Векторлық кеңістіктердің сақиналарға қатысты жалпыламасы

Кіріспе

Векторлық кеңістіктерді өрістерден сақиналарға жалпылау

Математикада модуль – скалярлар өрісі сақинамен алмастырылған векторлық кеңістік түсінігінің жалпылауы болып табылады. Модуль ұғымы сондай-ақ абель тобы ұғымын жалпылайды, себебі абель тобы – бүтін сандар сақинасы бойынша модульдердің өзі. Векторлық кеңістік сияқты, модуль де аддитивті абель тобы болып табылады, ал скалярлық көбейту сақинаның немесе модульдің элементтері арасындағы қосу операцияларына қатысты үлестірімділік қағидасын сақтайды және сақиналық көбейтумен үйлесімді. Модульдер топтардың өрнектеу теориясымен тығыз байланысты. Олар коммутативтік алгебра және гомологиялық алгебраның орталық ұғымдарының бірі болып табылады және алгебралық геометрия мен алгебралық топологияда кеңінен қолданылады.

Мотивация

Векторлық кеңістікте скалярлар жиыны өріс болып табылады және белгілі бір аксиомаларға, мысалы, үлестіру заңына сәйкес скалярлық көбейту арқылы векторларға әсер етеді. Модульде скалярлар тек сақина болуы керек, сондықтан модуль тұжырымдамасы маңызды жалпылауды білдіреді. Коммутативтік алгебрада идеалдар мен бөлу сақиналары да модульдер болып табылады, сондықтан идеалдар немесе бөлу сақиналары туралы көптеген дәлелдерді модульдер туралы бір дәлелге біріктіруге болады. Коммутативті емес алгебрада сол жақ идеалдар, идеалдар және модульдер арасындағы айырмашылық көбірек байқалады, бірақ кейбір сақиналық теориялық шарттар сол жақ идеалдар немесе сол жақ модульдер туралы айтылуы мүмкін. Модульдер теориясының көп бөлігі векторлық кеңістіктердің қажетті қасиеттерін мүмкіндігінше көптеп, "жақсы мінез-құлықты" сақина, мысалы, негізгі идеалдық домен арқылы модульдер саласына кеңейтуден тұрады. Дегенмен, модульдер векторлық кеңістіктерге қарағанда әлдеқайда күрделі болуы мүмкін; мысалы, барлық модульдердің негізі бола бермейді, тіпті (еркін модульдер үшін) негіздегі элементтер саны барлық негіздерде бірдей болуы міндетті емес (яғни, олардың бірегей ранги болуы мүмкін емес), егер негізгі сақина инвариантты негіз саны шартын қанағаттандырмаса, векторлық кеңістіктерге қарағанда, әрқашан (мүмкін шексіз) негізі болады, оның кардиналдылығы бірегей. (Соңғы екі тұжырым жалпы алғанда таңдау аксиомасын қажет етеді, бірақ шекті өлшемді векторлық кеңістіктерде немесе Lp кеңістіктері сияқты белгілі бір жақсы мінез-құлықты шексіз өлшемді векторлық кеңістіктерде қажет емес.)

