Кіріспе

Ли теориясындағы формула. Математикада Бейкер-Кэмпбелл-Гаусдорф формуласы Ли тобының Ли алгебрасындағы ықтимал коммутативті емес X және Y үшін келесі теңдеуді шешетін мәнді береді:

Формуланы жазудың әртүрлі тәсілдері бар, бірақ олардың барлығы Lie алгебралық терминдердегі өрнекті береді, яғни формальды қатар түрінде (қажетті түрде конвергентті емес) және оның қайталанған коммутаторлары арқылы. Бұл қатардағы алғашқы бірнеше мүшелері:

мұнда "" әр түрлі жоғары коммутаторларды қамтитын мүшелерді көрсетеді. Егер X және Y Лай тобының Ли алгебрасының жеткілікті кішкентай элементтері болса, онда қатар конвергентті болады. Сондай-ақ, Лай тобындағы бірлікке жеткілікті жақын кез келген элементті кішкентай үшін түрінде көрсетуге болады. Осылайша, бірлікке жақын топтың көбейтілуі — деп жазылатын — таза Lie алгебралық терминдермен өрнектелуі мүмкін. Бейкер-Кэмпбелл-Гаусдорф формуласы Лай тобы мен Ли алгебрасы арасындағы терең байланыстардың салыстырмалы түрде қарапайым дәлелдерін беру үшін қолданылуы мүмкін. Егер X және Y жеткілікті кішкентай матрицалар болса, онда оны матрицаның логарифмі ретінде есептеуге болады, мұнда экспоненталар мен логарифмді қуат қатарлары ретінде есептеуге болады. Бейкер-Кэмпбелл-Гаусдорф формуласының мәні — X және Y-тің қайталанған коммутаторларының қатары түрінде өрнектеуге болатындығы туралы өте күдікті емес талап. Формуланың қазіргі заманғы түсіндірмелерін Россманн мен Холлдың кітаптарында және басқа да орындарда табуға болады.

Тарих

Формула Генри Фредерик Бейкер, Джон Эдвард Кэмпбелл және Феликс Хаусдорфтың есімімен аталады, олар оның сапалық түрін тұжырымдаған, яғни шешімді көрсету үшін тек коммутаторлар мен коммутаторлардың коммутаторлары, белгісіз ретте, қажет. Форманың бұрынғы нұсқасын Фридрих Шур 1890 жылы айтқан, онда рекурсивті анықталған мүшелері бар жинақы қуат қатары келтірілген. Осы сапалық форма ең маңызды қолданыстарда қолданылады, мысалы, Ли сәйкестігінің салыстырмалы түрде жеңіл дәлелдерінде және кванттық өріс теориясында. Шурдан кейін Кэмпбелл (1897) оны баспа түрінде атап өтті; Анри Пуанкаре (1899) және Бейкер (1902) оны дамытты; ал Хаусдорф (1906) оны геометриялық тұрғыдан жүйеледі және Якоби тепе-теңдігімен байланыстырды. Барлық сандық коэффициенттері бар алғашқы нақты формула Евгений Динкинге (1947) тиесілі. Формуланың тарихы Ахилл мен Бонфиглиолидің мақаласында және Бонфиглиоли мен Фулчидің кітабында толық сипатталған.

Жауапты нысандар

Көптеген мақсаттар үшін, тек итерацияланған коммутаторлар арқылы кеңейтімнің бар екенін білу жеткілікті; нақты коэффициенттер көбінесе маңызды емес. (Мысалы, Холл кітабының 5.2-бөліміндегі Лай тобы мен Лай алгебрасы гомоморфизмдері арасындағы байланыс туралы талқылауды қараңыз, сондай-ақ төмендегі "Бар болу нәтижелері" бөлімін қараңыз. Басқа жағдайларда, толыққанды ақпарат қажет болуы мүмкін, сондықтан оны мүмкіндігінше нақты есептеу қажет. Көптеген формулалар бар; біз осы бөлімде екі негізгі формуланы (Динкин формуласы және Пуанкаре интегралды формуласы) сипаттаймыз.