Қатор теориясы: Өлшенетін кардиналдар

Кіріспе

Жинақтар теориясы ұғымы
Математикада өлшенетін кардинал – нақты бір үлкен кардинал саны. Бұл ұғымды анықтау үшін, κ кардиналына немесе жалпы кез келген жиынға екі мәнді өлшем енгізіледі. Кардинал κ үшін, оны барлық ішкі жиындарының үлкен және кішкентай жиындарға бөлінуі ретінде сипаттауға болады, сондықтан κ өзі үлкен, бос жиын ∅ және барлық бір элементті жиындар {α} (α ∈ κ) кішкентай, кішкентай жиындардың толықтырулары үлкен, ал керісінше – дұрыс. κ-дан кем үлкен жиындардың қиылысы қайтадан үлкен болады. Екі мәнді өлшеммен жабдықталған санаусыз кардиналдар – ZFC аксиомаларынан олардың бар екенін дәлелдеуге болмайтын үлкен кардиналдар. Өлшенетін кардинал ұғымын 1930 жылы Станислав Улам енгізген.

Қасиеттері

Егер κ тривиалды емес κ-қосымша өлшемді қабылдаса, онда κ реттік сан болуы керек. (Тривиалды еместігі және κ-қосымшалығы бойынша, κ-дан кіші кардиналдылығы бар кез келген жиынның өлшемі 0 болуы керек, ал кейін κ-қосымшалығы бойынша, бұл бүкіл жиын κ-тан кіші кардиналдылығы бар жиындардың κ-дан кем емес бірінен тұрмауы керек дегенді білдіреді.) Соңында, егер λ < κ болса, онда κ ≤ 2λ болуы мүмкін емес. Егер бұл жағдай болса, онда біз λ ұзындығындағы 0 және 1 тізбектерінің жиынымен κ-ны сәйкестендіре аламыз. Тізбектегі әрбір позиция үшін, сол позицияда 1 саны бар тізбектердің жиынтығы немесе сол позицияда 0 саны бар тізбектердің жиынтығы 1 өлшемді болуы керек. Осы λ көптеген 1 өлшемді жиынтықтардың қиылысы да 1 өлшемді болуы керек, бірақ онда дәл бір тізбек болады, бұл өлшемнің тривиалды еместігіне қайшы келеді. Осылайша, таңдау аксиомасын қабылдағанда, κ – күшті лимит кардиналы, бұл оның қолжетімсіздігін дәлелдеуді аяқтайды. ZFC бойынша әрбір өлшенетін кардинал қолжетімсіз (және сөзсіз, Рамзи және т.б.), ал ZF бойынша өлшенетін кардинал ізбасар кардинал бола алады. ZF + AD бойынша ω1 өлшенетін, және ω1-дің әрбір жиынтығында жабық және шектелмеген жиынтық болады немесе одан бөлек болады. Улам ең кіші кардинал κ-ның тривиалды емес санаулы қосымша екі мәнді өлшемді қабылдауы, шын мәнінде κ-ның қосымша өлшемді қабылдауын талап ететінін көрсетті. (Егер κ өлшемі 0-ге тең кіші жиынтықтардың κ-дан кем жиынтығының бірігі κ-ға тең болса, онда осы жиынтықтағы туындаған өлшем κ-ның минималдылығына қарсы мысал болар еді.) Содан кейін (таңдау аксиомасымен) осындай ең кіші кардинал қолжетімсіз болуы керек екенін дәлелдеуге болады. Егер κ өлшенетін болса және p ∈ Vκ және M (V-нің ультракүші) ψ(κ, p) шартын қанағаттандырса, онда V ψ(α, p) шартын қанағаттандыратын α < κ жиыны κ-да стационарлы (немесе 1 өлшемді жиын). Атап айтқанда, егер ψ – Π1 формуласы болса және V ψ(κ, p) шартын қанағаттандырса, онда M оны қанағаттандырады, сондықтан V α < κ тұрақты жиыны үшін ψ(α, p) шартын қанағаттандырады. Бұл қасиет κ өлшенетініне қарағанда әлсіз ірі кардиналдардың көпшілігінің лимиті екенін көрсетуге пайдаланылуы мүмкін. κ өлшенетінін куәландыратын ультрафильтр немесе өлшем M-де бола алмайды, өйткені ең кішкентай өлшенетін кардиналдың астында тағы бір кардинал болуы керек, бұл мүмкін емес. Егер адам V-нің j1 элементарлық ендіруінен бастаса, онда ол κ критикалық нүктесімен M1-ге ендіре алады, содан кейін ол κ-да U ультрафильтрін { S | κ ∈ j1(S) } деп анықтай алады. V пен U-дың үстем күштерін ала отырып, біз V-нің j2 элементарлық ендіруін M2-ге ала аламыз. Алайда, j2 ≠ j1 екенін есте сақтау маңызды. Осылайша, басқа ірі кардиналдар, мысалы, мықты кардиналдар да өлшенетін болуы мүмкін, бірақ бірдей ендіруді пайдаланбайды. Мықты кардинал κ өлшенетін және оның астында көптеген өлшенетін кардиналдары бар екенін көрсетуге болады. Әрбір өлшенетін κ кардиналы 0 үлкен кардинал болып табылады, өйткені κM ⊆ M, яғни κ-дан M-ге дейінгі әрбір функция M-де. Соған сәйкес, Vκ+1 ⊆ M.

