Введение

Конечный или бесконечный упорядоченный список элементов.

В математике последовательность — это упорядоченная коллекция объектов, в которой допускаются повторения и важен порядок. Как и множество, она содержит элементы (также называемые членами или термами). Количество элементов (возможно, бесконечное) называется длиной последовательности. В отличие от множества, одни и те же элементы могут несколько раз появляться в разных позициях в последовательности, и, в отличие от множества, порядок имеет значение. Формально последовательность можно определить как функцию из натуральных чисел (позиций элементов в последовательности) в элементы, соответствующие каждой позиции. Понятие последовательности можно обобщить до индексированного семейства, определяемого как функция из произвольного множества индексов. Например, (M, A, R, Y) — это последовательность букв, где первой идет буква "M", а последней — "Y". Эта последовательность отличается от (A, R, M, Y). Также последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8), содержащая число 1 в двух разных позициях, является допустимой последовательностью. Последовательности могут быть конечными, как в этих примерах, или бесконечными, например, последовательность всех четных положительных целых чисел (2, 4, 6, ...). Положение элемента в последовательности называется его рангом или индексом; это натуральное число, для которого элемент является образом. Первый элемент имеет индекс 0 или 1, в зависимости от контекста или принятой условности. В математическом анализе последовательность часто обозначается буквами вида , и , где индекс n относится к n-му элементу последовательности; например, n-й элемент последовательности Фибоначчи обычно обозначается как .

В информатике и вычислительной технике конечные последовательности обычно называют строками, словами или списками, при этом конкретный технический термин выбирается в зависимости от типа объектов, которые перечисляет последовательность, и различных способов представления последовательности в компьютерной памяти. Бесконечные последовательности называются потоками. Пустая последовательность ( ) включается в большинство определений последовательности, но может быть исключена в зависимости от контекста.

Примеры и обозначение

Последовательность можно рассматривать как список элементов в определенном порядке. Последовательности полезны во многих математических дисциплинах для изучения функций, пространств и других математических структур, используя свойства сходимости последовательностей. В частности, последовательности являются основой для рядов, которые важны в дифференциальных уравнениях и математическом анализе. Последовательности также представляют интерес сами по себе и могут изучаться как закономерности или головоломки, например, при изучении простых чисел. Существует несколько способов обозначения последовательности, некоторые из которых более удобны для определенных типов последовательностей. Один из способов задать последовательность – перечислить все её элементы. Например, первые четыре нечётных числа образуют последовательность (1, 3, 5, 7). Эта нотация используется и для бесконечных последовательностей. Например, бесконечная последовательность положительных нечётных целых чисел записывается как (1, 3, 5, 7, …). Поскольку обозначение последовательностей многоточием может приводить к неоднозначности, перечисление наиболее полезно для общепринятых бесконечных последовательностей, которые можно легко узнать по первым нескольким элементам. Другие способы обозначения последовательности будут рассмотрены после примеров.

Примеры

Простые числа — это натуральные числа, большие 1, которые не имеют делителей, кроме 1 и самого числа. Если перечислить их в естественном порядке, получится последовательность (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Простые числа широко используются в математике, особенно в теории чисел, где существует множество результатов, связанных с ними. Числа Фибоначчи образуют целочисленную последовательность, каждый элемент которой равен сумме двух предыдущих. Первые два элемента могут быть либо 0 и 1, либо 1 и 1, в результате чего последовательность выглядит как (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).

Индексирование

Другие обозначения могут быть полезны для последовательностей, закономерность которых трудно угадать, или для последовательностей, не имеющих закономерности, например, цифр числа π. Одно из таких обозначений — запись общей формулы для вычисления n-го члена как функции от n, заключение её в скобки и добавление индекса, указывающего множество допустимых значений n. Например, в этом обозначении последовательность чётных чисел можно записать как , а последовательность квадратов — как . Переменная n называется индексом, а множество её допустимых значений — индексным множеством. Часто бывает полезно комбинировать это обозначение с методом рассмотрения элементов последовательности как отдельных переменных. Это приводит к выражениям вроде , которое обозначает последовательность, n-й элемент которой задаётся переменной . Например:

Можно рассматривать несколько последовательностей одновременно, используя разные переменные; например, может быть другой последовательностью, чем . Можно даже рассматривать последовательность последовательностей: обозначает последовательность, m-й член которой является последовательностью . Альтернативой указанию области определения последовательности в индексе является указание диапазона допустимых значений индекса путём перечисления его наибольшего и наименьшего значений. Например, обозначение обозначает десятичленную последовательность квадратов. Пределы и допустимы, но они не представляют собой допустимые значения индекса, а лишь верхнюю и нижнюю границы этих значений соответственно. Например, последовательность эквивалентна последовательности , и не содержит дополнительного члена «на бесконечности». Последовательность является двусторонне бесконечной последовательностью и может быть также записана как .

В случаях, когда множество индексирующих чисел понятно, индексы и надстрочные индексы часто опускаются. То есть, для произвольной последовательности просто пишут . Часто индекс k подразумевается изменяющимся от 1 до ∞. Однако последовательности часто индексируются, начиная с нуля, как в .

В некоторых случаях элементы последовательности естественно связаны с последовательностью целых чисел, закономерность которой можно легко определить. В этих случаях индексное множество может подразумеваться перечислением первых нескольких элементов. Например, последовательность квадратов нечётных чисел можно обозначить любым из следующих способов. Кроме того, в третьем, четвёртом и пятом обозначениях можно было бы опустить индексы и надстрочные индексы, если бы индексное множество понималось как множество натуральных чисел. Во втором и третьем пунктах существует чётко определённая последовательность , но она не совпадает с последовательностью, обозначенной выражением .

Формальное определение и основные свойства

В математике существует множество различных представлений о последовательностях, некоторые из которых (например, точная последовательность) не рассматриваются в определениях и обозначениях, представленных ниже.

Определение

В этой статье последовательность формально определяется как функция, область определения которой является интервалом целых чисел. Это определение охватывает различные применения термина "последовательность", включая односторонние бесконечные последовательности, двусторонние бесконечные последовательности и конечные последовательности (определения этих типов последовательностей приведены ниже). Однако многие авторы используют более узкое определение, требуя, чтобы область определения последовательности была множеством натуральных чисел. Недостатком этого более узкого определения является то, что оно исключает конечные и двусторонние бесконечные последовательности, которые обычно называют последовательностями в стандартной математической практике. Другой недостаток заключается в том, что при удалении первых членов последовательности необходимо переиндексировать оставшиеся члены, чтобы соответствовать этому определению. В некоторых контекстах, для краткости изложения, область значений последовательности фиксируется контекстом, например, требуя, чтобы она была множеством R действительных чисел или топологическим пространством. Хотя последовательности являются типом функции, они обычно отличаются от функций способом записи аргумента: аргумент записывается в виде индекса, а не в скобках, то есть а, а не a(n). Существуют также терминологические различия: значение последовательности при наименьшем аргументе (обычно 1) называется "первым элементом" последовательности, значение при втором наименьшем аргументе (обычно 2) называется "вторым элементом" и так далее. Кроме того, если функция, рассматриваемая абстрактно, обычно обозначается одной буквой, например f, то последовательность, рассматриваемая абстрактно, обычно записывается в виде или просто как . Здесь A – область определения или индексное множество последовательности. Последовательности и их пределы (см. ниже) являются важными понятиями для изучения топологических пространств. Важным обобщением последовательностей является понятие сети. Сеть – это функция с (возможно, несчётного) направленного множества в топологическое пространство. Обычные нотационные соглашения для последовательностей обычно применимы и к сетям.

Конечный и бесконечный

Длина последовательности определяется как число элементов в последовательности. Последовательность конечной длины n также называется n-кортежем. Конечные последовательности включают пустую последовательность () , которая не содержит элементов. Обычно термин «бесконечная последовательность» относится к последовательности, бесконечной в одном направлении и конечной в другом – последовательность имеет первый элемент, но не имеет последнего элемента. Такая последовательность называется односторонне бесконечной последовательностью, когда требуется уточнение. В отличие от неё, последовательность, бесконечная в обоих направлениях – то есть не имеющая ни первого, ни последнего элемента – называется двусторонне бесконечной, двухсторонней бесконечной или двойной бесконечной последовательностью. Функция из множества Z всех целых чисел в множество, например, последовательность всех чётных целых чисел (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …), является двусторонне бесконечной. Эту последовательность можно обозначить как .

