Введение

Центральный объект теории классов поля – понятие в математике. В математике, кольцо аделей глобального поля (также аделическое кольцо, кольцо аделей или кольцо аделей) является центральным объектом теории классов поля, ветви алгебраической теории чисел. Оно представляет собой ограниченное произведение всех завершений глобального поля и является примером самодвойственного топологического кольца. Адель происходит от особого типа иделя. Термин "идель" происходит от французского "idèle" и был введен французским математиком Клодом Шевали. Слово расшифровывается как "идеальный элемент" (сокращенно: ид. эл.). Адель (фр. adèle) расшифровывается как "аддитивный идель" (то есть, аддитивный идеальный элемент). Кольцо аделей позволяет описать закон взаимности Артина, являющийся обобщением закона квадратичной взаимности и других законов взаимности над конечными полями. Кроме того, классическая теорема Вейля утверждает, что расслоения на алгебраической кривой над конечным полем могут быть описаны в терминах аделей для редуктивной группы. Адели также связаны с аделическими алгебраическими группами и аделическими кривыми. Изучение геометрии чисел над кольцом аделей числового поля называется аделической геометрией.

Определение

Пусть будет глобальным полем (конечное расширение поля ℚ или поле функций кривой над конечным полем). Адель-кольцо поля — это подкольцо, состоящее из кортежей, где лежит в подкольце для всех, кроме конечного числа мест. Здесь индекс пробегает по всем валорациям глобального поля, — это завершение поля в данной валорации, а — соответствующее кольцо целых.

Мотивация

Кольцо аделей решает техническую задачу "выполнения анализа на рациональных числах". Классическое решение заключалось в переходе к стандартному метрическому дополнению и использовании аналитических методов там. Но, как было установлено позднее, существует гораздо больше абсолютных значений, чем евклидова метрика, по одному для каждого простого числа, как было классифицировано Островским. Евклидово абсолютное значение, обозначаемое , является лишь одним из многих других, , но кольцо аделей позволяет одновременно понимать и использовать все эти оценки. Это дает преимущество, позволяя применять аналитические методы и сохраняя информацию о простых числах, поскольку их структура вложена в ограниченное бесконечное произведение. Цель кольца аделей – рассматривать все дополнения одновременно. Кольцо аделей определяется с помощью ограниченного произведения, а не декартова произведения. Существует две причины для этого:
Для каждого элемента оценки равны нулю почти во всех местах, то есть во всех местах, кроме конечного числа. Таким образом, глобальное поле может быть вложено в ограниченное произведение. Ограниченное произведение является локально компактным пространством, а декартово – нет. Следовательно, к декартову произведению нельзя применить гармонический анализ. Это связано с тем, что локальная компактность обеспечивает существование (и единственность) меры Хаара, важнейшего инструмента в анализе на группах в целом.

Почему запрещенный продукт?

Ограниченное бесконечное произведение является необходимым техническим условием для наделения числового поля решётчатой структурой внутри , что позволяет построить теорию анализа Фурье (см. Гармонический анализ) в аделическом контексте. Это аналогично ситуации в алгебраической теории чисел, где кольцо целых чисел алгебраического поля вкладывается в решётку. Благодаря новой теории анализа Фурье, Тейт смог доказать, что специальный класс L-функций и дзета-функция Дедекинда мероморфны на комплексной плоскости. Другое естественное объяснение этого технического условия можно увидеть, построив кольцо аделей как тензорное произведение колец. Если определить кольцо интегральных аделей как кольцо , то кольцо аделей может быть эквивалентно определено как . Структура ограниченного произведения становится ясной при рассмотрении явных элементов в этом кольце. Образ элемента внутри неограниченного произведения равен элементу , где фактор лежит в , если не является простым делителем , что верно для всех простых чисел, кроме конечного их числа.

Происхождение названия

Термин "идель" был введен французским математиком Клодом Шевалье (1909–1984) и расшифровывается как "идеальный элемент" (сокращенно: id. эл.). Термин "адель" (фр. adèle) означает аддитивный идель. Следовательно, адель – это аддитивный идеальный элемент.

Кольцо Адели для рациональных чисел

Рациональные числа имеют оценку для каждого простого числа *p*, с *p* > 1, и одну бесконечную оценку ∞ с условием, что Таким образом, элемент из ℚ является действительным числом вместе с *p*-адическим числом для каждого простого числа *p*, причем все, кроме конечного числа, являются *p*-адическими целыми числами.

Кольцо аделей для поля функции проективной линии

Во-вторых, рассмотрим поле функций проективной прямой над конечным полем. Его валорации соответствуют точкам , то есть отображениям в . Например, существуют точки вида . В этом случае является завершенным ростком структурного пучка в точке (то есть функции на формальной окрестности), а является его полем частных. Таким образом, то же самое верно для любой гладкой проективной кривой над конечным полем, где ограниченное произведение берется по всем точкам .

Диссертация Тэйт

Существует топология на , для которой факторпространство является компактным, что позволяет проводить на нём гармонический анализ. Джон Тейт в своей диссертации «Фурье-анализ в числовых полях и дзета-функции Геке» доказал результаты о функциях Дирихле L, используя фурье-анализ на кольце аделей и группе иделей. Следовательно, кольцо аделей и группа иделей применяются для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций.

Доказательство дуальности Серре на гладкой кривой

Если C — гладкая собственная кривая над комплексными числами, то можно определить адели поля функций K, определяемого этой кривой, точно так же, как и в случае конечных полей. Джон Тейт доказал, что двойственность Серра на C может быть выведена, работая с этим кольцом аделей. Здесь L — прямое отображение на C.

