Фракталдық өлшем: масштабқа байланысты күрделіліктің сандық көрсеткіші

Кіріспе

Математикада фракталдық өлшем – геометрия ғылымында нақты үлгідегі күрделілік өзгеруінің рационалды статистикалық көрсеткішін беру үшін қолданылатын термин. Фракталдық үлгі өлшенген масштабқа байланысты өзгеріп отырады. Бұл сонымен қатар үлгінің кеңістікті толтыру қабілетін өлшеу болып табылады және фракталдың фракталдық (бүтін емес) өлшемде қалай өзгеше масштабталатынын көрсетеді. «Бөлшектенген» өлшемдердің негізгі идеясы математикада ұзақ тарихқа ие, бірақ терминнің өзі Бенуа Мандельброттың 1967 жылғы, өзіндік ұқсастық туралы мақаласында, онда ол бөлшектік өлшемдерді талқылаған, кеңінен танымал болды. Сол мақалада Мандельброт Льюис Фрай Ричардсонның бұрынғы жұмысына сілтеме жасап, жағалаудың өлшенген ұзындығы қолданылатын өлшеу құралының ұзындығына байланысты өзгеретінін түсіндірді (1-суретті қараңыз). Осы түсінік бойынша, жағалау сызығының фракталдық өлшемі жағалау сызығын өлшеу үшін қажетті масштабталған өлшеу құралдарының саны, құралға қолданылатын масштабқа қалай өзгеретінін анықтайды. Бір маңызды мысал – Кох қарпағының фракталдық өлшемі. Оның топологиялық өлшемі 1-ге тең, бірақ оны түзуге болмайды: Кох қарпағындағы кез келген екі нүкте арасындағы қисықтың ұзындығы шексіз. Оның ешқандай кішкентай бөлігі түзу сызыққа ұқсамайды, керісінше, ол әртүрлі бұрыштарда қосылған шексіз көп сегменттерден тұрады. Қисықтың фракталдық өлшемін фракталдық сызықты бір өлшемді болу үшін тым егжей-тегжейлі, бірақ екі өлшемді болу үшін тым қарапайым нысан ретінде қарастыру арқылы түсінуге болады. Сондықтан оның өлшемін әдеттегі 1 топологиялық өлшеммен емес, көбінесе бір мен екінің арасындағы сан болып табылатын фракталдық өлшеммен сипаттаған дұрыс; Кох қарпағының жағдайында ол шамамен 1.2619-ға тең.

Кіріспе

Фракталдық өлшем – фракталдық үлгілерді немесе жиынтықтарды сипаттауға арналған индекс, олардың күрделілігін масштабтағы өзгеріске егжей-тегжейлі өзгерістің қатынасы ретінде сандық тұрғыда бағалау арқылы анықтайды. Адам физиологиясы, медицина салаларында да қолданылады.

Фракталдық өлшемдер алғаш рет күрделі геометриялық формаларды сипаттау индексі ретінде пайдаланылды, онда егжей-тегжейлі мәліметтер жалпы суреттен маңыздырақ көрінетін. Бұл жиынтықтың кеңістікті сапалық және сандық тұрғыдан әдеттегі геометриялық жиынтықтан өзгеше толтыруын көрсетеді. Бұл жалпы қатынасты 2- және 3-суреттердегі фракталдық қисықтардың екі суретінен көруге болады. 2-суреттегі 32 сегменттен тұратын, бұрылып кеңістікті толтыратын контур, 3-суреттегі айқын түрде аз күрделі Кох қисығымен салыстырғанда 1.67 фракталдық өлшемге ие, ал Кох қисығының фракталдық өлшемі шамамен 1.2619-ға тең. Фракталдық өлшемнің кеңістікті толтырумен байланысын фракталдық өлшемдер тығыздықты өлшейді деп түсінуге болады, бірақ бұл дұрыс емес; екеуі де тікелей байланысты емес. Бұл ерекшеліктер фракталдық қисықтардың екі мысалында айқын көрінеді. Екеуі де топологиялық өлшемі 1-ге тең қисықтар, сондықтан олардың ұзындығы мен туындысын қарапайым қисықтар сияқты өлшеуге болады деп үміттенесіз. Бірақ мұның екеуін де істей алмайсыз, себебі фракталдық қисықтарда өз-өзіне ұқсастық және қарапайым қисықтарда жоқ күрделілік бар. Кез келген кішірек бөлігі алғашқы итерацияға ұқсас, шексіз көп масштабталған сегменттерден тұрады. Бұл қисықтарды түзетуге келмейді, яғни оларды ұзындықтарына жуық көптеген сегменттерге бөліп өлшеу мүмкін емес. Оларды ұзындығы мен туындыларын анықтау арқылы мағыналы түрде сипаттауға болмайды. Дегенмен, олардың фракталдық өлшемдерін анықтауға болады, бұл екеуі де кеңістікті қарапайым сызықтардан артық, бірақ жазықтықтардан кем толтыратынын көрсетеді және оларды осы тұрғыдан салыстыруға мүмкіндік береді. Жоғарыда сипатталған екі фракталдық қисық өз-өзіне ұқсастықтың бір түрін көрсетеді, ол оңай көрініс табатын, егжей-тегжейлі қайталанатын бірлікпен дәл. Мұндай құрылымды басқа кеңістіктерге де (мысалы, Кох қисығын 3D кеңістікке кеңейтетін фракталдың теориялық D=2.5849) қолдануға болады. Алайда, мұндай нақты есептеуге болатын күрделілік – фракталдардағы өз-өзіне ұқсастық пен егжей-тегжейдің бір ғана мысалы. Фракталдық күрделілік әрқашан күрделі талдамалық әдістерсіз егжей-тегжейлі және масштабты бірліктерге оңай бөлінбейді, бірақ ол фракталдық өлшемдер арқылы сандық тұрғыда бағалануы мүмкін. Бұл жұмыстар, шамамен 1900 жылдардың басында Хаусдорфтың жұмысымен бірге, фракталдық өлшем тұжырымдамасының дамуындағы маңызды кезең болды. Ол өзінің атымен аталатын «бөлшектік» өлшемді анықтады, ол қазіргі фракталдарды анықтауда жиі қолданылады. Толық ақпарат алу үшін «Фрактал тарихы» бөлімін қараңыз.

