Динамикалық жүйелердің эргодикалық теориясы

Кіріспе

Динамикалық жүйелерді зерттейтін математика саласы.

Эргодикалық теория — детерминистік динамикалық жүйелердің статистикалық қасиеттерін зерттейтін математика саласы; ол ергодизмді зерттеуге арналған. Мұндағы "статистикалық қасиеттер" — динамикалық жүйелердің траекториялары бойынша әртүрлі функциялардың уақыт орташасының мінез-құлқы арқылы сипатталатын қасиеттерді білдіреді. Детерминистік динамикалық жүйелер туралы түсінік, динамиканы анықтайтын теңдеулерде кездейсоқ бұзылыстар, шу және т.б. болмайды деп есептейді. Сондықтан, бізді қызықтыратын статистика — динамиканың қасиеттері. Эргодикалық теория, ықтималдық теориясы сияқты, өлшемдер теориясының жалпы ұғымдарына негізделген. Оның бастапқы дамуына статистикалық физика мәселелері түрткіс болды. Эргодикалық теорияның басты мәселесі — динамикалық жүйенің ұзақ уақыт бойы жұмыс істеуіне рұқсат етілген кездегі мінез-құлқы. Бұл бағыттағы алғашқы нәтиже — Пуанкаренің қайталану теоремасы, ол фазалық кеңістіктің кез келген ішкі жиынындағы дерлік барлық нүктелер жиынды қайтадан кешіп өтеді деп мәлімдейді. Пуанкаренің қайталану теоремасын қанағаттандыратын жүйелер консервативті жүйелер болып табылады; сондықтан барлық ергодикалық жүйелер консервативті. Әртүрлі ергодикалық теоремалар одан да нақтырақ ақпарат береді, олар белгілі бір жағдайларда траекториялар бойынша функцияның уақыт орташасы дерлік барлық жерде бар және кеңістіктік орташаға байланысты екенін көрсетеді. Ең маңызды теоремалардың екеуі — Бёрхоффтың (1931) және фон Нейманның теоремалары, олар әрбір траектория бойымен уақыт орташасының бар екенін көрсетеді. Эргодикалық жүйелердің ерекше класы үшін бұл уақыт орташасы дерлік барлық бастапқы нүктелер үшін бірдей: статистикалық тұрғыдан алғанда, ұзақ уақыт бойы дамитын жүйе өзінің бастапқы күйін "ұмытады". Қоспалану және тең таралу сияқты күшті қасиеттер де кеңінен зерттелді. Жүйелердің метрикалық жіктелу мәселесі — абстрактілі ергодикалық теорияның тағы бір маңызды бөлігі. Эргодикалық теорияда және оның стохастикалық процестерге қолданылуында динамикалық жүйелер үшін энтропияның әртүрлі ұғымдары маңызды рөл атқарады. Эргодикалық және ергодикалық гипотезаның ұғымдары — эргодикалық теорияның қолданылуында маңызды. Негізгі идея — белгілі бір жүйелер үшін олардың қасиеттерінің уақыт орташасы бүкіл кеңістіктегі орташаға тең. Эргодикалық теорияны математиканың басқа салаларына қолдану көбінесе ерекше жүйелер үшін эргодикалық қасиеттерді белгілеуді қамтиды. Геометрияда эргодикалық теорияның әдістері Римандық көптүрліліктердегі геодезиялық ағынды зерттеу үшін қолданылды, Эберхард Хопфтың теріс қисықтығы бар Риман беттері үшін алған нәтижелерінен бастап. Марков тізбектері ықтималдық теориясындағы қолданыстар үшін кең таралған контексті құрайды. Эргодикалық теория гармониялық талдау, Ли теориясы (бейнелеу теориясы, алгебралық топтардағы торлар) және сандар теориясы (диофантикалық жуықтаулар теориясы, L функциялары)мен жемісті байланыстарға ие.

