Кіріспе
Шектеулі нүктелер саны бар геометриялық жүйе
Шектеулі геометрия – нүктелер саны шекті болатын кез келген геометриялық жүйе. Көнерік Евклид геометриясы шектеулі емес, себебі Евклид түзуінде шексіз көп нүктелер болады. Компьютер экранында көрсетілетін графикалық бейнеге негізделген геометрия, онда пиксельдер нүктелер ретінде қарастырылады, шектеулі геометрия болып табылады. Шектеулі геометрия деп аталатын көптеген жүйелер бар, бірақ олардың реттелігі мен қарапайымдылығы үшін көбінесе шектеулі проективтік және аффиндік кеңістіктерге назар аударылады. Шектеулі геометрияның басқа маңызды түрлері – шектеулі Мёбиус немесе инверсивті жазықтықтар және Лагерр жазықтықтары, олар Бенц жазықтықтары деп аталатын жалпы типтің мысалдары, сондай-ақ олардың жоғары өлшемді аналогтары, мысалы жоғары шектеулі инверсивті геометриялар. Шектеулі геометриялар сызықтық алгебра арқылы құрылуы мүмкін, шектеулі өріс үстіндегі векторлық кеңістіктерден бастап; осылайша құрылған аффиндік және проективтік жазықтықтар Галуа геометриялары деп аталады. Шектеулі геометриялар таза аксиоматикалық түрде де анықталуы мүмкін. Ең көп таралған шектеулі геометриялар – Галуа геометриялары, өйткені үш немесе одан жоғары өлшемді кез келген шектеулі проективтік кеңістік шектеулі өріс үстіндегі проективтік кеңістікке изоморфты (яғни шектеулі өріс үстіндегі векторлық кеңістіктің проекциясы). Дегенмен, екінші өлшемде Галуа геометриясына изоморфты емес аффиндік және проективтік жазықтықтар бар, атап айтқанда, Дезарг емес жазықтықтар. Осыған ұқсас нәтижелер шектеулі геометрияның басқа түрлері үшін де қолданылады.
Шекті жазықтық
Келесі ескертулер тек шекті жазықтықтарға қатысты. Шекті жазықтық геометриясының екі негізгі түрі бар: аффиндік және проективтік. Аффиндік жазықтықта параллель түзулердің әдеттегі түсінігі қолданылады. Ал проективтік жазықтықта, керісінше, кез келген екі түзу бір ғана нүктеде қиылысады, сондықтан параллель түзулер болмайды. Екі шекті аффиндік жазықтық геометриясы да, шекті проективтік жазықтық геометриясы да салыстырмалы түрде қарапайым аксиомалармен сипатталуы мүмкін.
Тарих
Жеке мысалдарды Томас Пенингтон Киркманның (1847) еңбегінде және фон Стаудттың (1856) шекті проективті геометрияның жүйелі дамуында кездестіруге болады. Шекті проективті геометрияның алғашқы аксиоматикалық қарастырылысын итальяндық математик Джинно Фано жасаған. Ол өзі әзірлеген проективті n кеңістік үшін аксиомалар жиынтығының тәуелсіздігін дәлелдеу жұмысында 15 нүктесі, 35 түзуі және 15 жазықтығы бар шекті үш өлшемді кеңістікті қарастырды (суретті қараңыз), онда әрбір түзуде тек үш нүкте болды. 1906 жылы Освальд Веблен мен В. Х. Бусси Галуа өрісі GF(q)-дан алынған біртекті координаттарды қолдана отырып, проективті геометрияны сипаттады. n + 1 координата қолданылғанда, n өлшемді шекті геометрия PG(n, q) деп белгіленеді. Ол синтетикалық геометрияда туындайды және оған сәйкес трансформациялар тобы бар.