Глобальные поля

В этой статье под термином "глобальное поле" понимается либо числовое поле (конечное расширение поля рациональных чисел), либо глобальное поле функций (конечное расширение поля рациональных функций для простого числа p). По определению, конечное расширение глобального поля само является глобальным полем.

Альтернативное определение для полей с номерами

Определение (проконечные целые числа). Проконечные целые числа определяются как проконечное завершение колец с частичным порядком, т.е.

Лемма. Доказательство. Это следует из китайской теоремы об остатках. Лемма. Доказательство. Используйте универсальное свойство тензорного произведения. Определите билинейную функцию.

Это корректно определено, потому что для данного числа, взаимно простого с , существует лишь конечное число простых чисел, делящих . Пусть будет другой модуль с билинейным отображением. Должно выполняться, что отображение факторизуется через единственным образом, т.е. существует единственное линейное отображение такое, что можно определить следующим образом: для данного числа существуют и такие, что для всех . Определим . Можно показать, что оно корректно определено, линейно, удовлетворяет и единственно с этими свойствами. Следствие. Определите . Это приводит к алгебраическому изоморфизму.

Лемма. Для числового поля .

Замечание. Используя, где имеется слагаемых, правая часть получает топологию произведения и переносит эту топологию посредством изоморфизма на .

Размер волос на кольце Адель

Определение. Функция называется простой, если где измеримы и для почти всех .

Теорема. Поскольку является локально компактной группой с операцией сложения, существует аддитивная мера Хаара на . Эту меру можно нормализовать таким образом, чтобы для каждой интегрируемой простой функции выполнялось:

где для – мера на , такая что имеет единичную меру, а – мера Лебега. Произведение конечно, то есть почти все множители равны единице.

Идельная группа алгебры

Пусть будет конечномерной алгеброй над Посколькy не является топологической группой с индуцированной топологией в общем случае, снабдим топологией, аналогичной описанной выше, и назовём её идельной группой. Элементы идельной группы называются иделами.

Предложение. Пусть будет конечным подмножеством , содержащим базис над Для каждого конечного места пусть будет -модулем, порожденным в Существует конечное множество мест, содержащее , такое что для всех является компактным подкольцом Более того, содержит Для каждого является открытым подмножеством и отображение непрерывно на Как следствие, отображение является гомеоморфизмом на своё изображение в Для каждого -ы являются элементами , отображающимися в с помощью вышеуказанного отображения. Следовательно, является открытой и компактной подгруппой .

Группа класса Иделе

Лемма. Существует естественное вложение из в , заданное диагональным отображением:

Доказательство. Поскольку является подмножеством для всех , вложение определено корректно и инъективно. Следствие. является дискретной подгруппой .

Определение. По аналогии с группой классов идеалов, элементы в называются главными иделями в . Факторгруппа называется группой классов идеалов в . Эта группа связана с группой классов идеалов и является центральным объектом в теории полей классов. Замечание. является замкнутым в , следовательно, является локально компактной топологической группой и пространством Хаусдорфа. Лемма. Пусть будет конечным расширением. Вложение индуцирует инъективное отображение:

Окончательность номера класса в числовом поле

В предыдущем разделе использовался факт, что число класса числового поля конечно. Здесь это утверждение может быть доказано:

Теорема (конечность числа класса числового поля). Пусть K – числовое поле. Тогда

Доказательство. Отображение

является сюръективным и, следовательно, является непрерывным образом компактного множества. Таким образом, компактно. Кроме того, оно дискретно и, следовательно, конечно. Замечание. Существует аналогичный результат для случая глобального поля функций. В этом случае определяется так называемая группа делителей. Можно показать, что фактормножество множества всех делителей степени n на множество главных делителей является конечной группой.

Принцип Хассе

Теорема Хассе Минковского. Квадратичная форма на равна нулю тогда и только тогда, когда квадратичная форма равна нулю во всех своих завершениях.

Замечание. Это принцип Хассе для квадратичных форм. Для многочленов степени, большей чем 2, принцип Хассе в общем случае не выполняется. Идея принципа Хассе (также известного как локально-глобальный принцип) состоит в том, чтобы решить данную задачу для числового поля , решив её во всех его завершениях, а затем сделать вывод о существовании решения в самом поле .

Диссертация Тэйт

С помощью символов Фурье можно провести анализ на кольце Адель. Джон Тейт в своей диссертации «Фурье-анализ в числовых полях и дзета-функции Геке» доказал результаты о функциях L Дирихле, используя Фурье-анализ на кольце Адель и группе идел. Поэтому кольцо Адель и группа идел применяются для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций. Аделические формы этих функций могут быть определены и представлены как интегралы по кольцу Адель или группе идел относительно соответствующих мер Гаара. Можно показать функциональные уравнения и мероморфные продолжения этих функций. Например, для всех с

где – единственная мера Хаара на , нормированная таким образом, что имеет объем один, и расширенная нулем на конечное кольцо Адель. В результате дзета-функцию Римана можно записать как интеграл по (подмножеству) кольца Адель.

Другие применения

Обобщение закона взаимности Артина приводит к связи между представлениями и представлениями Галуа (программа Лангленда). Идельная классная группа является ключевым объектом теории классов поля, описывающей абелевы расширения поля. Произведение локальных карт взаимности в теории классов поля для локальных полей дает гомоморфизм из идеальной группы в группу Галуа максимального абелева расширения глобального поля. Закон взаимности Артина, являющийся широким обобщением закона квадратичной взаимности Гаусса, утверждает, что это произведение обращается в нуль на мультипликативной группе числового поля. Таким образом, будет получено глобальное отображение взаимности из идеальной классной группы в абелеву часть абсолютной группы Галуа поля. Самодвойственность кольца аделей поля функций кривой над конечным полем легко влечет за собой теорему Римана — Роха и теорию двойственности для этой кривой.