Введение

Алгебраическая структура алгебры множеств – алгебраическая структура, допускающая заданную сигнатуру Σ операций.

В математическом анализе и в теории вероятностей, σ-алгебра (также σ-поле) на множестве X является непустым семейством Σ подмножеств X, замкнутым относительно дополнений, счетных объединений и счетных пересечений. Упорядоченная пара (X, Σ) называется измеримым пространством. σ-алгебра подмножеств является алгеброй множеств подмножеств; элементы последней должны быть замкнуты только относительно объединения или пересечения конечного числа подмножеств, что является более слабым условием. Основное применение σ-алгебр заключается в определении мер; в частности, семейство тех подмножеств, для которых определена данная мера, необходимо является σ-алгеброй. Эта концепция важна в математическом анализе как основание для интеграла Лебега, а также в теории вероятностей, где она интерпретируется как семейство событий, которым можно присвоить вероятности. Кроме того, в теории вероятностей σ-алгебры играют ключевую роль в определении условного математического ожидания. В статистике (под)σ-алгебры необходимы для формального математического определения достаточной статистики, особенно когда статистика является функцией или случайным процессом, и понятие условной плотности неприменимо. Если , то одной из возможных σ-алгебр на является семейство, содержащее пустое множество. В общем случае, конечная алгебра всегда является σ-алгеброй. Если является счетным разбиением , то семейство всех объединений множеств из разбиения (включая пустое множество) является σ-алгеброй. Более полезным примером является семейство подмножеств вещественной прямой, построенное путем начала со всех открытых интервалов и добавления всех счетных объединений, счетных пересечений и относительных дополнений, и продолжения этого процесса (по трансфинитной итерации через все счетные ординалы), пока не будут достигнуты соответствующие свойства замкнутости (конструкция, известная как иерархия Бореля).

Мотивация

Существует как минимум три ключевых мотива для сигма-алгебр: определение мер, работа с пределами множеств и обработка неполной информации, описываемой множествами.

Меры

Мера на – это функция, которая сопоставляет каждому подмножеству неотрицательное действительное число. Это можно понимать как уточнение понятия "размер" или "объем" для множеств. Мы хотим, чтобы размер объединения непересекающихся множеств был равен сумме их индивидуальных размеров, даже для бесконечной последовательности непересекающихся множеств. Желательно было бы присвоить размер каждому подмножеству, но во многих естественных случаях это невозможно. Например, аксиома выбора влечет за собой, что если рассматриваемый размер – это обычное понятие длины для подмножеств вещественной прямой, то существуют множества, для которых размер не определен, например, множества Витали. Поэтому вместо этого рассматривают меньшее семейство выделенных подмножеств. Эти подмножества называются измеримыми множествами. Они замкнуты относительно операций, которые ожидаются для измеримых множеств, то есть дополнение измеримого множества является измеримым множеством, а счетное объединение измеримых множеств – измеримым множеством. Непустые семейства множеств, обладающие этими свойствами, называются σ-алгебрами.

Отношение к σ-кольцу

Сигма-алгебра — это просто сигма-кольцо, содержащее универсальное множество. Сигма-кольцо не обязательно является сигма-алгеброй, так как, например, измеримые подмножества нулевой меры Лебега на вещественной прямой образуют сигма-кольцо, но не сигма-алгебру, поскольку вещественная прямая имеет бесконечную меру и, следовательно, не может быть получена их счетным объединением. Если вместо нулевой меры рассматривать измеримые подмножества конечной меры Лебега, то они образуют кольцо, но не сигма-кольцо, поскольку вещественная прямая может быть получена их счетным объединением, однако её мера не является конечной.

Типографическая заметка

σ-алгебры иногда обозначаются каллиграфическими прописными буквами или шрифтом Фрактур. Таким образом, может быть обозначено как или .

Отдельные σ-алгебры

Отделимая алгебра (или отделимое поле) — это алгебра, которая является сепарабельным пространством, если рассматривать её как метрическое пространство с метрикой для и заданной конечной мерой (при этом используется оператор симметричной разности). Любая алгебра, порожденная счетным набором множеств, является отделимой, но обратное не всегда верно. Например, алгебра Лебега является отделимой (поскольку каждое измеримое по Лебегу множество эквивалентно некоторому множеству Бореля), но не счетно порожденной (поскольку её мощность выше континуума). Отделимое пространство с мерой имеет естественную псевдометрику, которая делает его сепарабельным как псевдометрическое пространство. Расстояние между двумя множествами определяется как мера их симметричной разности. Симметричная разность двух различных множеств может иметь меру нуль, поэтому указанная выше псевдометрика не обязательно является настоящей метрикой. Однако, если множества, симметричная разность которых имеет меру нуль, отождествляются в один класс эквивалентности, то полученное фактормножество можно корректно метризовать индуцированной метрикой. Если пространство с мерой является отделимым, то можно показать, что соответствующее метрическое пространство также является отделимым.

Борельская и Лебежская σ-алгебры

Важным примером является алгебра Бореля над любым топологическим пространством: σ-алгебра, порожденная открытыми множествами (или, эквивалентно, закрытыми множествами). Эта σ-алгебра, как правило, не совпадает со всем множеством степеней. В качестве нетривиального примера множества, не являющегося множеством Бореля, можно рассмотреть множество Витали или не-борелевские множества. На евклидовом пространстве важна другая σ-алгебра: σ-алгебра всех измеримых по Лебегу множеств. Эта σ-алгебра содержит больше множеств, чем σ-алгебра Бореля на евклидовом пространстве, и предпочтительна в теории интегрирования, поскольку она образует полное пространство с мерой.

Продуктовая σ-алгебра

Пусть и — два измеримых пространства. σ-алгебра для соответствующего произведения называется произведением σ-алгебр и определяется как

Отметим, что является π-системой. Борелевская σ-алгебра для порождается полубесконечными прямоугольниками и конечными прямоугольниками. Например,

Для каждого из этих двух примеров, порождающее семейство является π-системой.

Шаровой σ-алгебра

Шаровая σ-алгебра — это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые (и/или закрытые) шары. Она никогда не превосходит борелевскую σ-алгебру. Следует отметить, что для разделимых пространств эти две σ-алгебры совпадают. Для некоторых неразделимых пространств некоторые отображения являются шароизмеримыми, хотя они не являются борелевскими измеримыми, что делает использование шаровой σ-алгебры полезным при анализе таких отображений.

σ-алгебра, сгенерированная случайной переменной или вектором

Предположим, (Ω, F, P) – пространство вероятностей. Если X измерима по отношению к борелевской σ-алгебре на Ω, то X называется случайной величиной или случайным вектором. σ-алгебра, порожденная X, – это…

σ-алгебра, полученная стохастическим процессом

Предположим, что (Ω, F, P) – пространство вероятностей, а Θ – множество функций, принимающих вещественные значения на Ω. Если Θ измерима относительно цилиндрической σ-алгебры (см. выше) для некоторого t, то Θ называется стохастическим процессом или случайным процессом. σ-алгебра, порожденная Θ, является σ-алгеброй, порожденной прообразами цилиндрических множеств.