Измеримые кардиналы в теории множеств

Введение

Концепция теории множеств
В математике измеримый кардинал — это определенный вид большого кардинального числа. Для определения этого понятия вводится двухзначная мера на кардинале κ или, в более общем случае, на любом множестве. Для кардинала κ его можно описать как разбиение всех его подмножеств на большие и малые множества, при этом сам κ является большим, пустое множество и все синглетоны {α} (где α ∈ κ) являются малыми, а дополнения малых множеств — большими, и наоборот. Пересечение менее чем κ больших множеств снова является большим. Оказывается, что несчётные кардиналы, снабжённые двухзначной мерой, являются большими кардиналами, существование которых нельзя доказать из ZFC. Понятие измеримого кардинала было введено Станиславом Уламом в 1930 году.

Свойства

Легко заметить, что если κ допускает нетривиальную κ-аддитивную меру, то κ должен быть регулярным. (В силу нетривиальности и κ-аддитивности, любое подмножество кардинальности меньше κ должно иметь меру 0, а затем, снова в силу κ-аддитивности, это означает, что все множество не должно быть объединением менее чем κ множеств кардинальности меньше κ.) Наконец, если λ < κ, то не может быть так, что κ ≤ 2λ. Если бы это было так, мы могли бы отождествить κ с некоторым множеством 0-1 последовательностей длины λ. Для каждой позиции в последовательности либо подмножество последовательностей с 1 в этой позиции, либо подмножество с 0 в этой позиции должно иметь меру 1. Пересечение этих λ множеств меры 1, таким образом, также должно иметь меру 1, но оно содержало бы ровно одну последовательность, что противоречило бы нетривиальности меры. Следовательно, исходя из аксиомы выбора, мы можем заключить, что κ является сильным предельным кардиналом, что завершает доказательство его недоступности. Хотя из ZFC следует, что каждый измеримый кардинал недоступен (и невыразим, Рамсея и т.д.), это согласуется с ZF, что измеримый кардинал может быть кардиналом-последователем. Из ZF + AD следует, что ω1 измерим, и что каждое подмножество ω1 содержит или является непересекающимся с замкнутым и неограниченным подмножеством. Улам показал, что наименьший кардинал κ, допускающий нетривиальную счетно-аддитивную меру двух значений, на самом деле должен допускать κ-аддитивную меру. (Если бы существовало некоторое множество менее чем κ подмножеств с мерой 0, объединение которых было бы равно κ, то индуцированная мера на этом множестве была бы контрпримером к минимальности κ.) Отсюда можно доказать (с аксиомой выбора), что наименьший такой кардинал должен быть недоступен. Если κ измерим и p ∈ Vκ, а M (ультрастепень V) удовлетворяет ψ(κ, p), то множество α < κ, таких что V удовлетворяет ψ(α, p), стационарно в κ (фактически, множество меры 1). В частности, если ψ является формулой Π1 и V удовлетворяет ψ(κ, p), то M удовлетворяет ей, и, следовательно, V удовлетворяет ψ(α, p) для стационарного множества α < κ. Это свойство можно использовать для доказательства того, что κ является пределом большинства типов больших кардиналов, которые слабее измеримых. Обратите внимание, что ультрафильтр или мера, свидетельствующие о том, что κ измерим, не может находиться в M, поскольку наименьший такой измеримый кардинал должен иметь другой такой кардинал ниже него, что невозможно. Если начать с элементарного вложения j1 из V в M1 с критической точкой κ, то можно определить ультрафильтр U на κ как { S ⊆ κ | κ ∈ j1(S) }. Затем, взяв ультрастепень V по U, мы можем получить еще одно элементарное вложение j2 из V в M2. Однако важно помнить, что j2 ≠ j1. Таким образом, другие типы больших кардиналов, такие как сильные кардиналы, также могут быть измеримыми, но не используя то же вложение. Можно показать, что сильный кардинал κ измерим и также имеет κ измеримых кардиналов ниже него. Каждый измеримый кардинал κ является 0-огромным кардиналом, поскольку κM ⊆ M, то есть каждая функция из κ в M находится в M. Следовательно, Vκ+1 ⊆ M.

It is trivial to note that if κ admits a non trivial κ additive measure, then κ must be regular. (By non triviality and κ additivity, any subset of cardinality less than κ must have measure 0, and then by κ additivity again, this means that the entire set must not be a union of fewer than κ sets of cardinality less than κ.) Finally, if λ < κ, then it can't be the case that κ ≤ 2λ. If this were the case, we could identify κ with some collection of 0 1 sequences of length λ. For each position in the sequence, either the subset of sequences with 1 in that position or the subset with 0 in that position would have to have measure 1. The intersection of these λ many measure 1 subsets would thus also have to have measure 1, but it would contain exactly one sequence, which would contradict the non triviality of the measure. Thus, assuming the Axiom of Choice, we can infer that κ is a strong limit cardinal, which completes the proof of its inaccessibility. Although it follows from ZFC that every measurable cardinal is inaccessible (and is ineffable, Ramsey, etc. ), it is consistent with ZF that a measurable cardinal can be a successor cardinal. It follows from ZF + AD that ω1 is measurable, and that every subset of ω1 contains or is disjoint from a closed and unbounded subset. Ulam showed that the smallest cardinal κ that admits a non trivial countably additive two valued measure must in fact admit a κ additive measure. (If there were some collection of fewer than κ measure 0 subsets whose union was κ, then the induced measure on this collection would be a counterexample to the minimality of κ.) From there, one can prove (with the Axiom of Choice) that the least such cardinal must be inaccessible. If κ is measurable and p ∈ Vκ and M (the ultrapower of V) satisfies ψ(κ, p), then the set of α < κ such that V satisfies ψ(α, p) is stationary in κ (actually a set of measure 1). In particular if ψ is a Π1 formula and V satisfies ψ(κ, p), then M satisfies it and thus V satisfies ψ(α, p) for a stationary set of α < κ. This property can be used to show that κ is a limit of most types of large cardinals that are weaker than measurable. Notice that the ultrafilter or measure witnessing that κ is measurable cannot be in M since the smallest such measurable cardinal would have to have another such below it, which is impossible. If one starts with an elementary embedding j1 of V into M1 with critical point κ, then one can define an ultrafilter U on κ as { S ⊆ κ | κ ∈ j1(S) }. Then taking an ultrapower of V over U we can get another elementary embedding j2 of V into M2. However, it is important to remember that j2 ≠ j1. Thus other types of large cardinals such as strong cardinals may also be measurable, but not using the same embedding. It can be shown that a strong cardinal κ is measurable and also has κ many measurable cardinals below it. Every measurable cardinal κ is a 0 huge cardinal because κM ⊆ M, that is, every function from κ to M is in M. Consequently, Vκ+1 ⊆ M.