Идель тобы Риманның зета функциясын және одан да жалпы зета функцияларын, сондай-ақ L функцияларын зерттеу үшін пайдаланылды. Осы функциялардың адельдік түрлерін Адель сақинасы немесе Идель тобы бойынша интеграл түрінде, сәйкес Хаар өлшемдеріне қатысты анықтауға және бейнелеуге болады. Осы функциялардың функционалдық теңдеулерін және мероморфтық жалғауларын көрсетуге болады. Мысалы, барлық үшін, онда, бірегей Хаар өлшемі нормаланған, оның көлемі бірге тең және шекті Адель сақинасына нөлмен толықтырылады. Нәтижесінде, Риманның зета функциясын Адель сақинасының (немесе оның ішкі жиынының) үстіндегі интеграл ретінде жазуға болады.

Қосымша қолдану

Артиннің өзара байланыс заңының жалпылауы (Лангланд бағдарламасы) және Галуа бейнелеулерін байланыстырады. Идель кластық тобы – кластық өріс теориясының маңызды нысаны, ол өрістің абельдік кеңейтулерін сипаттайды. Жергілікті кластық өріс теориясындағы жергілікті өзара сәйкестік карталарының көбейтіндісі идель тобының гомоморфизмін жаһандық өрістің максималды абельдік кеңейтуінің Галуа тобына бейнелейді. Артиннің өзара байланыс заңы, Гаусс квадратық өзара байланыс заңының кең ауқымды жалпылауы болып табылады, сандар өрісінің көбейту тобында көбейтінді нөлге тең деп мәлімдейді. Осылайша, идель кластық тобынан өрістің абсолютті Галуа тобының абельдік бөлігіне жаһандық өзара сәйкестік картасы алынады. Шектелген өріс үстіндегі қисықтың функциялық өрісінің адель сақинасының өзіне-дуалы болуы Риман-Рох теоремасын және қисық үшін дуалдық теорияны оңай тудырады.