Обобщение векторных пространств на кольца

Введение

Обобщение векторных пространств от полей к кольцам

В математике модуль — это обобщение понятия векторного пространства, в котором поле скаляров заменяется кольцом. Понятие модуля также обобщает понятие абелевой группы, поскольку абелевы группы являются как раз модулями над кольцом целых чисел. Как и векторное пространство, модуль является аддитивной абелевой группой, а скалярное умножение дистрибутивно относительно операций сложения элементов кольца или модуля и согласовано с умножением в кольце. Модули тесно связаны с теорией представлений групп. Они также являются одним из центральных понятий коммутативной и гомологической алгебры и широко используются в алгебраической геометрии и алгебраической топологии.

Мотивация

В векторном пространстве множество скаляров является полем и действует на векторы посредством скалярного умножения, подчиняясь определенным аксиомам, таким как дистрибутивный закон. В модуле скаляры должны представлять собой лишь кольцо, поэтому понятие модуля является существенным обобщением. В коммутативной алгебре как идеалы, так и факторкольца являются модулями, что позволяет объединить многие рассуждения об идеалах или факторкольцах в единое рассуждение о модулях. В некоммутативной алгебре различие между левыми идеалами, идеалами и модулями становится более заметным, хотя некоторые теоретико-кольцевые условия можно сформулировать как об левых идеалах, так и о левых модулях. Значительная часть теории модулей состоит в расширении как можно большего числа желаемых свойств векторных пространств на область модулей над "хорошо себя ведущим" кольцом, например, областью главных идеалов. Однако модули могут быть значительно сложнее векторных пространств; например, не все модули имеют базис, и даже для тех, которые имеют (свободные модули), число элементов в базисе не обязательно должно быть одинаковым для всех базисов (то есть они могут не иметь единственного ранга), если лежащее в основе кольцо не удовлетворяет условию инвариантного базисного числа, в отличие от векторных пространств, которые всегда имеют (возможно, бесконечный) базис, кардинальность которого тогда единственна. (Эти два последних утверждения в общем случае требуют аксиомы выбора, но не для конечномерных векторных пространств или определенных хорошо себя ведущих бесконечномерных векторных пространств, таких как пространства Lp.)

