Введение

В математике операторы Фредхольма — это определенные операторы, возникающие в теории интегральных уравнений Фредхольма. Они названы в честь Эрика Ивара Фредхольма. По определению, оператор Фредхольма — это ограниченный линейный оператор T : X → Y между двумя пространствами Банаха с конечномерным ядром и конечномерным (алгебраическим) коядром, и с замкнутым образом. Последнее условие на самом деле избыточно. Индекс оператора Фредхольма — это целое число, или, другими словами,

Приложения

Любой эллиптический оператор может быть расширен до оператора Фредгольма. Использование операторов Фредгольма в уравнениях в частных производных является абстрактной формой метода параметрикса. Теорема об индексе Атия — Сингера дает топологическую характеристику индекса определенных операторов на многообразиях. Теорема Атия — Янича отождествляет K-теорию K(X) компактного топологического пространства X с множеством классов гомотопии непрерывных отображений из X в пространство операторов Фредгольма H → H, где H — сепаративное гильбертово пространство, а множество этих операторов наделено операторной нормой.

Операторы полуфредгольмской системы

Ограниченный линейный оператор T называется полуфредгольмовым, если его область значений замкнута и хотя бы одна из областей определения или область значений имеет конечную размерность. Для полуфредгольмового оператора индекс определяется как

Операторы без ограничений

Можно также определить неограниченные операторы Фредгольма. Пусть X и Y — два пространства Банаха. Закрытый линейный оператор T называется оператором Фредгольма, если его область определения плотна в X, его область значений замкнута, и ядро и коядро T имеют конечную размерность. Оператор T называется полуфредгольмовым, если его область определения плотна в X, его область значений замкнута, и либо ядро, либо коядро T (или оба) имеют конечную размерность. Как было отмечено выше, область значений замкнутого оператора замкнута, если коядро имеет конечную размерность (Эдмундс и Эванс, теорема I.3.2).