Введение
Геометрическая система с конечным числом точек
Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая только конечное число точек. Привычная евклидова геометрия не является конечной, поскольку евклидова прямая содержит бесконечно много точек. Геометрия, основанная на графике, отображаемой на экране компьютера, где пиксели рассматриваются как точки, будет являться конечной геометрией. Хотя существует множество систем, которые можно назвать конечными геометриями, основное внимание уделяется конечным проективным и аффинным пространствам благодаря их регулярности и простоте. Другими значимыми типами конечных геометрий являются конечные плоскости Мёбиуса (или инверсивные плоскости) и плоскости Лагерра, которые являются примерами общего типа, называемого плоскостями Бенца, и их более высокомерными аналогами, такими как более высокие конечные инверсивные геометрии. Конечные геометрии могут быть построены с помощью линейной алгебры, начиная с векторных пространств над конечным полем; аффинные и проективные плоскости, построенные таким образом, называются геометриями Галуа. Конечные геометрии также могут быть определены исключительно аксиоматически. Наиболее распространёнными конечными геометриями являются геометрии Галуа, поскольку любое конечное проективное пространство размерности три или выше изоморфно проективному пространству над конечным полем (то есть проективизации векторного пространства над конечным полем). Однако в размерности два существуют аффинные и проективные плоскости, не изоморфные геометриям Галуа, а именно недезаргезианские плоскости. Аналогичные результаты справедливы и для других видов конечных геометрий.
Конечные плоскости
Следующие замечания относятся только к конечным плоскостям. Существует два основных типа геометрии конечных плоскостей: аффинная и проективная. В аффинной плоскости действует привычное понимание параллельных прямых. В проективной плоскости, напротив, любые две прямые пересекаются в единственной точке, поэтому параллельные прямые не существуют. Как конечная аффинная плоская геометрия, так и конечная проективная плоская геометрия могут быть описаны достаточно простыми аксиомами.
История
Отдельные примеры можно найти в работе Томаса Пенингтона Киркмана (1847) и систематическом развитии конечной проективной геометрии, представленном фон Стаудтом (1856). Первое аксиоматическое изложение конечной проективной геометрии было разработано итальянским математиком Джино Фано. В своей работе по доказательству независимости набора аксиом для проективного n-пространства, которое он разработал, он рассмотрел конечное трехмерное пространство с 15 точками, 35 прямыми и 15 плоскостями (см. диаграмму), в котором каждая прямая содержала только три точки. В 1906 году Освальд Веблен и В. Х. Бусси описали проективную геометрию, используя однородные координаты с элементами из поля Галуа GF(q). При использовании n + 1 координат, n-мерная конечная геометрия обозначается PG(n, q). Она возникает в синтетической геометрии и имеет связанную с ней группу преобразований.
Определенные пространства с тремя или более измерениями
Для некоторых важных различий между конечной планиметрией и геометрией конечных пространств более высокой размерности см. аксиоматическое проективное пространство. Обсуждение конечных пространств более высокой размерности в целом можно найти, например, в работах Дж. В. П. Хиршфельда. Изучение этих пространств с более высокой размерностью (n ≥ 3) имеет множество важных приложений в продвинутых математических теориях.
Классификация конечных проективных пространств по геометрическим измерениям
Размер 0 (без линий): пространство представляет собой одну точку и настолько вырождено, что обычно его игнорируют. Размер 1 (ровно одна линия): все точки лежат на единственной линии, называемой проективной линией. Размер 2: существует по крайней мере 2 линии, и любые две линии пересекаются. Проективное пространство для n = 2 является проективной плоскостью. Их гораздо сложнее классифицировать, поскольку не все они изоморфны PG(d, q). Десаргуесовские плоскости (те, что изоморфны PG(2, q)) удовлетворяют теореме Дезарга и являются проективными плоскостями над конечными полями, но существует множество недесаргуесовских плоскостей. Размер не менее 3: существуют две непересекающиеся линии. Теорема Веблена — Янга утверждает в конечном случае, что каждое проективное пространство геометрической размерности n ≥ 3 изоморфно PG(n, q), n-мерному проективному пространству над некоторым конечным полем GF(q).
Самый маленький проективный трехпространство
Наименьшее трехмерное проективное пространство построено над полем GF(2) и обозначается PG(3,2). Оно содержит 15 точек, 35 прямых и 15 плоскостей. Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 прямых. Каждая прямая содержит 3 точки. С точки зрения геометрии, эти плоскости изоморфны плоскости Фано. Каждая точка лежит на 7 прямых. Каждая пара различных точек лежит на ровно одной прямой, и каждая пара различных плоскостей пересекается по ровно одной прямой. В 1892 году Джино Фано впервые рассмотрел такую конечную геометрию.
Проблема школьницы Киркмана
PG(3,2) возникает как основа для решения проблемы школьниц Киркмана, которая формулируется следующим образом: "Пятнадцать школьниц ежедневно гуляют пятью группами по три. Необходимо составить расписание прогулок на неделю так, чтобы каждая пара школьниц гуляла вместе в одной группе ровно один раз". Существует 35 различных комбинаций для совместных прогулок школьниц. Также имеется 7 дней в неделе и по 3 школьницы в каждой группе. Два из семи неизоморфных решений этой задачи могут быть выражены в терминах структур в пространстве Фано 3, PG(3,2), известных как упаковки. Распространение проективного пространства – это разбиение его точек на непересекающиеся прямые, а упаковка – разбиение прямых на непересекающиеся распространения. В PG(3,2) распространение представляет собой разбиение 15 точек на 5 непересекающихся прямых (по 3 точки на каждой прямой), что соответствует расположению школьниц в конкретный день. Упаковка PG(3,2) состоит из семи непересекающихся распространений и, следовательно, соответствует полному недельному расписанию.