Примеры

Если K – поле, то K-векторные пространства (векторные пространства над K) и K-модули совпадают. Если K – поле, а K[x] – одновариантное многочленное кольцо, то K[x]-модуль M – это K-модуль с дополнительным действием x на M посредством группового гомоморфизма, коммутирующего с действием K на M. Иными словами, K[x]-модуль – это K-векторное пространство M в сочетании с линейным отображением из M в M. Применение теоремы о структуре для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этому примеру показывает существование рациональных и жордановых канонических форм. Понятие Z-модуля согласуется с понятием абелевой группы. То есть каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z единственным образом. Для n > 0 полагаем 1=n ⋅ x = x + x + … + x (n слагаемых), 1=0 ⋅ x = 0 и 1=(−n) ⋅ x = −(n ⋅ x). Такой модуль не обязательно имеет базис – группы, содержащие элементы кручения, не имеют его. (Например, в группе целых чисел по модулю 3 нельзя найти даже одного элемента, удовлетворяющего определению линейно независимого множества, поскольку при умножении элемента на целое число, такое как 3 или 6, результат равен 0. Однако, если конечное поле рассматривается как модуль над тем же конечным полем, рассматриваемым как кольцо, оно является векторным пространством и имеет базис.) Десятичные дроби (включая отрицательные) образуют модуль над целыми числами. Лишь одноэлементные множества являются линейно независимыми множествами, но нет одноэлементного множества, которое могло бы служить базисом, поэтому модуль не имеет ни базиса, ни ранга. Если R – любое кольцо, а n – натуральное число, то декартово произведение Rn является одновременно левым и правым R-модулем над R при использовании поточечных операций. Следовательно, когда 1=n = 1, R является R-модулем, где скалярное умножение – это просто умножение в кольце. Случай 1=n = 0 дает тривиальный R-модуль {0}, состоящий только из его нейтрального элемента. Модули этого типа называются свободными, и если R имеет инвариантный базисный номер (например, любое коммутативное кольцо или поле), то число n является рангом свободного модуля. Если Mn(R) – кольцо n × n матриц над кольцом R, M – Mn(R)-модуль, а ei – n × n матрица с 1 в (i, i)-й позиции (и нулями в остальных местах), то eiM является R-модулем, поскольку 1=reim = eirm ∈ eiM. Таким образом, M распадается как прямая сумма R-модулей, 1=M = e1M ⊕ … ⊕ enM. Обратно, задан R-модуль M0, то M0⊕n является Mn(R)-модулем. Фактически, категория R-модулей и категория Mn(R)-модулей эквивалентны. Частный случай заключается в том, что модуль M является просто R как модулем над собой, тогда Rn является Mn(R)-модулем. Если S – непустое множество, M – левый R-модуль, а MS – множество всех функций f : S → M, то при сложении и скалярном умножении в MS, определенных поточечно как 1=(f + g)(s) = f(s) + g(s) и 1=(rf)(s) = rf(s), MS является левым R-модулем. Случай правого R-модуля аналогичен. В частности, если R коммутативен, то множество R-гомоморфизмов модулей h : M → N (см. ниже) является R-модулем (и фактически подмодулем NM). Если X – гладное многообразие, то гладкие функции из X в действительные числа образуют кольцо C∞(X). Множество всех гладких векторных полей, определенных на X, образует модуль над C∞(X), как и тензорные поля и дифференциальные формы на X. В более общем смысле, сечения любого векторного расслоения образуют проективный модуль над C∞(X), и по теореме Свана каждый проективный модуль изоморфен модулю сечений некоторого векторного расслоения; категория C∞(X)-модулей и категория векторных расслоений над X эквивалентны. Если R – любое кольцо, а I – любой левый идеал в R, то I является левым R-модулем, и аналогично правые идеалы в R являются правыми R-модулями. Если R – кольцо, мы можем определить противоположное кольцо Rop, которое имеет то же базовое множество и ту же операцию сложения, но противоположную операцию умножения: если 1=ab = c в R, то 1=ba = c в Rop. Любой левый R-модуль M можно рассматривать как правый модуль над Rop, и любой правый модуль над R можно рассматривать как левый модуль над Rop. Модули над алгеброй Ли являются (ассоциативной алгеброй) модулями над ее универсальной огибающей алгеброй. Если R и S – кольца с гомоморфизмом колец φ : R → S, то каждый S-модуль M является R-модулем, определяя 1=rm = φ(r)m. В частности, сам S является таким R-модулем.

If K is a field, then K vector spaces (vector spaces over K) and K modules are identical. If K is a field, and K[x] a univariate polynomial ring, then a K[x] module M is a K module with an additional action of x on M by a group homomorphism that commutes with the action of K on M. In other words, a K[x] module is a K vector space M combined with a linear map from M to M. Applying the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain to this example shows the existence of the rational and Jordan canonical forms. The concept of a Z module agrees with the notion of an abelian group. That is, every abelian group is a module over the ring of integers Z in a unique way. For n > 0, let 1=n ⋅ x = x + x + + x (n summands), 1=0 ⋅ x = 0, and 1=(−n) ⋅ x = −(n ⋅ x). Such a module need not have a basis—groups containing torsion elements do not. (For example, in the group of integers modulo 3, one cannot find even one element that satisfies the definition of a linearly independent set, since when an integer such as 3 or 6 multiplies an element, the result is 0. However, if a finite field is considered as a module over the same finite field taken as a ring, it is a vector space and does have a basis.) The decimal fractions (including negative ones) form a module over the integers. Only singletons are linearly independent sets, but there is no singleton that can serve as a basis, so the module has no basis and no rank. If R is any ring and n a natural number, then the cartesian product Rn is both a left and right R module over R if we use the component wise operations. Hence when 1=n = 1, R is an R module, where the scalar multiplication is just ring multiplication. The case 1=n = 0 yields the trivial R module {0} consisting only of its identity element. Modules of this type are called free and if R has invariant basis number (e. g. any commutative ring or field) the number n is then the rank of the free module. If Mn(R) is the ring of n × n matrices over a ring R, M is an Mn(R) module, and ei is the n × n matrix with 1 in the (i, i) entry (and zeros elsewhere), then eiM is an R module, since 1=reim = eirm ∈ eiM. So M breaks up as the direct sum of R modules, 1=M = e1M ⊕ ⊕ enM. Conversely, given an R module M0, then M0⊕n is an Mn(R) module. In fact, the category of R modules and the category of Mn(R) modules are equivalent. The special case is that the module M is just R as a module over itself, then Rn is an Mn(R) module. If S is a nonempty set, M is a left R module, and MS is the collection of all functions f : S → M, then with addition and scalar multiplication in MS defined pointwise by 1=(f + g)(s) = f(s) + g(s) and 1=(rf)(s) = rf(s), MS is a left R module. The right R module case is analogous. In particular, if R is commutative then the collection of R module homomorphisms h : M → N (see below) is an R module (and in fact a submodule of NM). If X is a smooth manifold, then the smooth functions from X to the real numbers form a ring C∞(X). The set of all smooth vector fields defined on X form a module over C∞(X), and so do the tensor fields and the differential forms on X. More generally, the sections of any vector bundle form a projective module over C∞(X), and by Swan's theorem, every projective module is isomorphic to the module of sections of some vector bundle; the category of C∞(X) modules and the category of vector bundles over X are equivalent. If R is any ring and I is any left ideal in R, then I is a left R module, and analogously right ideals in R are right R modules. If R is a ring, we can define the opposite ring Rop, which has the same underlying set and the same addition operation, but the opposite multiplication: if 1=ab = c in R, then 1=ba = c in Rop. Any left R module M can then be seen to be a right module over Rop, and any right module over R can be considered a left module over Rop. Modules over a Lie algebra are (associative algebra) modules over its universal enveloping algebra. If R and S are rings with a ring homomorphism φ : R → S, then every S module M is an R module by defining 1=rm = φ(r)m. In particular, S itself is such an R module.