3 немесе одан да көп өлшемді шекті кеңістіктер
Шекті жазықтық геометриясы мен жоғары өлшемді шекті кеңістіктердің геометриясы арасындағы кейбір маңызды айырмашылықтарды аксиоматикалық проективті кеңістікте қарастырылған. Жоғары өлшемді шекті кеңістіктерді жалпы тұрғысынан қарастыру үшін, мысалы, J. W. P. Hirschfeld-тің еңбектерін қараңыз. Осы жоғары өлшемді кеңістіктерді (n ≥ 3) зерттеудің математиканың жоғары деңгейдегі теорияларында маңызды қолданыстары көп.
Геометриялық өлшем бойынша шекті проекциялық кеңістіктердің жіктелуі
0 өлшем (сызықсыз): Кеңістік – жалғыз нүкте және оның дегенерациясы соншалық, әдетте назарға алынбайды. 1 өлшем (бір ғана түзу): Барлық нүктелер бірегей түзуде жатыр, ол проективті түзу деп аталады. 2 өлшем: Кем дегенде 2 түзу бар, және кез келген екі түзу қиылысады. n=1=2 үшін проективті кеңістік проективті жазықтық болып табылады. Оларды жіктеу әлдеқайда қиын, себебі олардың барлығы PG(d, q) -мен изоморфты емес. Десаргес жазықтықтары (PG(2, q) -мен изоморфты жазықтықтар) Десаргес теоремасын қанағаттандырады және шекті өрістердегі проективті жазықтықтар болып табылады, бірақ Десаргеске бағынбаған көптеген жазықтықтар бар. Кем дегенде 3 өлшем: Қиылыспайтын екі түзу бар. Веблен–Янг теоремасы шекті жағдайда, геометриялық өлшемі n ≥ 3 болатын әрбір проективті кеңістік, белгілі бір шекті өріс GF(q) үстіндегі n өлшемді проективті кеңістік PG(n, q) -мен изоморфты екенін айтады.
Ең кішкентай проективті үш кеңістік
Ең кіші 3 өлшемді проекциялық кеңістік GF(2) өрісінде құрылады және PG(3,2) деп белгіленеді. Онда 15 нүкте, 35 түзу және 15 жазықтық бар. Әрбір жазықтықта 7 нүкте және 7 түзу болады. Әрбір түзуде 3 нүкте орналасқан. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл жазықтықтар Фано жазықтығымен изоморфты. Кез келген нүкте 7 түзуге тиесілі. Кез келген екі әртүрлі нүкте тек бір түзуде жатады, ал кез келген екі әртүрлі жазықтық тек бір түзуде қиылысады. 1892 жылы Джино Фано мұндай шекті геометрияны алғаш рет қарастырды.
Киркманның оқушы қыз проблемасы
PG(3,2) Киркманның оқушы қыздар мәселесін шешу үшін негіз болып табылады, ол былай қойылады: "Он бес оқушы қыз күн сайын үштен бес топқа бөлініп серуендейді. Қыздардың серуендеуін бір аптаға сондай етіп жоспарлаңыз, осы уақыт ішінде әр қыз жұбы бір рет қана бір топта серуендесін". Қыздардың бірге серуендеуінің 35 түрлі комбинациясы бар. Сондай-ақ, аптаның 7 күні және әр топта 3 қыз бар. Бұл мәселенің жеті изоморф емес шешімінің екеуі Fano 3 кеңістігіндегі PG(3,2) деп аталатын құрылымдар арқылы сипатталуы мүмкін. Проективті кеңістіктің таралуы – оның нүктелерін қиылыспайтын түзулерге бөлу, ал қаптама – түзулерді қиылыспайтын таралуларға бөлу. PG(3,2)-де таралу 15 нүктені 5 қиылыспайтын түзуге бөлу болар еді (әр түзуде 3 нүктеден), бұл белгілі бір күні оқушы қыздардың орналасуына сәйкес келеді. PG(3,2) қаптамасы жеті қиылыспайтын таралудан тұрады, демек, толық апталық жоспарламаға сәйкес келеді.