It is trivial to note that if κ admits a non trivial κ additive measure, then κ must be regular. (By non triviality and κ additivity, any subset of cardinality less than κ must have measure 0, and then by κ additivity again, this means that the entire set must not be a union of fewer than κ sets of cardinality less than κ.) Finally, if λ < κ, then it can't be the case that κ ≤ 2λ. If this were the case, we could identify κ with some collection of 0 1 sequences of length λ. For each position in the sequence, either the subset of sequences with 1 in that position or the subset with 0 in that position would have to have measure 1. The intersection of these λ many measure 1 subsets would thus also have to have measure 1, but it would contain exactly one sequence, which would contradict the non triviality of the measure. Thus, assuming the Axiom of Choice, we can infer that κ is a strong limit cardinal, which completes the proof of its inaccessibility. Although it follows from ZFC that every measurable cardinal is inaccessible (and is ineffable, Ramsey, etc. ), it is consistent with ZF that a measurable cardinal can be a successor cardinal. It follows from ZF + AD that ω1 is measurable, and that every subset of ω1 contains or is disjoint from a closed and unbounded subset. Ulam showed that the smallest cardinal κ that admits a non trivial countably additive two valued measure must in fact admit a κ additive measure. (If there were some collection of fewer than κ measure 0 subsets whose union was κ, then the induced measure on this collection would be a counterexample to the minimality of κ.) From there, one can prove (with the Axiom of Choice) that the least such cardinal must be inaccessible. If κ is measurable and p ∈ Vκ and M (the ultrapower of V) satisfies ψ(κ, p), then the set of α < κ such that V satisfies ψ(α, p) is stationary in κ (actually a set of measure 1). In particular if ψ is a Π1 formula and V satisfies ψ(κ, p), then M satisfies it and thus V satisfies ψ(α, p) for a stationary set of α < κ. This property can be used to show that κ is a limit of most types of large cardinals that are weaker than measurable. Notice that the ultrafilter or measure witnessing that κ is measurable cannot be in M since the smallest such measurable cardinal would have to have another such below it, which is impossible. If one starts with an elementary embedding j1 of V into M1 with critical point κ, then one can define an ultrafilter U on κ as { S ⊆ κ | κ ∈ j1(S) }. Then taking an ultrapower of V over U we can get another elementary embedding j2 of V into M2. However, it is important to remember that j2 ≠ j1. Thus other types of large cardinals such as strong cardinals may also be measurable, but not using the same embedding. It can be shown that a strong cardinal κ is measurable and also has κ many measurable cardinals below it. Every measurable cardinal κ is a 0 huge cardinal because κM ⊆ M, that is, every function from κ to M is in M. Consequently, Vκ+1 ⊆ M.