Увеличивается и уменьшается

Считается, что последовательность монотонно возрастает, если каждый её член больше или равен предыдущему. Например, последовательность монотонно возрастает тогда и только тогда, когда для всех . Если каждый следующий член строго больше (>) предыдущего, то последовательность называется строго монотонно возрастающей. Последовательность монотонно убывает, если каждый её член меньше или равен предыдущему, и строго монотонно убывает, если каждый член строго меньше предыдущего. Если последовательность либо возрастает, либо убывает, то она называется монотонной. Это частный случай более общего понятия монотонной функции. Термины "неубывающая" и "невозрастающая" часто используются вместо "возрастающая" и "убывающая" соответственно, чтобы избежать возможной путаницы со строго возрастающими и строго убывающими последовательностями.

Ограниченный

Если последовательность действительных чисел (an) такова, что все её члены меньше некоторого действительного числа M, то говорят, что последовательность ограничена сверху. Иными словами, это означает, что существует такое M, что для всех n, an ≤ M. Любое такое M называется верхней границей. Аналогично, если для некоторого действительного числа m, an ≥ m для всех n, больших некоторого N, то последовательность ограничена снизу, и любое такое m называется нижней границей. Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной.

Последующие действия

Подпоследовательностью данной последовательности является последовательность, образованная из данной последовательности путем удаления некоторых элементов без изменения относительного порядка оставшихся элементов. Например, последовательность положительных четных целых чисел (2, 4, 6, ...) является подпоследовательностью последовательности положительных целых чисел (1, 2, 3, ...). При удалении элементов позиции некоторых из них могут измениться, однако относительный порядок сохраняется. Формально, подпоследовательностью последовательности является любая последовательность вида , где – строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пределы и конвергенция

Важным свойством последовательности является сходимость. Если последовательность сходится, она сходится к определенному значению, известному как предел. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она является сходящейся. Последовательность, которая не сходится, является расходящейся. Неформально, последовательность имеет предел, если элементы последовательности становятся все ближе и ближе к некоторому значению (называемому пределом последовательности), и они становятся и остаются сколь угодно близкими к , что означает, что для любого действительного числа, большего нуля, все, кроме конечного числа элементов последовательности, имеют расстояние от меньше, чем . Например, последовательность, показанная справа, сходится к значению 0. С другой стороны, последовательности (которая начинается с 1, 8, 27, ...) и (которая начинается с -1, 1, -1, 1, ...) являются расходящимися. Если последовательность сходится, то значение, к которому она сходится, единственно. Это значение называется пределом последовательности. Предел сходящейся последовательности обычно обозначается как . Если является расходящейся последовательностью, то выражение не имеет смысла.

Последовательность Коши

Последовательность Коши — это последовательность, члены которой становятся сколь угодно близкими друг к другу при стремлении n к бесконечности. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в математическом анализе. Одним из важнейших результатов в математическом анализе является характеризация сходимости последовательностей с помощью критерия Коши: последовательность действительных чисел сходится (в множестве действительных чисел) тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши. В отличие от этого, существуют последовательности Коши рациональных чисел, которые не сходятся в множестве рациональных чисел, например, последовательность, определяемая и , является последовательностью Коши, но не имеет рационального предела (см.). В более общем случае, любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, является последовательностью Коши, но не сходится, если рассматривать её как последовательность в множестве рациональных чисел. Метрические пространства, удовлетворяющие критерию Коши для сходимости последовательностей, называются полными метрическими пространствами и особенно удобны для анализа.

Бесконечные пределы

В исчислении принято вводить обозначения для последовательностей, которые не сходятся в смысле, рассмотренном выше, но вместо этого становятся и остаются сколь угодно большими, или становятся и остаются сколь угодно отрицательными. Если становится сколь угодно большим при , мы пишем

В этом случае мы говорим, что последовательность расходится, или что она стремится к бесконечности. Примером такой последовательности является 1 = aₙ = n.

