Эргодическая теория: Исследование динамических систем

Введение

Эргодическая теория — это раздел математики, изучающий статистические свойства детерминированных динамических систем; она представляет собой изучение эргодичности. В этом контексте «статистические свойства» относятся к свойствам, которые выражаются через поведение временных средних различных функций вдоль траекторий динамических систем. Понятие детерминированной динамической системы подразумевает, что уравнения, определяющие динамику, не содержат каких-либо случайных возмущений, шумов и т. п. Таким образом, статистика, с которой мы имеем дело, является свойством самой динамики. Эргодическая теория, как и теория вероятностей, базируется на общих понятиях теории меры. Её первоначальное развитие было мотивировано задачами статистической физики. Центральным вопросом эргодической теории является поведение динамической системы при достаточно длительном времени её работы. Первым результатом в этом направлении является теорема Пуанкаре о возврате, утверждающая, что почти все точки любого подмножества фазового пространства в конечном итоге возвращаются в это подмножество. Системы, для которых справедлива теорема Пуанкаре о возврате, являются консервативными системами; следовательно, все эргодические системы консервативны. Более точную информацию предоставляют различные эргодические теоремы, которые утверждают, что при определенных условиях временное среднее функции вдоль траекторий существует почти всюду и связано с пространственным средним. Две наиболее важные теоремы принадлежат Биркгоффу (1931) и фон Нейману и утверждают существование временного среднего вдоль каждой траектории. Для особого класса эргодических систем это временное среднее одинаково почти для всех начальных точек: статистически говоря, система, эволюционирующая в течение длительного времени, «забывает» своё начальное состояние. Также широко изучались более сильные свойства, такие как перемешивание и равномерное распределение. Проблема метрической классификации систем является ещё одной важной частью абстрактной эргодической теории. Значительную роль в эргодической теории и её приложениях к стохастическим процессам играют различные понятия энтропии для динамических систем. Понятия эргодичности и эргодической гипотезы являются ключевыми для применения эргодической теории. Основная идея заключается в том, что для определенных систем временное среднее их свойств равно среднему по всему пространству. Применение эргодической теории к другим разделам математики обычно включает установление эргодических свойств для систем специального типа. В геометрии методы эргодической теории использовались для изучения геодезического потока на римановых многообразиях, начиная с результатов Эберхарда Хопфа для римановых поверхностей отрицательной кривизны. Марковские цепи представляют собой распространенный контекст для приложений в теории вероятностей. Эргодическая теория имеет плодотворные связи с гармоническим анализом, теорией Ли (теория представлений, решетки в алгебраических группах) и теорией чисел (теория диофантовых приближений, L-функции).

Branch of mathematics that studies dynamical systems

Ergodic theory is a branch of mathematics that studies statistical properties of deterministic dynamical systems; it is the study of ergodicity. In this context, "statistical properties" refers to properties which are expressed through the behavior of time averages of various functions along trajectories of dynamical systems. The notion of deterministic dynamical systems assumes that the equations determining the dynamics do not contain any random perturbations, noise, etc. Thus, the statistics with which we are concerned are properties of the dynamics. Ergodic theory, like probability theory, is based on general notions of measure theory. Its initial development was motivated by problems of statistical physics. A central concern of ergodic theory is the behavior of a dynamical system when it is allowed to run for a long time. The first result in this direction is the Poincaré recurrence theorem, which claims that almost all points in any subset of the phase space eventually revisit the set. Systems for which the Poincaré recurrence theorem holds are conservative systems; thus all ergodic systems are conservative. More precise information is provided by various ergodic theorems which assert that, under certain conditions, the time average of a function along the trajectories exists almost everywhere and is related to the space average. Two of the most important theorems are those of Birkhoff (1931) and von Neumann which assert the existence of a time average along each trajectory. For the special class of ergodic systems, this time average is the same for almost all initial points: statistically speaking, the system that evolves for a long time "forgets" its initial state. Stronger properties, such as mixing and equidistribution, have also been extensively studied. The problem of metric classification of systems is another important part of the abstract ergodic theory. An outstanding role in ergodic theory and its applications to stochastic processes is played by the various notions of entropy for dynamical systems. The concepts of ergodicity and the ergodic hypothesis are central to applications of ergodic theory. The underlying idea is that for certain systems the time average of their properties is equal to the average over the entire space. Applications of ergodic theory to other parts of mathematics usually involve establishing ergodicity properties for systems of special kind. In geometry, methods of ergodic theory have been used to study the geodesic flow on Riemannian manifolds, starting with the results of Eberhard Hopf for Riemann surfaces of negative curvature. Markov chains form a common context for applications in probability theory. Ergodic theory has fruitful connections with harmonic analysis, Lie theory (representation theory, lattices in algebraic groups), and number theory (the theory of diophantine approximations, L functions).