Ergodic theory is a branch of mathematics that studies statistical properties of deterministic dynamical systems; it is the study of ergodicity. In this context, "statistical properties" refers to properties which are expressed through the behavior of time averages of various functions along trajectories of dynamical systems. The notion of deterministic dynamical systems assumes that the equations determining the dynamics do not contain any random perturbations, noise, etc. Thus, the statistics with which we are concerned are properties of the dynamics. Ergodic theory, like probability theory, is based on general notions of measure theory. Its initial development was motivated by problems of statistical physics. A central concern of ergodic theory is the behavior of a dynamical system when it is allowed to run for a long time. The first result in this direction is the Poincaré recurrence theorem, which claims that almost all points in any subset of the phase space eventually revisit the set. Systems for which the Poincaré recurrence theorem holds are conservative systems; thus all ergodic systems are conservative. More precise information is provided by various ergodic theorems which assert that, under certain conditions, the time average of a function along the trajectories exists almost everywhere and is related to the space average. Two of the most important theorems are those of Birkhoff (1931) and von Neumann which assert the existence of a time average along each trajectory. For the special class of ergodic systems, this time average is the same for almost all initial points: statistically speaking, the system that evolves for a long time "forgets" its initial state. Stronger properties, such as mixing and equidistribution, have also been extensively studied. The problem of metric classification of systems is another important part of the abstract ergodic theory. An outstanding role in ergodic theory and its applications to stochastic processes is played by the various notions of entropy for dynamical systems. The concepts of ergodicity and the ergodic hypothesis are central to applications of ergodic theory. The underlying idea is that for certain systems the time average of their properties is equal to the average over the entire space. Applications of ergodic theory to other parts of mathematics usually involve establishing ergodicity properties for systems of special kind. In geometry, methods of ergodic theory have been used to study the geodesic flow on Riemannian manifolds, starting with the results of Eberhard Hopf for Riemann surfaces of negative curvature. Markov chains form a common context for applications in probability theory. Ergodic theory has fruitful connections with harmonic analysis, Lie theory (representation theory, lattices in algebraic groups), and number theory (the theory of diophantine approximations, L functions).

Мысалдар

R/Z шеңберінің иррационалды айналуы, T: x → x + θ, мұндағы θ иррационалды, эргодикалық. Бұл трансформация тіпті күштірек ерекше эргодикалық, минималдылық және тең таралу қасиеттеріне ие. Керісінше, егер θ = p/q рационалды болса (ең төменгі түрде), онда T кезеңді болады, кезеңі q-ға тең, демек эргодикалық бола алмайды: кез келген I аралығы үшін, ұзындығы a, 0 < a < 1/q, оның T астындағы орбитасы (яғни I, T(I), ..., Tq−1(I) жиындарының бірігі), T қолданылуының кез келген санында I-дің бейнесін қамтитын T-инвариантты, 0-ға дейін модульдік жиын, ол ұзындығы a-ға тең q аралықтың бірігі болғандықтан, оның шамасы 0 мен 1 аралығында қатаң түрде qa-ға тең. G – компактты абельдік топ, μ – нормаланған Haar өлшемі, ал T – G тобының автоморфизмі болсын. G* – G-дің үздіксіз мінездемелерінен тұратын Понтрягин дуал тобы, ал T* – G*-дің сәйкес қосымша автоморфизмі болсын. Автоморфизм T эргодикалық болады, егер және тек қана (T*)n(χ) = χ теңдігі тек n = 0 болғанда немесе χ – G-дің тривиалды мінездемесі болғанда ғана мүмкін болса. Атап айтқанда, егер G – n өлшемді тор болса және автоморфизм T – A унимодулярлық матрицасымен бейнеленсе, онда T эргодикалық болады, егер және тек қана A-ның ешбір өзіндік мәні біртіндегі түбір болмаса. Бернулли жылғасы – эргодикалық. Жалпы алғанда, i.i.d. кездейсоқ шамалар тізбегімен және кейбір жалпы стационарлық процестермен байланысты жылғасы трансформациясының эргодиктігі Колмагоровтың нөл-бір заңынан туындайды. Ұздіксіз динамикалық жүйенің эргодиктігі оның траекториялары фазалық кеңістікте "таралып жайылады" дегенді білдіреді. Ықпалды фазалық кеңістігі бар және тұрақты емес бірінші интегралы бар жүйе эргодикалық бола алмайды. Бұл, әсіресе, Гамильтондық жүйелерге қатысты, егер олардың бірінші интегралы I, Гамильтон функциясы H-дан функционалдық тәуелсіз болса және тұрақты энергияның компактты деңгейлік жиынтығы X = {(p,q): H(p,q) = E} болса. Лиувилль теоремасы X-те шекті инвариантты өлшемнің бар екендігін білдіреді, бірақ жүйенің динамикасы X-те I деңгейлік жиынтықтарымен шектелген, сондықтан жүйе оң, бірақ толық өлшемнен кем инвариантты жиынтықтарға ие. Ұздіксіз динамикалық жүйелердің эргодиктікке қарама-қарсы қасиеті – толық интегралдану.

