Кіріспе
Элементтердің шекті немесе шексіз реттелген тізімі. Математикада тізбек – қайталануға рұқсат етілген және реті маңызды болатын нысандардың санамаланған жиынтығы. Жиын сияқты, ол мүшелерді (элементтер немесе мүшелер деп те аталады) қамтиды. Элементтер саны (мүмкін шексіз) тізбектің ұзындығы деп аталады. Жиыннан айырмашылығы, бірдей элементтер тізбекте әртүрлі орындарда бірнеше рет кездесуі мүмкін, және жиыннан айырмашылығы, реті маңызды. Формальды түрде, тізбекті табиғи сандардан (тізбектегі элементтердің орындары) әр позициядағы элементтерге дейінгі функция ретінде анықтауға болады. Тізбек түсінігі индекстелген отбасыға жалпылануы мүмкін, ол кез келген индекс жиынынан функция ретінде анықталады. Мысалы, (M, A, R, Y) – бірінші әрпі 'M' және соңғы әрпі 'Y' болатын әріптер тізбегі. Бұл тізбек (A, R, M, Y) тізбегінен өзгеше. Сондай-ақ, (1, 1, 2, 3, 5, 8) тізбегі, онда 1 саны екі түрлі орында кездеседі, жарамды тізбек болып табылады. Тізбектер осы мысалдардағыдай шекті немесе шексіз болуы мүмкін, мысалы, барлық жұп оң бүтін сандар тізбегі (2, 4, 6, …). Тізбектегі элементтің орны – оның рангі немесе индексі; ол элементтің бейнесі болып табылатын табиғи сан. Бірінші элементтің индексі 0 немесе 1 болады, бұл контекстке немесе нақты келісімге байланысты. Математикалық талдауда тізбектер көбінесе әріптермен белгіленеді, мысалы, , және , мұндағы төменгі индекс n тізбектің n-ші элементін білдіреді; мысалы, Фибоначчи тізбегінің n-ші элементі әдетте деп белгіленеді. Есептеу және компьютерлік ғылымда шекті тізбектер әдетте жолдар, сөздер немесе тізімдер деп аталады, нақты техникалық термин тізбек қамтитын нысан түріне және компьютер жадында тізбекті бейнелеудің әртүрлі тәсілдеріне байланысты таңдалады. Шексіз тізбектер ағындар деп аталады. Бос тізбек ( ) көптеген тізбек ұғымдарында қамтылған. Контекстке байланысты ол алынып тасталуы мүмкін.
In mathematics, a sequence is an enumerated collection of objects in which repetitions are allowed and order matters. Like a set, it contains members (also called elements, or terms). The number of elements (possibly infinite) is called the length of the sequence. Unlike a set, the same elements can appear multiple times at different positions in a sequence, and unlike a set, the order does matter. Formally, a sequence can be defined as a function from natural numbers (the positions of elements in the sequence) to the elements at each position. The notion of a sequence can be generalized to an indexed family, defined as a function from an arbitrary index set. For example, (M, A, R, Y) is a sequence of letters with the letter 'M' first and 'Y' last. This sequence differs from (A, R, M, Y). Also, the sequence (1, 1, 2, 3, 5, 8), which contains the number 1 at two different positions, is a valid sequence. Sequences can be finite, as in these examples, or infinite, such as the sequence of all even positive integers (2, 4, 6, ). The position of an element in a sequence is its rank or index; it is the natural number for which the element is the image. The first element has index 0 or 1, depending on the context or a specific convention. In mathematical analysis, a sequence is often denoted by letters in the form of , and , where the subscript n refers to the nth element of the sequence; for example, the nth element of the Fibonacci sequence is generally denoted as
In computing and computer science, finite sequences are usually called strings, words or lists with the specific technical term chosen depending on the type of object the sequence enumerates and the different ways to represent the sequence in computer memory. Infinite sequences are called streams. The empty sequence ( ) is included in most notions of sequence. It may be excluded depending on the context.