Примеры

Иррациональное вращение круга R/Z, T: x → x + θ, где θ иррационально, является эргодическим. Это преобразование обладает даже более сильными свойствами: уникальной эргодичностью, минимальностью и равномерным распределением. Напротив, если θ = p/q рационально (в несократимой форме), то T периодично, с периодом q, и, следовательно, не может быть эргодическим: для любого интервала I длиной a, 0 < a < 1/q, его орбита под T (то есть объединение I, T(I), ..., T<sup>q-1</sup>(I), содержащее образ I при любом количестве применений T) является T-инвариантным множеством по модулю 0, которое представляет собой объединение q интервалов длины a, следовательно, его мера равна qa и строго больше 0, но меньше 1. Пусть G — компактная абелева группа, μ — нормализованная мера Гаара, а T — групповой автоморфизм G. Пусть G* — двойственная группа Понтрягина, состоящая из непрерывных характеров G, а T* — соответствующий сопряженный автоморфизм G*. Автоморфизм T эргодичен тогда и только тогда, когда равенство (T*)<sup>n</sup>(χ) = χ возможно только при n = 0 или χ — тривиальный характер G. В частности, если G — n-мерный тор, а автоморфизм T представлен унимодулярной матрицей A, то T эргодичен тогда и только тогда, когда ни одно собственное значение A не является корнем из единицы. Сдвиг Бернулли эргодичен. В более общем случае, эргодичность преобразования сдвига, связанного с последовательностью независимых и одинаково распределенных случайных величин и некоторыми более общими стационарными процессами, следует из закона Колмогорова о нуле и единице. Эргодичность непрерывной динамической системы означает, что ее траектории "распространяются" по фазовому пространству. Система с компактным фазовым пространством, имеющая неконстантный первый интеграл, не может быть эргодичной. Это применимо, в частности, к гамильтоновым системам с первым интегралом I, функционально независимым от функции Гамильтона H, и компактным уровневым множеством X = {(p,q): H(p,q) = E} постоянной энергии. Теорема Лиувилля подразумевает существование конечной инвариантной меры на X, но динамика системы ограничена уровнями I на X, следовательно, система обладает инвариантными множествами положительной, но неполной меры. Свойство непрерывных динамических систем, противоположное эргодичности, — полная интегрируемость.

An irrational rotation of the circle R/Z, T: x → x + θ, where θ is irrational, is ergodic. This transformation has even stronger properties of unique ergodicity, minimality, and equidistribution. By contrast, if θ = p/q is rational (in lowest terms) then T is periodic, with period q, and thus cannot be ergodic: for any interval I of length a, 0 < a < 1/q, its orbit under T (that is, the union of I, T(I), , Tq−1(I), which contains the image of I under any number of applications of T) is a T invariant mod 0 set that is a union of q intervals of length a, hence it has measure qa strictly between 0 and 1. Let G be a compact abelian group, μ the normalized Haar measure, and T a group automorphism of G. Let G* be the Pontryagin dual group, consisting of the continuous characters of G, and T* be the corresponding adjoint automorphism of G*. The automorphism T is ergodic if and only if the equality (T*)n(χ) = χ is possible only when n = 0 or χ is the trivial character of G. In particular, if G is the n dimensional torus and the automorphism T is represented by a unimodular matrix A then T is ergodic if and only if no eigenvalue of A is a root of unity. A Bernoulli shift is ergodic. More generally, ergodicity of the shift transformation associated with a sequence of i. i. d. random variables and some more general stationary processes follows from Kolmogorov's zero–one law. Ergodicity of a continuous dynamical system means that its trajectories "spread around" the phase space. A system with a compact phase space which has a non constant first integral cannot be ergodic. This applies, in particular, to Hamiltonian systems with a first integral I functionally independent from the Hamilton function H and a compact level set X = {(p,q): H(p,q) = E} of constant energy. Liouville's theorem implies the existence of a finite invariant measure on X, but the dynamics of the system is constrained to the level sets of I on X, hence the system possesses invariant sets of positive but less than full measure. A property of continuous dynamical systems that is the opposite of ergodicity is complete integrability.

Сближение эргодических сред в нормах Lp

Пусть (X, Σ, μ) – вероятностное пространство с мерой, сохраняющей преобразование T, и пусть 1 ≤ p ≤ ∞. Условное ожидание относительно под-σ-алгебры ΣT инвариантных множеств T является линейным проектором ET нормы 1 в банаховом пространстве Lp(X, Σ, μ) на его замкнутое подпространство Lp(X, ΣT, μ). Последнее также может быть охарактеризовано как пространство всех T-инвариантных Lp-функций на X. Эргодические средние, рассматриваемые как линейные операторы в Lp(X, Σ, μ), также имеют единичную норму оператора; и, как простое следствие теоремы Бирхоффа — Хинчина, сходятся к проектору ET в сильной операторной топологии Lp, если 1 ≤ p ≤ ∞, и в слабой операторной топологии, если p = ∞. Более того, если 1 < p ≤ ∞, то теорема Винера — Ёсида — Какутани об эргодической сходимости с доминированием утверждает, что эргодические средние функции ƒ ∈ Lp доминируются в Lp; однако, если ƒ ∈ L1, эргодические средние могут не быть эквидоминируемыми в Lp. Наконец, если ƒ принадлежит классу Зигмунда, то есть |ƒ| log⁺(|ƒ|) интегрируема, то эргодические средние даже доминируются в L1.