Типы модулей

Конечно сгенерированный Модуль R M называется конечно сгенерированным, если существует конечное число элементов x1, …, xn в M, таких что каждый элемент M является линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами из кольца R. Циклический Модуль A называется циклическим модулем, если он порожден одним элементом. Свободный Свободный R-модуль — это модуль, имеющий базис, или, эквивалентно, изоморфный прямой сумме копий кольца R. Это модули, которые во многом ведут себя как векторные пространства. Проективные Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей и обладают многими их желаемыми свойствами. Инъективные Инъективные модули определяются дуально к проективным модулям. Плоский Модуль A называется плоским, если взятие тензорного произведения с ним любой точной последовательности R-модулей сохраняет точность. Модуль без кручения Модуль называется безкрутильным, если он вкладывается в свой алгебраический дуал. Простой Простой модуль S — это модуль, не равный {0}, единственными подмодулями которого являются {0} и S. Простые модули иногда называют неприводимыми. Полупростой Полупростой модуль — это прямая сумма (конечная или бесконечная) простых модулей. Исторически эти модули также называются полностью приводимыми. Неразложимый Неразложимый модуль — это ненулевой модуль, который нельзя представить как прямую сумму двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль является неразложимым, но существуют неразложимые модули, которые не являются простыми (например, однородные модули). Верный Верный модуль M — это модуль, в котором действие каждого r ≠ 0 из R на M нетривиально (то есть r ⋅ x ≠ 0 для некоторого x из M). Эквивалентно, аннигилятор M — нулевой идеал. Модуль без кручения Модуль над кольцом называется безкрутильным, если 0 — единственный элемент, уничтожаемый регулярным элементом (неделителем нуля) кольца, то есть равенство 1=rm=0 влечет за собой 1=r=0 или 1=m=0. Ноетерианский Ноетерианский модуль — это модуль, удовлетворяющий условию восходящей цепи на подмодулях, то есть каждая возрастающая цепь подмодулей стабилизируется после конечного числа шагов. Эквивалентно, каждый подмодуль конечно порожден. Артинианский Артинианский модуль — это модуль, удовлетворяющий условию нисходящей цепи на подмодулях, то есть каждая убывающая цепь подмодулей стабилизируется после конечного числа шагов. Градуированный Градуированный модуль — это модуль с разложением в прямую сумму по градуированному кольцу, такое что RxMy ⊆ Mx+y для всех x и y. Однородный Однородный модуль — это модуль, в котором все пары ненулевых подмодулей имеют ненулевое пересечение.