Мысалдар мен белгілер
Реттілік – элементтердің белгілі бір ретпен тізілгеніндей қарастырылуы мүмкін. Реттіліктердің жуысу қасиеттерін пайдалана отырып, функциялар, кеңістіктер және басқа да математикалық құрылымдарды зерттеу үшін көптеген математикалық салаларда қолданылады. Атап айтқанда, реттіліктер қатарлардың негізі болып табылады, олар дифференциалдық теңдеулерде және анализде маңызды. Реттіліктер өздері де қызығушылық тудырады және оларды үлгілер немесе жұмбақтар ретінде зерттеуге болады, мысалы, жай сандарды зерттеуде. Реттілікті көрсетудің бірнеше тәсілі бар, олардың кейбіреулері нақты реттілік түрлері үшін тиімді. Реттілікті анықтаудың бір жолы – оның барлық элементтерін тізімдеу. Мысалы, алғашқы төрт тақ сан (1, 3, 5, 7) реттілігін құрайды. Бұл жазу шексіз реттіліктер үшін де қолданылады. Мысалы, оң тақ бүтін сандардың шексіз реттілігі (1, 3, 5, 7, ...) деп жазылады. Эллипспен реттіліктерді көрсету мағынасыздыққа алып келетіндіктен, тізімдеу көбінесе алғашқы бірнеше элементтерінен оңай танылатын, белгілі шексіз реттіліктер үшін пайдалы. Реттілікті көрсетудің басқа тәсілдері мысалдардан кейін талқыланады.
Мысалдар
Бастапқы сандар — 1-ден үлкен және 1-ге де, өзіне де бөлінетін табиғи сандар. Оларды табиғи ретімен келтіргенде (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…) тізбегі алынады. Бастапқы сандар математикада, әсіресе сандар теориясында кеңінен қолданылады, онда оларға қатысты көптеген теоремалар бар. Фибоначчи сандары — элементтері алдыңғы екі элементінің қосындысына тең болатын бүтін сандар тізбегін құрайды. Тізбектің алғашқы екі саны 0 және 1 немесе 1 және 1 болуы мүмкін, сондықтан тізбек (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…) болады.
Индекстеу
Басқа белгілер үлгісін оңай болжауға болмайтын немесе үлгісі жоқ тізбектер үшін пайдалы болуы мүмкін, мысалы, бір сандардың цифрлары. Мұндай белгілердің бірі – n-ші мүшені n функциясы ретінде есептеудің жалпы формуласын жазу, оны жақшаға қою және n-нің қабылдай алатын мәндер жиынтығын көрсететін төменгі индекс қою. Мысалы, осы белгілеуде жұп сандар тізбегін былай жазуға болады: . Квадраттар тізбегін былай жазуға болады: . n айнымалысы индекс деп аталады, ал оның қабылдай алатын мәндер жиынтығы индекс жиыны деп аталады. Бұл белгілеуді тізбек мүшелерін жеке айнымалылар ретінде қарау тәсілімен біріктіру жиі пайдалы. Бұл секілді өрнектерді береді, ол n-ші мүшесі айнымалымен берілген тізбекті білдіреді. Мысалы:
Әртүрлі айнымалыларды қолдана отырып, бір уақытта бірнеше тізбекті қарастыруға болады; мысалы, бұл басқа тізбек болуы мүмкін. Тізбектер тізбегін де қарастыруға болады: , мұнда m-ші мүшесі тізбек болып табылады. Тізбек доменін төменгі индексте жазудың орнына, индекстің ең жоғары және ең төменгі заңды мәндерін тізімдеу арқылы оның қабылдай алатын мәндер ауқымын көрсетуге болады. Мысалы, белгілеу он мүшелі квадраттар тізбегін білдіреді. және рұқсат етіледі, бірақ олар индекс үшін жарамды мәндерді білдірмейді, тек осындай мәндердің жоғарғы немесе төменгі шегін ғана білдіреді. Мысалы, тізбек , және "шексіздікте" қосымша мүшесі жоқ. Тізбек шексіз тізбек болып табылады, және оны былай да жазуға болады: .