Мысалдар

Егер K өріс болса, онда K векторлық кеңістіктері (K үстіндегі векторлық кеңістіктер) және K модульдері бірдей. Егер K өріс болса, ал K[x] – бір айнымалы полином сақинасы болса, онда K[x] модулі M – бұл K модулі, сонымен қатар x әрекетімен қосымша әрекет етеді, бұл K-ның M-ге қатысты әрекетімен коммутациялайтын топтық гомоморфизм. Басқаша айтқанда, K[x] модулі – бұл K векторлық кеңістігі M, M-ден M-ге жүзеге асырылатын сызықтық түрлендірумен біріктірілген. Бұл мысалда шекті түрде жасалған модульдер үшін негізгі идеалдық домендегі құрылым теоремасын қолдану, рационалды және Жордан канондық түрлерінің бар екенін көрсетеді. Z модулінің түсінігі Абель тобының түсінігімен сәйкес келеді. Яғни, кез келген Абель тобы Z бүтін сандарының сақинасының модулі болып табылады, бірегей тәсілмен. n > 0 үшін 1=n ⋅ x = x + x + … + x (n қосылғыш), 1=0 ⋅ x = 0 және 1=(−n) ⋅ x = −(n ⋅ x). Мұндай модульде міндетті түрде негіз болуы қажет емес – бұралу элементтері бар топтарда жоқ. (Мысалы, 3-ке модульдік арифметика тобында сызықтық тәуелсіз жиынның анықтамасын қанағаттандыратын тіпті бір элементті де табу мүмкін емес, себебі 3 немесе 6 сияқты бүтін сан элементті көбейткенде, нәтиже 0 болады. Дегенмен, егер шекті өріс сол шекті өрістің сақина ретінде алынған модулі ретінде қарастырылса, онда ол векторлық кеңістік болып табылады және негізі бар.) Ондық бөлшектер (теріс бөлшектерді қоса алғанда) бүтін сандар үстінде модуль құрайды. Тек бір элементті жиынтар ғана сызықтық тәуелсіз жиынды құрайды, бірақ негіз ретінде қызмет ететін бір элементті жиын жоқ, сондықтан модульде негіз де, дәреже де жоқ. Егер R кез келген сақина болса және n – табиғи сан болса, онда Rn карталық көбейтіндісі R-дің сол және оң модулі болып табылады, егер компоненттік амалдар қолданылса. Сондықтан, егер 1=n = 1 болса, R – R модулі болып табылады, онда скалярлық көбейту – сақиналық көбейту. 1=n = 0 жағдайы тек өзінің бірлік элементінен тұратын тривиалды R модулін {0} береді. Мұндай модульдер бос модульдер деп аталады, және егер R-де инвариантты негіз саны болса (мысалы, кез келген коммутативті сақина немесе өріс), онда n саны бос модульдің рангі болып табылады. Егер Mn(R) – R сақинасындағы n × n матрицалардың сақинасы болса, M – Mn(R) модулі болса және ei – (i, i) жазылымында 1 бар (ал қалғандары нөлдер) n × n матрицасы болса, онда eiM – R модулі, себебі 1=reim = eirm ∈ eiM. Осылайша M – R модульдерінің тікелей қосындысы ретінде жіктеледі, 1=M = e1M ⊕ ⊕ enM. Керісінше, егер R модулі M0 берілген болса, онда M0⊕n – Mn(R) модулі болады. Шындығында, R модульдер санаты мен Mn(R) модульдер санаты эквивалентті. Арнайы жағдай – модуль M өзінің модулі ретінде қарастырылса, онда Rn – Mn(R) модулі болады. Оң R модульдерінің жағдайы ұқсас. Атап айтқанда, егер R коммутативті болса, онда R модульдік гомоморфизмдер жиыны h: M → N (төменде қараңыз) – R модулі (және NM субмодулі). Егер X – тегіс көптік болса, онда X-тен нақты сандарға дейінгі тегіс функциялар C∞(X сақинасын құрайды. X-те анықталған барлық тегіс векторлық өрістер жиыны C∞(X) үстінде модуль құрайды, сондай-ақ тензорлық өрістер мен X-тегі дифференциалдық формалар да. Жалпы алғанда, кез келген векторлық шоғырдың қималары C∞(X) үстінде проективті модуль құрайды, ал Сван теоремасы бойынша, әрбір проективті модуль кейбір векторлық шоғырдың қималары модуліне изоморфты; C∞(X) модульдер санаты және X үстіндегі векторлық шоғырлар санаты эквивалентті. Егер R кез келген сақина болса және I – R-дің кез келген сол жақ идеалы болса, онда I – R-дің сол жақ модулі болады, ал R-дегі оң жақ идеалдар – R-дің оң жақ модулі болады. Егер R сақина болса, онда оның қарама-қарсы сақинасы Rop-ты анықтауға болады, ол бірдей негізгі жиынға және бірдей қосылу амалына ие, бірақ қарама-қарсы көбейтуге: егер 1=ab = c R-де болса, онда 1=ba = c Rop-та. Кез келген сол R модулі M-ді Rop-тың оң модулі ретінде қарастыруға болады, ал R-дің оң модулін Rop-тың сол модулі ретінде қарастыруға болады. Ли алгебрасының модульдері – оның әмбебап орауыш алгебрасының модульдері (ассоциативтік алгебра). Егер R және S – φ: R → S сақина гомоморфизмі бар сақиналар болса, онда әрбір S модулі M – 1=rm = φ(r)m деп анықталған R модулі болады. Атап айтқанда, S өзі осындай R модулі болып табылады.

