Введение

Целое объекта, математически подобное его части

В математике самоподобный объект точно или приблизительно подобен части себя (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей). Многие объекты в реальном мире, такие как береговые линии, статистически самоподобны: их части демонстрируют одни и те же статистические свойства в различных масштабах. Самоподобие – типичное свойство фракталов. Масштабная инвариантность – это точная форма самоподобия, при которой при любом увеличении можно найти меньшую часть объекта, подобную целому. Например, сторона снежинки Коха одновременно симметрична и масштабно инвариантна; её можно непрерывно увеличивать в 3 раза, не меняя форму. Нетривиальное подобие, проявляющееся во фракталах, характеризуется их тонкой структурой, или детализацией в произвольно малых масштабах. В качестве контрпримера, хотя любая часть прямой линии может напоминать целое, дальнейшая детализация не обнаруживается. Явление, развивающееся во времени, считается самоподобным, если числовые значения определённой наблюдаемой величины, измеренные в разные моменты времени, различны, но соответствующие безразмерные величины при заданном значении остаются инвариантными. Это происходит, если величина демонстрирует динамическое масштабирование. Эта идея является просто расширением идеи подобия двух треугольников. Следует отметить, что два треугольника подобны, если числовые значения их сторон различны, однако соответствующие безразмерные величины, такие как их углы, совпадают. Пейтген и др. объясняют эту концепцию следующим образом:

Поскольку математически фрактал может проявлять самоподобие при неопределённом увеличении, физически воссоздать это невозможно. Пейтген и др. предлагают изучать самоподобие, используя приближения:

Этот термин был введён Бенуа Мандельбротом в 1964 году.

Самопривязанность

В математике, самоподобие является характеристикой фрактала, части которого масштабируются с разными коэффициентами по осям x и y. Это означает, что для выявления самоподобия этих фрактальных объектов требуется их перемасштабирование с использованием анизотропного аффинного преобразования.

Примеры

Набор Мандельброта также обладает самоподобием в окрестностях точек Мисюревича. Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик демонстрирует самоподобные свойства. Например, в инженерии телетрафика, паттерны трафика данных с коммутацией пакетов статистически кажутся самоподобными. Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона, неточны, и сети, разработанные без учета самоподобия, вероятно, будут работать непредсказуемо. Аналогично, движения на фондовом рынке описываются как демонстрирующие самоаффинность, то есть они кажутся самоподобными при преобразовании посредством соответствующего аффинного преобразования для заданного уровня детализации. Эндрю Ло описывает самоподобие логарифмической доходности фондового рынка в эконометрике. Правила конечного деления – мощный метод построения самоподобных множеств, включая множество Кантора и треугольник Серпинского.

В кибернетике

Модель жизнеспособной системы Стаффорда Бира – это организационная модель с аффинной самоподобной иерархией, где данная жизнеспособная система является одним из элементов Системы Один жизнеспособной системы следующего, более высокого рекурсивного уровня, а элементы её Системы Один, в свою очередь, представляют собой жизнеспособные системы следующего, более низкого рекурсивного уровня.

В природе

Самоподобство встречается и в природе. Справа представлено математически сгенерированное, идеально самоподобное изображение папоротника, которое сильно напоминает настоящие папоротники. Другие растения, например, брокколи Романеско, проявляют выраженное самоподобие.

В музыке

Строгие каноны демонстрируют различные типы и степени самоподобия, как и части фуг. Тон Шепарда самоподобен в частотной или волновой областях. Датский композитор Пер Норгард использовал в своей музыке самоподобную последовательность целых чисел, названную «серией бесконечности». В области информационного поиска в музыке самоподобие обычно относится к тому факту, что музыка часто состоит из повторяющихся во времени фрагментов. Иными словами, музыка самоподобна при временном сдвиге, а не (или в дополнение к) при масштабировании.