Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Плоскоалгебраическая кривая
Plane algebraic curve
В геометрии лемниската Бернулли — это плоская кривая, определяемая двумя заданными точками F1 и F2, известными как фокусы, находящимися на расстоянии 2c друг от друга, как геометрическое место точек P, для которых произведение расстояний до этих фокусов постоянно. Кривая имеет форму, напоминающую цифру 8 и символ ∞. Её название происходит от латинского слова lemniscatus, означающего «украшенная висящими лентами». Это частный случай овала Кассини и рациональная алгебраическая кривая 4-й степени. Впервые эта лемниската была описана Якобом Бернулли в 1694 году как модификация эллипса, который определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных фокусов постоянна. Овал Кассини, напротив, определяется как геометрическое место точек, для которых произведение этих расстояний постоянно. Если кривая проходит через середину отрезка между фокусами, то овал является лемнискатой Бернулли. Эту кривую можно получить как обратную трансформацию гиперболы, при этом инвертирующая окружность расположена в центре гиперболы (на биссектрисе её фокусов). Её также можно построить с помощью механической связи, например, связки Уатта, при этом длины трёх звеньев связи и расстояние между её концами выбираются таким образом, чтобы образовался пересечённый параллелограмм.
In geometry, the lemniscate of Bernoulli is a plane curve defined from two given points F1 and F2, known as foci, at distance 2c from each other as the locus of points P so that The curve has a shape similar to the numeral 8 and to the ∞ symbol. Its name is from lemniscatus, which is Latin for "decorated with hanging ribbons". It is a special case of the Cassini oval and is a rational algebraic curve of degree 4. This lemniscate was first described in 1694 by Jakob Bernoulli as a modification of an ellipse, which is the locus of points for which the sum of the distances to each of two fixed focal points is a constant. A Cassini oval, by contrast, is the locus of points for which the product of these distances is constant. In the case where the curve passes through the point midway between the foci, the oval is a lemniscate of Bernoulli. This curve can be obtained as the inverse transform of a hyperbola, with the inversion circle centered at the center of the hyperbola (bisector of its two foci). It may also be drawn by a mechanical linkage in the form of Watt's linkage, with the lengths of the three bars of the linkage and the distance between its endpoints chosen to form a crossed parallelogram.
Уголки
Если даны две различные точки и , пусть будет серединой отрезка . Тогда лемниската диаметра также может быть определена как множество точек , , , вместе с геометрическим местом точек , таких что угол является прямым (см. теорему Фалеса и ее обратную). Следующая теорема об углах, возникающих в лемнискате, принадлежит немецкому математику Герхарду Кристофу Герману Вехтманну, который описал ее в 1843 году в своей диссертации о лемнискатах. F1 и F2 – фокусы лемнискаты, O – середина отрезка F1F2, а P – любая точка лемнискаты, лежащая вне прямой, соединяющей F1 и F2. Нормаль n к лемнискате в точке P пересекает прямую, соединяющую F1 и F2, в точке R. Внутренний угол треугольника OPR при вершине O равен одной трети внешнего угла этого треугольника при вершине R (см. также трисекция угла). Кроме того, внутренний угол при вершине P равен удвоенному внутреннему углу при вершине O.
Given two distinct points and , let be the midpoint of Then the lemniscate of diameter can also be defined as the set of points , , , together with the locus of the points such that is a right angle (cf. Thales' theorem and its converse). The following theorem about angles occurring in the lemniscate is due to German mathematician Gerhard Christoph Hermann Vechtmann, who described it 1843 in his dissertation on lemniscates. F1 and F2 are the foci of the lemniscate, O is the midpoint of the line segment F1F2 and P is any point on the lemniscate outside the line connecting F1 and F2. The normal n of the lemniscate in P intersects the line connecting F1 and F2 in R. Now the interior angle of the triangle OPR at O is one third of the triangle's exterior angle at R (see also angle trisection). In addition the interior angle at P is twice the interior angle at O.
Дополнительные свойства
Лемниската симметрична прямой, соединяющей её фокусы F1 и F2, а также перпендикулярному бисектору отрезка F1F2. Лемниската симметрична относительно середины отрезка F1F2. Площадь, ограниченная лемнискатой, равна… Лемниската является обращением гиперболы относительно окружности, и наоборот. Две касательные в средней точке O перпендикулярны друг другу, и каждая из них образует угол с прямой, соединяющей F1 и F2. Плоскостное сечение стандартного тора, касающегося его внутреннего экватора, представляет собой лемнискату. Кривизна в точке равна… Максимальная кривизна, достигаемая в точке , равна, следовательно .
The lemniscate is symmetric to the line connecting its foci F1 and F2 and as well to the perpendicular bisector of the line segment F1F2. The lemniscate is symmetric to the midpoint of the line segment F1F2. The area enclosed by the lemniscate is The lemniscate is the circle inversion of a hyperbola and vice versa. The two tangents at the midpoint O are perpendicular, and each of them forms an angle of with the line connecting F1 and F2. The planar cross section of a standard torus tangent to its inner equator is a lemniscate. The curvature at is The maximum curvature, which occurs at , is therefore .
Приложения
Динамика на этой кривой и её более общие варианты исследуются в квазиодномерных моделях.
Dynamics on this curve and its more generalized versions are studied in quasi one dimensional models.