Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жазық алгебралық қисық
Plane algebraic curve
Геометрияда Бернулли лемнискаты – екі берілген нүкте F1 және F2, яғни ошақтар, бір-бірінен 2c қашықтықта орналасқан, P нүктелерінің геометриялық орны ретінде анықталатын жазық қисық. Бұл қисық пішін жағынан 8 саны мен ∞ символына ұқсас. Оның атауы "lemiscatus" сөзінен алынған, латын тілінде ол "ілмекшеленген ленталармен безендірілген" деген мағынаны білдіреді. Бұл Кассини овалының ерекше жағдайы және 4-дәрежелі рационалды алгебралық қисық. Бұл лемнискатаны алғаш рет 1694 жылы Якоб Бернулли эллипстің өзгеруі ретінде сипаттады, ол екі белгілі ошаққа дейінгі қашықтықтардың қосындысы тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орны болып табылады. Кассини овалы керісінше, осы қашықтықтардың көбейтіндісі тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орны. Егер қисық ошақтардың ортасынан өтетін болса, онда овал Бернулли лемнискаты болады. Бұл қисықты гиперболаның кері түрленуі ретінде алуға болады, мұнда инверсия шеңбері гиперболаның орталығында (оның екі ошағының биссектрисасында) орналасқан. Сонымен қатар, Ватт механизмі түріндегі механикалық байланыс арқылы да салуға болады, мұнда байланыстың үш таяқшасының ұзындығы және оның соңғы нүктелері арасындағы қашықтық қиылысқан параллелограммды құру үшін таңдалады.
In geometry, the lemniscate of Bernoulli is a plane curve defined from two given points F1 and F2, known as foci, at distance 2c from each other as the locus of points P so that The curve has a shape similar to the numeral 8 and to the ∞ symbol. Its name is from lemniscatus, which is Latin for "decorated with hanging ribbons". It is a special case of the Cassini oval and is a rational algebraic curve of degree 4. This lemniscate was first described in 1694 by Jakob Bernoulli as a modification of an ellipse, which is the locus of points for which the sum of the distances to each of two fixed focal points is a constant. A Cassini oval, by contrast, is the locus of points for which the product of these distances is constant. In the case where the curve passes through the point midway between the foci, the oval is a lemniscate of Bernoulli. This curve can be obtained as the inverse transform of a hyperbola, with the inversion circle centered at the center of the hyperbola (bisector of its two foci). It may also be drawn by a mechanical linkage in the form of Watt's linkage, with the lengths of the three bars of the linkage and the distance between its endpoints chosen to form a crossed parallelogram.
Бұрыштар
Екі нақты нүкте берілген және , оның орта нүктесі болсын . Онда диаметрінің лемнискатасы нүктелер жиынтығы ретінде анықталуы мүмкін , , нүктелердің локусымен бірге, мұнда тік бұрыш пайда болады (Талес теоремасы және оның кері теоремасына сүйенсек). Лемнискаттағы бұрыштар туралы келесі теорема неміс математигі Герхард Кристоф Герман Вехтманға тиесілі, ол оны 1843 жылы лемнискаттар туралы диссертациясында сипаттады. F1 және F2 – лемнискатаның фокустары, O – F1F2 кесіндісінің орта нүктесі, ал P – F1 және F2 нүктелерін қосатын түзуден тыс лемнискатадағы кез келген нүкте. P нүктесіндегі лемнискатаның нормалы n, F1 мен F2 нүктелерін қосатын түзуді R нүктесінде қиып өтеді. Онда OPR үшбұрышының O нүктесіндегі ішкі бұрышы, R нүктесіндегі үшбұрыштың сыртқы бұрышының үштен біріне тең (бұрышты үш бөлікке бөлу туралы да қараңыз). Сонымен қатар, P нүктесіндегі ішкі бұрыш, O нүктесіндегі ішкі бұрыштан екі есе үлкен.
Given two distinct points and , let be the midpoint of Then the lemniscate of diameter can also be defined as the set of points , , , together with the locus of the points such that is a right angle (cf. Thales' theorem and its converse). The following theorem about angles occurring in the lemniscate is due to German mathematician Gerhard Christoph Hermann Vechtmann, who described it 1843 in his dissertation on lemniscates. F1 and F2 are the foci of the lemniscate, O is the midpoint of the line segment F1F2 and P is any point on the lemniscate outside the line connecting F1 and F2. The normal n of the lemniscate in P intersects the line connecting F1 and F2 in R. Now the interior angle of the triangle OPR at O is one third of the triangle's exterior angle at R (see also angle trisection). In addition the interior angle at P is twice the interior angle at O.
Қосымша қасиеттері
Лемнискат өзінің F1 және F2 фокустарын қосатын түзуге, сондай-ақ F1F2 сызық сегментінің орта перпендикулярына симметриялы. Лемнискат F1F2 сызық сегментінің ортасы бойынша симметриялы. Лемнискатпен қоршалған аудан – . Лемнискат гиперболаның шеңберге инверсиясы және керісінше болып табылады. O орта нүктесіндегі екі жанасушы перпендикуляр, және олардың әрқайсысы F1 және F2 нүктелерін қосатын түзумен бұрыш жасайды. Стандартты тордың ішкі экваторына жанасатын жазықтық қимасы лемнискат болып табылады. нүктесіндегі қисықтық – . Сондықтан ең жоғары қисықтық, нүктесінде пайда болатын, – .
The lemniscate is symmetric to the line connecting its foci F1 and F2 and as well to the perpendicular bisector of the line segment F1F2. The lemniscate is symmetric to the midpoint of the line segment F1F2. The area enclosed by the lemniscate is The lemniscate is the circle inversion of a hyperbola and vice versa. The two tangents at the midpoint O are perpendicular, and each of them forms an angle of with the line connecting F1 and F2. The planar cross section of a standard torus tangent to its inner equator is a lemniscate. The curvature at is The maximum curvature, which occurs at , is therefore .
Қолданбалар
Бұл қисықтың динамикасы және оның көбірек жалпыланған түрлері квазибірөлшемді модельдерде зерттеледі.
Dynamics on this curve and its more generalized versions are studied in quasi one dimensional models.