Finitely generated An R module M is finitely generated if there exist finitely many elements x1, , xn in M such that every element of M is a linear combination of those elements with coefficients from the ring R.
Cyclic A module is called a cyclic module if it is generated by one element. Free A free R module is a module that has a basis, or equivalently, one that is isomorphic to a direct sum of copies of the ring R. These are the modules that behave very much like vector spaces. Projective Projective modules are direct summands of free modules and share many of their desirable properties. Injective Injective modules are defined dually to projective modules. Flat A module is called flat if taking the tensor product of it with any exact sequence of R modules preserves exactness. Torsionless A module is called torsionless if it embeds into its algebraic dual. Simple A simple module S is a module that is not {0} and whose only submodules are {0} and S. Simple modules are sometimes called irreducible. Semisimple A semisimple module is a direct sum (finite or not) of simple modules. Historically these modules are also called completely reducible. Indecomposable An indecomposable module is a non zero module that cannot be written as a direct sum of two non zero submodules. Every simple module is indecomposable, but there are indecomposable modules that are not simple (e. g. uniform modules). Faithful A faithful module M is one where the action of each r ≠ 0 in R on M is nontrivial (i. e. r ⋅ x ≠ 0 for some x in M). Equivalently, the annihilator of M is the zero ideal. Torsion free A torsion free module is a module over a ring such that 0 is the only element annihilated by a regular element (non zero divisor) of the ring, equivalently 1=rm = 0 implies 1=r = 0 or 1=m = 0. Noetherian A Noetherian module is a module that satisfies the ascending chain condition on submodules, that is, every increasing chain of submodules becomes stationary after finitely many steps. Equivalently, every submodule is finitely generated. Artinian An Artinian module is a module that satisfies the descending chain condition on submodules, that is, every decreasing chain of submodules becomes stationary after finitely many steps. Graded A graded module is a module with a decomposition as a direct sum over a graded ring such that RxMy ⊆ Mx+y for all x and y. Uniform A uniform module is a module in which all pairs of nonzero submodules have nonzero intersection.

Связь с теорией представления

Представление группы G над полем k является модулем над групповым кольцом k[G]. Если M — левый R-модуль, то действие элемента r из R определяется как отображение M → M, которое переводит каждый x в rx (или xr в случае правого модуля), и при этом обязательно является групповым эндоморфизмом абелевой группы (M, +). Множество всех групповых эндоморфизмов M обозначается EndZ(M) и образует кольцо относительно сложения и композиции, а сопоставление элемента кольца r из R его действию фактически определяет гомоморфизм колец из R в EndZ(M). Такой гомоморфизм колец R → EndZ(M) называется представлением R над абелевой группой M; альтернативный и эквивалентный способ определения левых R-модулей состоит в том, чтобы сказать, что левый R-модуль — это абелева группа M вместе с представлением R над ней. Такое представление R → EndZ(M) также может называться действием кольца R на M.

Представление называется верным тогда и только тогда, когда отображение R → EndZ(M) инъективно. В терминах модулей это означает, что если r — элемент R, такой что rx = 0 для всех x из M, то r = 0. Каждая абелева группа является верным модулем над целыми числами или над некоторым кольцом целых чисел по модулю n, Z/nZ.

Обобщения

Кольцо R соответствует преаддитивной категории R с единственным объектом. При таком понимании, левый R-модуль — это просто ковариантный аддитивный функтор из R в категорию Ab абелевых групп, а правые R-модули — контравариантные аддитивные функторы. Это наводит на мысль, что если C — любая преаддитивная категория, то ковариантный аддитивный функтор из C в Ab следует рассматривать как обобщенный левый модуль над C. Эти функторы образуют функторную категорию C Mod, которая является естественным обобщением категории модулей R Mod. Модули над коммутативными кольцами можно обобщить и в другом направлении: возьмем кольцевое пространство (X, OX) и рассмотрим пучки OX-модулей (см. пучок модулей). Они образуют категорию OX Mod и играют важную роль в современной алгебраической геометрии. Если X содержит только одну точку, то это категория модулей в обычном смысле над коммутативным кольцом OX(X). Также можно рассматривать модули над полукольцами. Модули над кольцами являются абелевыми группами, а модули над полукольцами — лишь коммутативными моноидами. Большинство применений модулей остаются возможными. В частности, для любого полукольца S матрицы над S образуют полукольцо, над которым кортежи элементов из S являются модулем (только в этом обобщенном смысле). Это позволяет еще больше обобщить понятие векторного пространства, включая полукольца из теоретической информатики. Кроме того, над близкими к кольцам структурами можно рассматривать близкокольцевые модули — неабелево обобщение модулей.