An alternative to writing the domain of a sequence in the subscript is to indicate the range of values that the index can take by listing its highest and lowest legal values. For example, the notation denotes the ten term sequence of squares The limits and are allowed, but they do not represent valid values for the index, only the supremum or infimum of such values, respectively. For example, the sequence is the same as the sequence , and does not contain an additional term "at infinity". The sequence is a bi infinite sequence, and can also be written as
In cases where the set of indexing numbers is understood, the subscripts and superscripts are often left off. That is, one simply writes for an arbitrary sequence. Often, the index k is understood to run from 1 to ∞. However, sequences are frequently indexed starting from zero, as in
Индекс сандары жиынтығы түсінікті болған жағдайда, төменгі және үстіңгі индекстер жиі қалдырылады. Яғни, кез келген тізбек үшін жазылады. Көбінесе k индексі 1-ден ∞-ға дейін өседі деп түсініледі. Алайда, тізбектер жиі нөлден басталады, мысалы, . Кейбір жағдайларда тізбек мүшелері табиғи түрде оңай анықталатын бүтін сандар тізбегімен байланысты болады. Бұл жағдайларда индекс жиынтығы алғашқы бірнеше абстрактілі мүшелердің тізімімен түсіндірілуі мүмкін. Мысалы, тақ сандардың квадраттары тізбегін келесідей көрсетуге болады. Сонымен қатар, егер индекс жиынтығын натурал сандар деп түсінген болсақ, үшінші, төртінші және бесінші белгілерде төменгі және үстіңгі индекстерді қалдыруға болар еді. Екінші және үшінші пункттерде жақсы анықталған тізбек бар, бірақ ол өрнекпен белгіленген тізбектен өзгеше.
Ресми анықтама және негізгі қасиеттер
Математикада реттіліктер туралы көптеген әртүрлі ұғымдар бар, олардың кейбіреулері (мысалы, дәл реттілік) төменде келтірілген анықтамалар мен белгілеулермен қарастырылмайды.
Анықтама
Бұл мақалада тізбек формальды түрде домені бүтін сандар интервалы болатын функция ретінде анықталады. Бұл анықтама «тізбек» сөзінің әртүрлі қолданыстарын қамтиды, соның ішінде бір жақты шексіз тізбектер, екі жақты шексіз тізбектер және шекті тізбектер (осы тізбектердің анықтамаларын төменде қараңыз). Дегенмен, көптеген авторлар тізбектің доменін натурал сандар жиыны болуын талап ету арқылы тар анықтама қолданады. Бұл тар анықтаманың кемшілігі – ол шекті тізбектерді және екі жақты шексіз тізбектерді жоққа шығарады, ал олардың екеуі де стандартты математикалық тәжірибеде тізбек деп аталады. Тағы бір кемшілігі – егер тізбектің алғашқы мүшелерін алып тастаса, осы анықтамаға сәйкес келтіру үшін қалған мүшелерді қайта индексациялау қажет. Кейбір жағдайларда, түсіндіруді қысқарту үшін тізбектің кодомені контекстке сәйкес бекітіледі, мысалы, оны нақты сандар жиыны R немесе топологиялық кеңістік болуын талап ету арқылы. Тізбектер функцияның бір түрі болғанымен, олар әдетте функциялардан белгілеу жағынан ерекшеленеді, себебі кіріс жақшада емес, төменгі индекс ретінде жазылады, яғни a<sub>n</sub>, a(n) емес. Терминологиялық айырмашылықтар да бар: тізбектің ең кіші кірісіндегі мәні (әдетте 1) тізбектің «бірінші мүшесі» деп аталады, екінші ең кіші кірісіндегі мәні (әдетте 2) «екінші мүшесі» деп аталады, және т.б. Сондай-ақ, кірісінен абстракцияланған функция әдетте бір әріппен белгіленеді, мысалы f, ал кірісінен абстракцияланған тізбек әдетте немесе тек түрлендіріледі. Мұнда A – тізбектің домені немесе индекс жиыны. Тізбектер және олардың лимиттері (төменде қараңыз) топологиялық кеңістіктерді зерттеу үшін маңызды ұғымдар болып табылады. Тізбектердің маңызды жалпыламасы – торлар түсінігі. Тор – топологиялық кеңістікке бағытталған (мүмкін санауға келмейтін) жиыннан түсетін функция. Торлар үшін қолданылатын белгілеу конвенциялары әдетте торларға да қолданылады.