Fractal dimensions were first applied as an index characterizing complicated geometric forms for which the details seemed more important than the gross picture. indicating that a set fills its space qualitatively and quantitatively differently from how an ordinary geometrical set does. This general relationship can be seen in the two images of fractal curves in Fig.2 and Fig. 3 – the 32 segment contour in Fig. 2, convoluted and space filling, has a fractal dimension of 1.67, compared to the perceptibly less complex Koch curve in Fig. 3, which has a fractal dimension of approximately 1.2619. The relationship of an increasing fractal dimension with space filling might be taken to mean fractal dimensions measure density, but that is not so; the two are not strictly correlated. These features are evident in the two examples of fractal curves. Both are curves with topological dimension of 1, so one might hope to be able to measure their length and derivative in the same way as with ordinary curves. But we cannot do either of these things, because fractal curves have complexity in the form of self similarity and detail that ordinary curves lack. Every smaller piece is composed of an infinite number of scaled segments that look exactly like the first iteration. These are not rectifiable curves, meaning they cannot be measured by being broken down into many segments approximating their respective lengths. They cannot be meaningfully characterized by finding their lengths and derivatives. However, their fractal dimensions can be determined, which shows that both fill space more than ordinary lines but less than surfaces, and allows them to be compared in this regard. The two fractal curves described above show a type of self similarity that is exact with a repeating unit of detail that is readily visualized. This sort of structure can be extended to other spaces (e. g., a fractal that extends the Koch curve into 3 d space has a theoretical D=2.5849). However, such neatly countable complexity is only one example of the self similarity and detail that are present in fractals. Fractal complexity may not always be resolvable into easily grasped units of detail and scale without complex analytic methods but it is still quantifiable through fractal dimensions. These works were accompanied by perhaps the most pivotal point in the development of the concept of a fractal dimension through the work of Hausdorff in the early 1900s who defined a "fractional" dimension that has come to be named after him and is frequently invoked in defining modern fractals. See Fractal history for more information

Фракталды беткі құрылымдар

Фрактальдылық ұғымы беттік ғылым саласында жиі қолданылады, беттік сипаттамалар мен функционалдық қасиеттер арасында байланыс орнатуға мүмкіндік береді. Номиналды тегіс беттердің құрылымын түсіндіру үшін көптеген беттік дескрипторлар пайдаланылады, олар көбінесе әртүрлі масштабтарда өзіне ұқсас ерекшеліктерді көрсетеді. Орташа беттік тегіссіздік, әдетте RA деп белгіленеді, ең көп қолданылатын беттік дескриптор болып табылады, алайда орташа еңіс, орташа квадрат тегіссіздік (RRMS) және басқа да көптеген дескрипторлар да қолданылады. Дегенмен, көптеген физикалық беттік құбылыстарды мұндай дескрипторларға сүйене отырып түсіндіру қиын екені анықталды, сондықтан беттік құрылымның масштабталу қасиеттері мен өнімділік арасындағы байланысты орнату үшін фракталдық өлшемдер жиі қолданылады. Беттердің фракталдық өлшемдері контактілік механика, үйкеліс қасиеттері, электрлік контактілік кедергі және мөлдір өткізгіш оксидтер салаларындағы құбылыстарды түсіндіру және жақсырақ түсіну үшін қолданылған.