An irrational rotation of the circle R/Z, T: x → x + θ, where θ is irrational, is ergodic. This transformation has even stronger properties of unique ergodicity, minimality, and equidistribution. By contrast, if θ = p/q is rational (in lowest terms) then T is periodic, with period q, and thus cannot be ergodic: for any interval I of length a, 0 < a < 1/q, its orbit under T (that is, the union of I, T(I), , Tq−1(I), which contains the image of I under any number of applications of T) is a T invariant mod 0 set that is a union of q intervals of length a, hence it has measure qa strictly between 0 and 1. Let G be a compact abelian group, μ the normalized Haar measure, and T a group automorphism of G. Let G* be the Pontryagin dual group, consisting of the continuous characters of G, and T* be the corresponding adjoint automorphism of G*. The automorphism T is ergodic if and only if the equality (T*)n(χ) = χ is possible only when n = 0 or χ is the trivial character of G. In particular, if G is the n dimensional torus and the automorphism T is represented by a unimodular matrix A then T is ergodic if and only if no eigenvalue of A is a root of unity. A Bernoulli shift is ergodic. More generally, ergodicity of the shift transformation associated with a sequence of i. i. d. random variables and some more general stationary processes follows from Kolmogorov's zero–one law. Ergodicity of a continuous dynamical system means that its trajectories "spread around" the phase space. A system with a compact phase space which has a non constant first integral cannot be ergodic. This applies, in particular, to Hamiltonian systems with a first integral I functionally independent from the Hamilton function H and a compact level set X = {(p,q): H(p,q) = E} of constant energy. Liouville's theorem implies the existence of a finite invariant measure on X, but the dynamics of the system is constrained to the level sets of I on X, hence the system possesses invariant sets of positive but less than full measure. A property of continuous dynamical systems that is the opposite of ergodicity is complete integrability.

Lp нормаларындағы ергодикалық орташалардың конвергенциясы

(X, Σ, μ) жоғарыда аталғандай, өлшемді сақтайтын түрлендіру T-ға ие ықтималдық кеңістігі болсын, және 1 ≤ p ≤ ∞. T-инвариантты жиындардың ΣT суб-σ алгебрасына қатысты шартты күту, Lp(X, Σ, μ) Банах кеңістігінің нормасы 1-ге тең сызықтық проекторы ET болып табылады, ол Lp(X, ΣT, μ) жабық субкеңістігіне проекциялайды. Соңғысы X-тегі барлық T-инвариантты Lp функцияларының кеңістігі ретінде де сипатталуы мүмкін. Lp(X, Σ, μ)-дегі сызықтық операторлар ретіндегі эргодикалық орташалар да бірлік оператор нормасына ие; және, Біркхофф-Хинчин теоремасының тікелей салдары ретінде, егер 1 ≤ p ≤ ∞ болса, Lp-нің күшті оператор топологиясында, ал p = ∞ болса, әлсіз оператор топологиясында проектор ET-ге жуықсады. Көбірек айтуға болады, егер 1 < p ≤ ∞ болса, онда Винер-Йошида-Какутани эргодикалық үстемді конвергенция теоремасы ƒ ∈ Lp эргодикалық орташалары Lp-де үстемдік етеді деп мәлімдейді; алайда, егер ƒ ∈ L1 болса, эргодикалық орташалар Lp-де тең үстемдік ете бермейді. Ақырында, егер ƒ Зигмунд класына жатса, яғни |ƒ| log⁺(|ƒ|) интегралданатын болса, онда эргодикалық орташалар тіпті L1-де үстемдік етеді.

Қонақ үйде болу уақыты

(X, Σ, μ) μ(X) шекті және нөлден өзгеше өлшем кеңістігі болсын. Өлшенетін A жиынында өткізілген уақытқа "тұру уақыты" деп аталады. Эргодикалық теореманың тікелей салдары – ергодикалық жүйеде A жиынының салыстырмалы өлшемі орташа тұру уақытына тең: барлық x үшін, нөлдік өлшемді жиынтықтан басқа, мұнда χA – A жиынының индикаторлық функциясы. Өлшенетін A жиынының пайда болу уақыттары – Tk(x) A жиынында болатын k1, k2, k3, … уақыттарының өсу ретімен сұрыпталған жиынтығы ретінде анықталады. Бір-бірінен кейін пайда болатын уақыттардың айырмасы Ri = ki − ki−1 – A жиынының қайталану уақыттары деп аталады. Эргодикалық теореманың тағы бір салдары – A жиынының орташа қайталану уақыты A жиынының өлшеміне кері пропорционал, егер бастапқы нүкте x A жиынында болса, онда k0 = 0 болады. (Дерлік сөзсіз.) Яғни, A жиыны неғұрлым кішкентай болса, оған қайта оралу үшін соғұрлым көп уақыт қажет болады.