If K is a field, then K vector spaces (vector spaces over K) and K modules are identical. If K is a field, and K[x] a univariate polynomial ring, then a K[x] module M is a K module with an additional action of x on M by a group homomorphism that commutes with the action of K on M. In other words, a K[x] module is a K vector space M combined with a linear map from M to M. Applying the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain to this example shows the existence of the rational and Jordan canonical forms. The concept of a Z module agrees with the notion of an abelian group. That is, every abelian group is a module over the ring of integers Z in a unique way. For n > 0, let 1=n ⋅ x = x + x + + x (n summands), 1=0 ⋅ x = 0, and 1=(−n) ⋅ x = −(n ⋅ x). Such a module need not have a basis—groups containing torsion elements do not. (For example, in the group of integers modulo 3, one cannot find even one element that satisfies the definition of a linearly independent set, since when an integer such as 3 or 6 multiplies an element, the result is 0. However, if a finite field is considered as a module over the same finite field taken as a ring, it is a vector space and does have a basis.) The decimal fractions (including negative ones) form a module over the integers. Only singletons are linearly independent sets, but there is no singleton that can serve as a basis, so the module has no basis and no rank. If R is any ring and n a natural number, then the cartesian product Rn is both a left and right R module over R if we use the component wise operations. Hence when 1=n = 1, R is an R module, where the scalar multiplication is just ring multiplication. The case 1=n = 0 yields the trivial R module {0} consisting only of its identity element. Modules of this type are called free and if R has invariant basis number (e. g. any commutative ring or field) the number n is then the rank of the free module. If Mn(R) is the ring of n × n matrices over a ring R, M is an Mn(R) module, and ei is the n × n matrix with 1 in the (i, i) entry (and zeros elsewhere), then eiM is an R module, since 1=reim = eirm ∈ eiM. So M breaks up as the direct sum of R modules, 1=M = e1M ⊕ ⊕ enM. Conversely, given an R module M0, then M0⊕n is an Mn(R) module. In fact, the category of R modules and the category of Mn(R) modules are equivalent. The special case is that the module M is just R as a module over itself, then Rn is an Mn(R) module. If S is a nonempty set, M is a left R module, and MS is the collection of all functions f : S → M, then with addition and scalar multiplication in MS defined pointwise by 1=(f + g)(s) = f(s) + g(s) and 1=(rf)(s) = rf(s), MS is a left R module. The right R module case is analogous. In particular, if R is commutative then the collection of R module homomorphisms h : M → N (see below) is an R module (and in fact a submodule of NM). If X is a smooth manifold, then the smooth functions from X to the real numbers form a ring C∞(X). The set of all smooth vector fields defined on X form a module over C∞(X), and so do the tensor fields and the differential forms on X. More generally, the sections of any vector bundle form a projective module over C∞(X), and by Swan's theorem, every projective module is isomorphic to the module of sections of some vector bundle; the category of C∞(X) modules and the category of vector bundles over X are equivalent. If R is any ring and I is any left ideal in R, then I is a left R module, and analogously right ideals in R are right R modules. If R is a ring, we can define the opposite ring Rop, which has the same underlying set and the same addition operation, but the opposite multiplication: if 1=ab = c in R, then 1=ba = c in Rop. Any left R module M can then be seen to be a right module over Rop, and any right module over R can be considered a left module over Rop. Modules over a Lie algebra are (associative algebra) modules over its universal enveloping algebra. If R and S are rings with a ring homomorphism φ : R → S, then every S module M is an R module by defining 1=rm = φ(r)m. In particular, S itself is such an R module.