Время пребывания

Пусть (X, Σ, μ) – пространство с мерой, такое что μ(X) конечно и отлично от нуля. Время, проведенное в измеримом множестве A, называется временем пребывания. Непосредственным следствием эргодической теоремы является то, что в эргодической системе относительная мера множества A равна среднему времени пребывания:

для всех x, за исключением множества меры нуль, где χA – индикаторная функция множества A. Времена попадания измеримого множества A определяются как множество k1, k2, k3, …, времен k, таких что Tk(x) принадлежит A, упорядоченное по возрастанию. Разности между последовательными временами попадания Ri = ki − ki−1 называются временами возвращения в A. Другим следствием эргодической теоремы является то, что среднее время возвращения в A обратно пропорционально мере A, при условии, что начальная точка x принадлежит A, то есть k0 = 0. (См. почти наверное.) Иными словами, чем меньше A, тем больше времени требуется для возвращения в него.

Эргодические потоки на коллекторах

Эргодичность геодезического потока на компактных поверхностях Римана с переменной отрицательной кривизной и на компактных многообразиях с постоянной отрицательной кривизной любого измерения была доказана Эберхардом Хопфом в 1939 году, хотя специальные случаи изучались и ранее: см., например, бильярд Адамара (1898) и бильярд Артина (1924). Связь между геодезическими потоками на поверхностях Римана и однопараметрическими подгруппами на SL(2, R) была описана в 1952 году С. В. Фоминым и И. М. Гельфандом. В статье об аносовских потоках приведен пример эргодических потоков на SL(2, R) и на поверхностях Римана с отрицательной кривизной. Большая часть развития, описанного там, обобщается на гиперболические многообразия, поскольку их можно рассматривать как факторпространства гиперболического пространства по действию решетки в полупростой группе Ли SO(n,1). Эргодичность геодезического потока на римановых симметричных пространствах была установлена Ф. И. Маутнером в 1957 году. В 1967 году Д. В. Аносов и Я. Г. Синай доказали эргодичность геодезического потока на компактных многообразиях с переменной отрицательной сечной кривизной. Простой критерий эргодичности однородного потока на однородном пространстве полупростой группы Ли был дан Кальвином К. Муром в 1966 году. Многие теоремы и результаты из этой области типичны для теории жесткости. В 1930-х годах Г. А. Хедлунд доказал, что хороциклический поток на компактной гиперболической поверхности минимален и эргодичен. Единственная эргодичность потока была установлена Хиллелем Фурстенбергом в 1972 году. Теоремы Ратнера предоставляют существенное обобщение эргодичности для унипотентных потоков на однородных пространствах вида Γ \ G, где G — группа Ли, а Γ — решетка в G. За последние 20 лет было проведено множество работ, направленных на нахождение теоремы классификации мер, аналогичной теоремам Ратнера, но для диагонализируемых действий, что мотивировано гипотезами Фурстенберга и Маргулиса. Важный частный результат (решающий эти гипотезы при дополнительном предположении о положительной энтропии) был доказан Илоном Линденстраусом, за который он был удостоен медали Филдса в 2010 году.

The ergodicity of the geodesic flow on compact Riemann surfaces of variable negative curvature and on compact manifolds of constant negative curvature of any dimension was proved by Eberhard Hopf in 1939, although special cases had been studied earlier: see for example, Hadamard's billiards (1898) and Artin billiard (1924). The relation between geodesic flows on Riemann surfaces and one parameter subgroups on SL(2, R) was described in 1952 by S. V. Fomin and I. M. Gelfand. The article on Anosov flows provides an example of ergodic flows on SL(2, R) and on Riemann surfaces of negative curvature. Much of the development described there generalizes to hyperbolic manifolds, since they can be viewed as quotients of the hyperbolic space by the action of a lattice in the semisimple Lie group SO(n,1). Ergodicity of the geodesic flow on Riemannian symmetric spaces was demonstrated by F. I. Mautner in 1957. In 1967 D. V. Anosov and Ya. G. Sinai proved ergodicity of the geodesic flow on compact manifolds of variable negative sectional curvature. A simple criterion for the ergodicity of a homogeneous flow on a homogeneous space of a semisimple Lie group was given by Calvin C. Moore in 1966. Many of the theorems and results from this area of study are typical of rigidity theory. In the 1930s G. A. Hedlund proved that the horocycle flow on a compact hyperbolic surface is minimal and ergodic. Unique ergodicity of the flow was established by Hillel Furstenberg in 1972. Ratner's theorems provide a major generalization of ergodicity for unipotent flows on the homogeneous spaces of the form Γ \ G, where G is a Lie group and Γ is a lattice in G.

In the last 20 years, there have been many works trying to find a measure classification theorem similar to Ratner's theorems but for diagonalizable actions, motivated by conjectures of Furstenberg and Margulis. An important partial result (solving those conjectures with an extra assumption of positive entropy) was proved by Elon Lindenstrauss, and he was awarded the Fields medal in 2010 for this result.

Исторические ссылки

.
.
.
.
.
.
.
.