Шексіз және шексіз
Тізбе ұзындығы – тізбектегі мүшелер санымен анықталады. Шекті ұзындығы n тізбек n-тік тізбек деп те аталады. Шекті тізбектерге элементтері жоқ бос тізбек ( ) кіреді. Әдетте, шексіз тізбек термині бір бағытта шексіз, ал екінші бағытта шекті болатын тізбекке қатысты қолданылады, яғни тізбектің бірінші элементі бар, бірақ соңғы элементі жоқ. Мұндай тізбек қажет болған жағдайда бір жақты шексіз тізбек немесе бір бағытты шексіз тізбек деп аталады. Керісінше, екі бағытта да шексіз болатын, яғни бірінші де, соңғы да элементі жоқ тізбек екі жақты шексіз тізбек, екі бағытты шексіз тізбек немесе қос шексіз тізбек деп аталады. Мысалы, барлық бүтін сандардың Z жиынынан жиынға функция, сияқты барлық жұп сандар тізбегі (..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), екі жақты шексіз болады. Бұл тізбекті былай белгілеуге болады .
Көбейіп , кеміп
Егер тізбектің әрбір мүшесі алдыңғы мүшесінен үлкен немесе оған тең болса, онда тізбек монотонды түрде өседі. Мысалы, тізбек монотонды түрде өседі, егер және тек қана барлық үшін . Егер тізбектің әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінен қатаң үлкен болса (>), онда тізбек қатаң монотонды түрде өседі деп аталады. Егер тізбектің әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінен кем немесе оған тең болса, онда тізбек монотонды түрде азаяды, ал егер әрбір мүшесі алдыңғы мүшесінен қатаң түрде кем болса, онда қатаң монотонды түрде азаяды. Егер тізбек өсіп немесе азайып жатса, онда ол монотонды тізбек деп аталады. Бұл монотонды функцияның жалпы ұғымының ерекше жағдайы. «Өсімді» және «азаятын» терминдері жиі қолданылады, бұл қатаң өсу және қатаң азаюмен кез келген шатасуды болдырмау үшін жасалады.
Шектелген
Егер нақты сандар тізбегі (an) мүшелерінің барлығы нақты сан M-ден кіші болса, онда бұл тізбек жоғарыдан шектелген деп айтылады. Яғни, барлық n үшін an ≤ M болатын M саны бар екенін білдіреді. Мұндай кез келген M – жоғарғы шек деп аталады. Сол сияқты, егер кейбір нақты m саны үшін, белгілі бір N-ден үлкен барлық n-ге an ≥ m орындалса, онда тізбек төменнен шектелген болып есептеледі және мұндай кез келген m – төменгі шек деп аталады. Егер тізбек жоғарыдан да, төменнен де шектелген болса, онда ол тізбек шектелген деп айтылады.