Модульдер түрлері

Шектеулі түрде жасалған R модулі M, егер M-де x1, ..., xn элементтері болса, онда шектеулі түрде жасалған болып есептеледі, яғни M-нің кез келген элементі R сақинасының коэффициенттерімен осы элементтердің сызықтық комбинациясы болып табылады. Циклдік модуль A модулі бір элемент арқылы жасалса, циклдік модуль деп аталады. Еркін модуль Еркін R модулі – негізі бар модуль, немесе эквивалентті түрде, R сақинасының көшірмелерінің тікелей қосындысына изоморфты. Бұл модульдер векторлық кеңістіктерге өте ұқсас. Проективтік модульдер Проективтік модульдер – еркін модульдердің тікелей қосындысы және олардың көптеген қалаулы қасиеттерін бөліседі. Инъективтік модульдер Инъективтік модульдер проективтік модульдерге қарама-қарсы анықталады. Жазық модуль A модулі жазық деп аталады, егер оның R модульдерінің кез келген дәл тізбегімен тензорлық көбейтіндісі дәлдікті сақтаса. Торсиясыз модуль Модуль алгебралық дуалына енгізілсе, торсиясыз деп аталады. Жасыраулы модуль Жасыраулы модуль S – {0} емес модуль, оның жалғыз субмодульдері {0} және S болып табылады. Жасыраулы модульдер кейде ирредуктивті деп те аталады. Жартылай жасыраулы модуль Жартылай жасыраулы модуль – жасыраулы модульдердің тікелей қосындысы (шектелген немесе шектелмеген). Тарихи тұрғыдан бұл модульдер толық редуктивті деп те аталады. Бөлінбес модуль Бөлінбес модуль – нөлдік емес модуль, оны нөлдік емес екі субмодульдің тікелей қосындысы ретінде жазуға болмайды. Кез келген жасыраулы модуль бөлінбес, бірақ бөлінбес, бірақ жасыраулы емес модульдер де бар (мысалы, біртекті модульдер). Адал модуль Адал модуль M – R-дегі әрбір r ≠ 0 үшін M-ге әсері тривиальді емес (яғни, M-дегі кейбір x үшін r ⋅ x ≠ 0). М-нің аннигиляторы нөлдік идеалға тең. Торсиясыз модуль Торсиясыз модуль – сақинадағы модуль, онда 0 сақинаның тұрақты элементі (нөлдік емес бөлгіші) жоятын жалғыз элемент, яғни 1=rm = 0 болса, 1=r = 0 немесе 1=m = 0. Нотерлік модуль Нотерлік модуль – субмодульдердегі өсу тізбегі шартын қанағаттандыратын модуль, яғни субмодульдердің кез келген өсу тізбегі шекті санда қадамдардан кейін тұрақты болады. Эквивалентті түрде, кез келген субмодуль шектеулі түрде жасалған. Артиндық модуль Артиндық модуль – субмодульдердегі кему тізбегі шартын қанағаттандыратын модуль, яғни субмодульдердің кез келген кему тізбегі шекті санда қадамдардан кейін тұрақты болады. Градиенттік модуль Градиенттік модуль – барлық x және y үшін RxMy ⊆ Mx+y болатындай, сыныпталған сақина бойынша тікелей қосынды ретінде ыдырайтын модуль. Біртекті модуль Біртекті модуль – кез келген екі нөлдік емес субмодульдің нөлдік емес қиылысы бар модуль.

Finitely generated An R module M is finitely generated if there exist finitely many elements x1, , xn in M such that every element of M is a linear combination of those elements with coefficients from the ring R.
Cyclic A module is called a cyclic module if it is generated by one element. Free A free R module is a module that has a basis, or equivalently, one that is isomorphic to a direct sum of copies of the ring R. These are the modules that behave very much like vector spaces. Projective Projective modules are direct summands of free modules and share many of their desirable properties. Injective Injective modules are defined dually to projective modules. Flat A module is called flat if taking the tensor product of it with any exact sequence of R modules preserves exactness. Torsionless A module is called torsionless if it embeds into its algebraic dual. Simple A simple module S is a module that is not {0} and whose only submodules are {0} and S. Simple modules are sometimes called irreducible. Semisimple A semisimple module is a direct sum (finite or not) of simple modules. Historically these modules are also called completely reducible. Indecomposable An indecomposable module is a non zero module that cannot be written as a direct sum of two non zero submodules. Every simple module is indecomposable, but there are indecomposable modules that are not simple (e. g. uniform modules). Faithful A faithful module M is one where the action of each r ≠ 0 in R on M is nontrivial (i. e. r ⋅ x ≠ 0 for some x in M). Equivalently, the annihilator of M is the zero ideal. Torsion free A torsion free module is a module over a ring such that 0 is the only element annihilated by a regular element (non zero divisor) of the ring, equivalently 1=rm = 0 implies 1=r = 0 or 1=m = 0. Noetherian A Noetherian module is a module that satisfies the ascending chain condition on submodules, that is, every increasing chain of submodules becomes stationary after finitely many steps. Equivalently, every submodule is finitely generated. Artinian An Artinian module is a module that satisfies the descending chain condition on submodules, that is, every decreasing chain of submodules becomes stationary after finitely many steps. Graded A graded module is a module with a decomposition as a direct sum over a graded ring such that RxMy ⊆ Mx+y for all x and y. Uniform A uniform module is a module in which all pairs of nonzero submodules have nonzero intersection.