Если становится сколь угодно отрицательной (то есть отрицательной и большой по абсолютной величине) при , мы пишем

и говорим, что последовательность расходится или стремится к минус бесконечности.

Серия

Серия, говоря неформально, представляет собой сумму членов последовательности. То есть, это выражение вида или , где – последовательность действительных или комплексных чисел. Частичные суммы ряда – это выражения, получаемые заменой символа бесконечности конечным числом, то есть N-я частичная сумма ряда равна числу .

Сами частичные суммы образуют последовательность , которая называется последовательностью частичных сумм ряда. Если последовательность частичных сумм сходится, то говорят, что ряд сходится, а её предел называется значением ряда. Та же нотация используется для обозначения и самого ряда, и его значения, то есть мы пишем .

Топология

Последовательности играют важную роль в топологии, особенно в изучении метрических пространств. Например: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно последовательно компактно. Функция из метрического пространства в другое метрическое пространство непрерывна тогда и только тогда, когда она отображает сходящиеся последовательности в сходящиеся последовательности. Метрическое пространство связно, если и только если при любом разбиении пространства на два множества, одно из этих множеств содержит последовательность, сходящуюся к точке из другого множества. Топологическое пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда в нем существует плотная последовательность точек. Последовательности можно обобщить до сетей или фильтров. Эти обобщения позволяют распространить некоторые из вышеуказанных теорем на пространства, не имеющие метрики.

Пространства последовательности

Последовательное пространство — это векторное пространство, элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, это пространство функций, элементами которого служат функции из множества натуральных чисел в поле K, где K — либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть наделено структурой векторного пространства посредством операций поточечного сложения функций и поточечного умножения на скаляр. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжаются нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства. Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются пространства ℓp, состоящие из последовательностей, сумма p-х степеней которых сходится, с p-нормой. Это частные случаи пространств Lp для счетной меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, обозначаемые соответственно c и c₀, с супремум-нормой. Любое пространство последовательностей также может быть снабжено топологией поточечной сходимости, при которой оно становится особым типом пространства Фреше, называемым пространством FK.

Линейная алгебра

Последовательности над полем также можно рассматривать как векторы в векторном пространстве. В частности, множество последовательностей со значениями в поле F (где F – поле) является функциональным пространством (фактически, пространством произведений) функций со значениями в F, определенных на множестве натуральных чисел.

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра использует несколько типов последовательностей, в том числе последовательности математических объектов, таких как группы или кольца.

Свободный моноид

Если A – множество, то свободный моноид над A (обозначаемый A*, также называемый звездой Клине A) – это моноид, содержащий все конечные последовательности (или строки) из нуля или более элементов A, с бинарной операцией конкатенации. Свободная полугруппа A+ является подполугруппой A*, содержащей все элементы, кроме пустой последовательности.

Спектровые последовательности

В гомологической алгебре и алгебраической топологии спектральная последовательность — это метод вычисления групп гомологий посредством последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей и с момента их введения стали важным инструментом исследования, особенно в теории гомотопий.

Теория множеств

Порядковая индексированная последовательность является обобщением последовательности. Если α — предельный ординал, а X — множество, то α-индексированная последовательность элементов X — это функция из α в X. В этой терминологии последовательность, индексированная ω, является обычной последовательностью.

Вычислительные технологии

В информатике конечные последовательности называются списками. Потенциально бесконечные последовательности называются потоками. Конечные последовательности символов или цифр называются строками.

Потоки

Бесконечные последовательности цифр (или символов), взятых из конечного алфавита, представляют особый интерес в теоретической информатике. Их часто называют просто последовательностями или потоками, в отличие от конечных строк. Бесконечные двоичные последовательности, например, являются бесконечными последовательностями битов (символов, взятых из алфавита {0, 1}). Множество C = {0, 1}∞ всех бесконечных двоичных последовательностей иногда называют пространством Кантора. Бесконечная двоичная последовательность может представлять формальный язык (множество строк), устанавливая n-й бит последовательности в 1 тогда и только тогда, когда n-я строка (в лексикографическом порядке) принадлежит этому языку. Это представление полезно при использовании метода диагонализации в доказательствах.