Кейінгілер
Берілген тізбектің кіші тізбегі – қалған элементтердің өзара орналасуын өзгертпей, берілген тізбектен кейбір элементтерді жою арқылы құрылған тізбек. Мысалы, оң жұп сандар тізбегі (2, 4, 6, ...) оң сандар тізбегінің (1, 2, 3, ...) кіші тізбегі болып табылады. Басқа элементтер жойылғанда кейбір элементтердің орны өзгеруі мүмкін. Дегенмен, элементтердің өзара орналасуы сақталады. Формальды түрде, тізбектің кіші тізбегі – бұл , түріндегі кез келген тізбек, мұнда – оң бүтін сандардың қатаң түрде өсетін тізбегі.
Шектері мен конвергенция
Тізбектердің маңызды қасиеттерінің бірі – жуысу. Егер тізбек жуысса, онда ол белгілі бір мәнге жуысады, бұл мән лимит деп аталады. Егер тізбек қандай да бір лимитқа жуысса, онда ол жуысатын тізбек болып табылады. Жуыспайтын тізбек – дивергентті. Дерексіз айтқанда, тізбектің элементтері белгілі бір мәнге (тізбектің лимиті деп аталады) қанша рет болса да жақындасады, және олар сол мәнге және оның өте жақын қашықтығында қалады, яғни нөлден үлкен нақты сан берілген кезде, тізбектің элементтерінің шекті санынан басқа барлығының лимиттен қашықтығы берілген саннан кіші болады. Мысалы, оң жақта көрсетілген тізбек 0 мәніне жуысады. Екінші жағынан, тізбектер (1, 8, 27, ...) және (−1, 1, −1, 1, ...) екеуі де дивергентті. Егер тізбек жуысса, онда ол жуысатын мән бірегей болады. Бұл мән тізбектің лимиті деп аталады. Жуысатын тізбектің лимиті болса, онда ол белгілі бір мәнді білдіреді. Егер тізбек дивергентті болса, онда лимит өрнегінің мәні жоқ.
For example, the sequence shown to the right converges to the value 0. On the other hand, the sequences (which begins 1, 8, 27, ) and (which begins −1, 1, −1, 1, ) are both divergent. If a sequence converges, then the value it converges to is unique. This value is called the limit of the sequence. The limit of a convergent sequence is normally denoted If is a divergent sequence, then the expression is meaningless.
Коши реттілігі
Коши тізбегі – n саны артқан сайын мүшелерінің бір-біріне кез келген жақындыққа дейін жақындасатын тізбек. Коши тізбегінің ұғымы метрикалық кеңістіктердегі тізбектерді зерттеуде, әсіресе нақты талдауда маңызды. Нақты талдаудағы маңызды нәтижелердің бірі – тізбектердің жуыстығын Коши арқылы сипаттау: Нақты сандар тізбегі жуысады (нақты сандарда) егер және тек қана ол Коши тізбегі болса. Керісінше, рационал сандардың Коши тізбектері бар, олар рационал сандар жиынында жуыспайды, мысалы, және арқылы анықталған тізбек Коши тізбегі болып табылады, бірақ оның рационал шегі жоқ (қ. ). Көбінесе, рационал сандар тізбегі иррационал санға жуысса, ол Коши тізбегі болады, бірақ рационал сандар жиынындағы тізбек ретінде қарастырылғанда жуыспайды. Тізбектердің жуыстығын Коши арқылы сипаттайтын метрикалық кеңістіктер толық метрикалық кеңістіктер деп аталады және талдау үшін өте қолайлы.
A sequence of real numbers is convergent (in the reals) if and only if it is Cauchy. In contrast, there are Cauchy sequences of rational numbers that are not convergent in the rationals, e. g. the sequence defined by and is Cauchy, but has no rational limit (cf. ). More generally, any sequence of rational numbers that converges to an irrational number is Cauchy, but not convergent when interpreted as a sequence in the set of rational numbers. Metric spaces that satisfy the Cauchy characterization of convergence for sequences are called complete metric spaces and are particularly nice for analysis.