Өкілдік теориясымен байланысы

G тобының k өрістегі бейнеленуі k[G] топтық сақинасы үстіндегі модуль болып табылады. Егер M сол R модуль болса, онда R элементінің әрекеті – M-нің әрбір x-ін rx-ке (немесе оң модуль болған жағдайда xr-ге) жіберу болып табылады және бұл міндетті түрде Абель тобының (M, +) топтық эндоморфизмі болып табылады. M-нің барлық топтық эндоморфизмдерінің жиынтығы EndZ(M) деп белгіленеді және қосу мен композиция арқылы сақина құрайды. R сақинасының r элементін оның әрекетіне жіберу R-ден EndZ(M) сақиналық гомоморфизмін анықтайды. Мұндай сақиналық гомоморфизм R → EndZ(M) – R-дің Абель тобы M үстіндегі бейнеленуі деп аталады; сол R модульдерін анықтаудың тағы бір баламалы тәсілі – сол R модуль Абель тобы M және оның үстіндегі R-дің бейнеленуі болып табылады. Мұндай R → EndZ(M) бейнеленуін R-дің M-ге қатысты әрекеті деп те атауға болады. Бейнелену адал деп аталады, егер және тек қана R → EndZ(M) картасы инъективті болса. Модульдер тұрғысынан алғанда, егер r R элементі болса және барлық x ∈ M үшін 1=rx = 0 болса, онда 1=r = 0. Кез келген Абель тобы бүтін сандар немесе n модулі бойынша бүтін сандар сақинасы Z/nZ үстінде адал модуль болып табылады.

Жалпылау

R сақинасы бір ғана объектісі бар R категориясының преаддитивтілігімен сәйкес келеді. Осы түсінік бойынша, сол R модульдері – R-ден Абель топтарының Ab санатына дейінгі ковариантты аддитивті функторлар, ал оң R модульдері – контравариантты аддитивті функторлар. Бұл, егер C кез келген преаддитивті категория болса, C-ден Ab санатына дейінгі ковариантты аддитивті функторды C-ге қатысты жалпыланған сол модуль деп қарастыру қажеттігін көрсетеді. Бұл функторлар C Mod функторлық санатын құрайды, ол R Mod модульдер санатының табиғи жалпылануы болып табылады. Коммутативті сақиналардағы модульдерді басқа бағытта да жалпылауға болады: сақиналы кеңістік (X, OX) алып, OX модульдерінің қаптамаларын қарастырыңыз (модульдер қаптамасын қараңыз). Олар OX Mod санатын құрайды және қазіргі алгебралық геометрияда маңызды рөл атқарады. Егер X тек бір нүктеден тұрса, онда бұл OX(X) коммутативті сақинасы бойынша ескі мағынадағы модульдер санаты болады. Жартылай шеңберлерде де модульдерді қарастыруға болады. Сақиналар үстіндегі модульдер – Абельдік топтар, бірақ жартылай шеңберлер үстіндегі модульдер – тек коммутативті моноидтар. Модульдердің көптеген қолданыстары бұрынғысынша мүмкін. Атап айтқанда, кез келген S жартылай шеңбері үшін S үстіндегі матрицалар S элементтерінің тізбектері модуль болатын жартылай шеңбер құрайды (тек осы жалпыланған мағынада). Бұл теориялық компьютерлік ғылымнан алынған жартылай шеңберлерді қамтитын векторлық кеңістік ұғымын одан әрі жалпылауға мүмкіндік береді. Жақын сақиналар үстінде жақын сақина модульдерін қарастыруға болады, бұл модульдердің абелдік емес жалпылануы.