Введение

В теории Ли формула Бейкера — Кэмпбелла — Гаусдорфа дает значение, которое решает уравнение

для, возможно, некоммутативных X и Y в алгебре Ли группы Ли. Существуют различные способы записи формулы, но все они в конечном итоге приводят к выражению для в терминах алгебры Ли, то есть как формальный ряд (не обязательно сходящийся) относительно и и итерированных коммутаторов этих элементов. Первые несколько членов этого ряда:

где "" обозначает члены, включающие более высокие коммутаторы и . Если и являются достаточно малыми элементами алгебры Ли группы Ли, то ряд сходится. Между тем, любой элемент, достаточно близкий к единичному элементу в , может быть выражен как для малого в . Таким образом, можно сказать, что в окрестности единичного элемента умножение в группе — записываемое как — может быть выражено исключительно в терминах алгебры Ли. Формула Бейкера — Кэмпбелла — Гаусдорфа может быть использована для относительно простых доказательств глубоких результатов в соответствии группы Ли и алгебры Ли. Если и являются достаточно малыми матрицами, то можно вычислить как логарифм , где экспоненты и логарифм могут быть вычислены как степенные ряды. Суть формулы Бейкера — Кэмпбелла — Гаусдорфа заключается в весьма неочевидном утверждении о том, что может быть выражено как ряд из повторных коммутаторов и . Современные изложения формулы можно найти, в частности, в книгах Россмана и Холла.

История

Формула названа в честь Генри Фредерика Бейкера, Джона Эдварда Кэмпбелла и Феликса Хаусдорфа, которые сформулировали ее качественную форму, то есть, что для выражения решения необходимы лишь коммутаторы и коммутаторы коммутаторов, и так до бесконечности. Более раннее представление этой формы было намечено Фридрихом Шуром в 1890 году, где был приведен сходящийся степенной ряд с рекурсивно определенными членами. Эта качественная форма используется в наиболее важных приложениях, таких как относительно простые доказательства соответствия Ли и в квантовой теории поля. После Шура, она была упомянута в печати Кэмпбеллом (1897), развита Анри Пуанкаре (1899) и Бейкером (1902), а также геометрически систематизирована и связана с тождеством Якоби Хаусдорфом (1906). Первая точная явная формула, со всеми численными коэффициентами, принадлежит Евгению Динкину (1947). История формулы подробно описана в статье Ахиллеса и Бонфиглиоли, а также в книге Бонфиглиоли и Фулчи.

Явные формы

Для многих целей достаточно знать, что разложение для в терминах итерированных коммутаторов и существует; точные коэффициенты часто несущественны. (См., например, обсуждение связи между гомоморфизмами группы Ли и алгебры Ли в разделе 5.2 книги Холла, а также раздел "Результаты о существовании" ниже.) В других случаях может потребоваться детальная информация, и поэтому желательно вычислить как можно более явно. Существует множество формул; мы опишем две основные из них (формулу Динкина и интегральную формулу Пуанкаре) в этом разделе.