шексіз шектер
Калькульде жоғарыда талқыланғандай жақындаспайтын, бірақ оның орнына шексіз үлкен немесе шексіз теріс болатын тізбектерді белгілеу жиі қолданылады. Егер тізбек шексіз үлкен болса, онда біз жазамыз:
Бұл жағдайда тізбек дивергент болады немесе шексізге жақындайды дейміз. Мұндай тізбектердің мысалы: 1=an = n.
Егер тізбек шексіз теріс болса (яғни, теріс және үлкен модульдік мәні бойынша), онда біз жазамыз:
және тізбек дивергент болады немесе теріс шексізге жақындайды дейміз.
Сериялар
Жиын – бұл, көбінесе айтқанда, тізбек мүшелерінің қосындысы. Яғни, бұл немесе түріндегі өрнек, мұнда – нақты немесе кешенді сандар тізбегі. Жиынның ішіралық қосындылары – бұл шексіздік белгісін шекті санмен алмастыру нәтижесінде алынған өрнектер, яғни жиынның N-ші ішіралық қосындысы – сан. Ішіралық қосындылардың өзі тізбек құрайды, ол жиынның ішіралық қосындылар тізбегі деп аталады. Егер ішіралық қосындылар тізбегі жинақталса, онда жиын жинақталған деп айтамыз, ал шек – жиынның мәні деп аталады. Жиынды және оның мәнін белгілеу үшін бірдей жазу қолданылады, яғни біз жазамыз .
The partial sums themselves form a sequence , which is called the sequence of partial sums of the series If the sequence of partial sums converges, then we say that the series is convergent, and the limit is called the value of the series. The same notation is used to denote a series and its value, i. e. we write .
Топология
Тізбектер топологияда, әсіресе метрикалық кеңістіктерді зерттеуде маңызды рөл атқарады. Мысалы: Метрикалық кеңістік дәл сол кезде ғана дәйекті түрде тығыз болады. Метрикалық кеңістіктен басқа метрикалық кеңістікке функциясы үздіксіз болады, дәл сол кезде ғана ол жинақталатын тізбектерді жинақталатын тізбектерге айналдырады. Метрикалық кеңістік байланысқан кеңістік болып табылады, егер және тек егер кеңістік екі жиынға бөлінген кезде, олардың бірі екінші жиынның нүктесіне жинақталатын тізбек қамтитын болса. Топологиялық кеңістік ажыратылатын болып табылады, дәл сол кезде ғана онда тығыз тізбек нүктелердің болады. Тізбектерді торларға немесе сүзгілерге жалпылауға болады. Бұл жалпылаулар жоғарыда аталған теоремалардың кейбіреулерін метрикасыз кеңістіктерге кеңейтуге мүмкіндік береді.
A metric space is compact exactly when it is sequentially compact. A function from a metric space to another metric space is continuous exactly when it takes convergent sequences to convergent sequences. A metric space is a connected space if and only if, whenever the space is partitioned into two sets, one of the two sets contains a sequence converging to a point in the other set. A topological space is separable exactly when there is a dense sequence of points. Sequences can be generalized to nets or filters. These generalizations allow one to extend some of the above theorems to spaces without metrics.