Аргументтердегі ергодикалық ағымдар

Геодезиялық ағынның ергодиктігін өзгермелі теріс қисықтығы бар компактты Риман беттерінде және кез келген өлшемдегі тұрақты теріс қисықтығы бар компактты көптіктерде 1939 жылы Эберхард Хопф дәлелдеді, бірақ арнайы жағдайлар одан бұрын зерттелді: мысалы, Хадамардтың бильярдтары (1898) және Артин бильярды (1924) қараңыз. Риман бетіндегі геодезиялық ағымдар мен SL(2, R) бір параметрлік кіші топтары арасындағы байланысты 1952 жылы С. В. Фомин мен И. М. Гельфан сипаттады. Аносов ағыны туралы мақалада SL(2, R) және теріс қисықтығы бар Риман бетінде ергодикалық ағындардың мысалы келтірілген. Онда сипатталған дамудың көп бөлігі гиперболалық көптүрліліктерге жалпыланады, өйткені оларды жартылай қарапайым Ли тобындағы SO(n,1) тордың әрекеті арқылы гиперболалық кеңістіктің үлестері ретінде қарастыруға болады. Риманның симметриялық кеңістіктеріндегі геодезиялық ағынның ергодиктігін Ф. И. Маутнер 1957 жылы дәлелдеді. 1967 жылы Д. В. Аносов және Я. Г. Синай өзгермелі теріс қималық қисықтығы бар компактты көптіктердегі геодезиялық ағынның ергодиктігін дәлелдеді. Жартылай қарапайым Ли тобының біртекті кеңістігіндегі біртекті ағынның ергодиктігіне қарапайым критерийді 1966 жылы Кальвин К. Мур берді. Бұл зерттеу саласының көптеген теоремалары мен нәтижелері қатаңдық теориясына тән. 1930 жылдары Г. А. Хедлунд компактты гиперболалық беткейдегі хороцикл ағыны минималды және ергодикалық екенін дәлелдеді. Ағынның бірегей ергодиктігін 1972 жылы Хиллель Фурстенберг анықтады. Ратнер теоремалары Γ \ G формасындағы біртекті кеңістіктердегі унипотент ағымдар үшін ергодикті кеңінен жалпылайды, мұнда G - Ли тобы, ал Γ - G-дегі тор. Соңғы 20 жылда Ратнер теоремаларына ұқсас, бірақ диагональдалатын әрекеттер үшін өлшемді жіктеу теоремасын табуға тырысатын көптеген жұмыстар болды, олар Фурстенберг пен Маргулис болжамдарымен қозғалды. Маңызды ішінара нәтиже (осы болжамдарды оң энтропияның қосымша шартымен шешу) Илон Линденстраус дәлелдеді және ол осы нәтиже үшін 2010 жылы Филдс медалімен марапатталды.

The ergodicity of the geodesic flow on compact Riemann surfaces of variable negative curvature and on compact manifolds of constant negative curvature of any dimension was proved by Eberhard Hopf in 1939, although special cases had been studied earlier: see for example, Hadamard's billiards (1898) and Artin billiard (1924). The relation between geodesic flows on Riemann surfaces and one parameter subgroups on SL(2, R) was described in 1952 by S. V. Fomin and I. M. Gelfand. The article on Anosov flows provides an example of ergodic flows on SL(2, R) and on Riemann surfaces of negative curvature. Much of the development described there generalizes to hyperbolic manifolds, since they can be viewed as quotients of the hyperbolic space by the action of a lattice in the semisimple Lie group SO(n,1). Ergodicity of the geodesic flow on Riemannian symmetric spaces was demonstrated by F. I. Mautner in 1957. In 1967 D. V. Anosov and Ya. G. Sinai proved ergodicity of the geodesic flow on compact manifolds of variable negative sectional curvature. A simple criterion for the ergodicity of a homogeneous flow on a homogeneous space of a semisimple Lie group was given by Calvin C. Moore in 1966. Many of the theorems and results from this area of study are typical of rigidity theory. In the 1930s G. A. Hedlund proved that the horocycle flow on a compact hyperbolic surface is minimal and ergodic. Unique ergodicity of the flow was established by Hillel Furstenberg in 1972. Ratner's theorems provide a major generalization of ergodicity for unipotent flows on the homogeneous spaces of the form Γ \ G, where G is a Lie group and Γ is a lattice in G.

In the last 20 years, there have been many works trying to find a measure classification theorem similar to Ratner's theorems but for diagonalizable actions, motivated by conjectures of Furstenberg and Margulis. An important partial result (solving those conjectures with an extra assumption of positive entropy) was proved by Elon Lindenstrauss, and he was awarded the Fields medal in 2010 for this result.

Тарихи сілтемелер

Since no English text was provided, and only placeholder dots exist in both the original and reference translation, I will provide a translation consisting of placeholder dots, maintaining consistency with the reference.

. . . . . . . .