Тізбелік кеңістіктер
Реттік кеңістік – элементтері нақты немесе кешенді сандардың шексіз тізбектерінен тұратын векторлық кеңістік. Балама түрінде, ол – табиғи сандар жиынынан K өрісіне дейінгі функциялар кеңістігі, мұнда K – нақты сандар өрісі немесе кешенді сандар өрісі. Мұндай функциялардың барлық жиыны K элементтері бар барлық мүмкін шексіз тізбектер жиынымен табиғи түрде сәйкестендіріледі және функциялардың нүктелік қосылуы және нүктелік скалярлық көбейтуі операциялары арқылы векторлық кеңістікке айналуы мүмкін. Барлық реттік кеңістіктер осы кеңістіктің сызықтық кіші кеңістіктері болып табылады. Реттік кеңістіктер әдетте нормамен немесе кемінде топологиялық векторлық кеңістік құрылымымен жабдықталады. Анализдегі ең маңызды реттік кеңістіктер – p нормасымен жабдықталған, p дәрежелі қосындысы шекті тізбектерден тұратын lp кеңістіктері. Бұл Lp кеңістіктерінің табиғи сандар жиынындағы санау шарасы бойынша ерекше жағдайлары. Конвергентті немесе нөлдік тізбектер сияқты тізбектердің басқа маңызды кластары да c және c0 деп белгіленетін реттік кеңістіктерді құрайды, олар sup нормасымен жабдықталған. Кез келген реттік кеңістік нүктелік жуысу топологиясымен де жабдықталуы мүмкін, оның аясында ол FK кеңістігі деп аталатын Фреше кеңістігінің ерекше түріне айналады.
Сызықтық алгебра
Өрістегі тізбектерді векторлық кеңістіктегі векторлар ретінде де қарастыруға болады. Атап айтқанда, F мәнді тізбектер жиыны (мұнда F – өріс) – табиғи сандар жиынтығындағы F мәнді функциялардың функциялық кеңістігі (іс жүзінде, көбейтінді кеңістігі) болып табылады.
Абстрактілік алгебра
Абстракт алгебрада түрлі тізбектер қолданылады, оның ішінде топтар немесе сақиналар сияқты математикалық объектілердің тізбектері де бар.
Еркін моноид
Егер A жиын болса, A үстіндегі еркін моноид (A* деп белгіленеді, сондай-ақ A-ның Клейне жұлдызы деп аталады) – A-ның нөл немесе одан көп элементтерінен құралған барлық шекті тізбектерді (немесе жолдарды) қамтитын моноид, оның бинарлық операциясы – жалғастыру. А+ еркін жартылай топ – бос тізбектен басқа A*-ның барлық элементтерін қамтитын жартылай топ.
Спектрлік реті
Гомологиялық алгебра және алгебралық топологияда спектрлік тізбек – гомологиялық топтарды біртіндеп жуықтау арқылы есептеу тәсілі. Спектрлік тізбектер – нақты тізбектердің обобщелмесі, және олар енгізілгеннен бері, әсіресе гомотопия теориясында маңызды зерттеу құралына айналды.
Жинақ теориясы
Ординалдық индекстелген тізбек – тізбектің жалпылама түрі. Егер α – лимит ординал болса және X – жиын болса, X элементтерінің α индекстелген тізбегі – α-дан X-ке дейінгі функция. Осы терминология бойынша ω индекстелген тізбек – қарапайым тізбек.
Есептеу
Компьютерлік ғылымда шекті тізбектер тізімдер деп аталады. Потенциалды шексіз тізбектер ағындар деп аталады. Таңбалардың немесе цифрлардың шекті тізбегі жолдар деп аталады.
Ағындықтар
Сандардың (немесе таңбалардың) шекті әліпбиден алынған шексіз тізбектері теориялық компьютерлік ғылымда ерекше қызығушылық тудырады. Олар жиі жай ғана тізбектер немесе ағындар деп аталады, шекті тізбектерден өзгеше. Мысалы, шексіз бинарлық тізбектер – бұл біттердің шексіз тізбектері (алфавит {0, 1} -дан алынған таңбалар). Барлық шексіз екілік тізбектердің жиынтығы C = {0, 1}∞ кейде Кантор кеңістігі деп аталады. Сансыз бинарлық тізбек формальды тілді (тізбектер жиынтығын) тізбектің n-ші битін 1 деп белгілеу арқылы көрсетуге болады, егер және тек қана n-ші тізбек (shortlex тәртібімен) тілге кірсе. Бұл бейнелеу дәлелдеу үшін диагональдау әдісінде пайдалы.