Фрактальная размерность: статистический индекс сложности и масштаба.

Введение

Соотношение, дающее статистический показатель изменения сложности с масштабом.

В математике фрактальное измерение – это термин, используемый в геометрии для предоставления рационального статистического показателя детализации сложности в узоре. Фрактальный узор изменяется в зависимости от масштаба, в котором он измеряется. Это также мера способности узора заполнять пространство и показывает, как фрактал масштабируется иначе, в фрактальном (нецелочисленном) измерении. Основная идея «дробных» измерений имеет долгую историю в математике, но сам термин был выдвинут на первый план Бенуа Мандельбротом на основе его работы 1967 года о самоподобии, в которой он обсуждал дробные измерения. В этой работе Мандельброт ссылался на предыдущие работы Льюиса Фрая Ричардсона, описывающие контринтуитивное представление о том, что измеренная длина береговой линии меняется в зависимости от длины используемой измерительной линейки (см. рис. 1). В терминах этой концепции фрактальное измерение береговой линии количественно определяет, как количество масштабированных измерительных линеек, необходимых для измерения береговой линии, изменяется с масштабом, применяемым к линейке. Одним из нетривиальных примеров является фрактальное измерение снежинки Коха. Она имеет топологическое измерение 1, но ни в коем случае не является выпрямляемой: длина кривой между любыми двумя точками на снежинке Коха бесконечна. Ни один небольшой ее участок не является прямолинейным, а скорее состоит из бесконечного числа сегментов, соединенных под разными углами. Фрактальное измерение кривой можно интуитивно объяснить, представляя фрактальную линию как объект, который слишком детализирован, чтобы быть одномерным, но слишком прост, чтобы быть двумерным. Следовательно, ее измерение лучше всего описывать не обычным топологическим измерением 1, а ее фрактальным измерением, которое часто является числом между одним и двумя; в случае снежинки Коха оно составляет примерно 1,2619.

Введение

Фрактальное измерение — это индекс для характеристики фрактальных паттернов или множеств путем количественной оценки их сложности как отношения изменения детализации к изменению масштаба. Человеческая физиология, медицина.

Фрактальные измерения впервые были применены как индекс, характеризующий сложные геометрические формы, для которых детали казались более важными, чем общая картина, указывая на то, что множество заполняет пространство качественно и количественно иначе, чем обычное геометрическое множество. Эта общая закономерность видна на двух изображениях фрактальных кривых на рис. 2 и рис. 3: контур из 32 сегментов на рис. 2, извилистый и заполняющий пространство, имеет фрактальное измерение 1,67, по сравнению с заметно менее сложной кривой Коха на рис. 3, которая имеет фрактальное измерение приблизительно 1,2619. Связь между увеличением фрактального измерения и заполнением пространства может навести на мысль, что фрактальные измерения измеряют плотность, но это не так; эти два параметра не строго коррелируют. Эти особенности очевидны на двух примерах фрактальных кривых. Обе являются кривыми с топологическим измерением 1, поэтому можно было бы надеяться измерять их длину и производную так же, как и у обычных кривых. Но мы не можем сделать ни того, ни другого, поскольку фрактальные кривые обладают сложностью в виде самоподобия и детализации, которых нет у обычных кривых. Каждая меньшая часть состоит из бесконечного числа масштабированных сегментов, которые выглядят точно так же, как первая итерация. Это невыпрямляемые кривые, то есть их нельзя измерить, разбив на множество сегментов, аппроксимирующих их соответствующие длины. Их нельзя осмысленно характеризовать, находя их длины и производные. Однако их фрактальные измерения можно определить, что показывает, что обе заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, и позволяет сравнивать их в этом отношении. Две фрактальные кривые, описанные выше, демонстрируют тип самоподобия, который является точным, с повторяющимся элементом детализации, который легко визуализировать. Этот тип структуры можно расширить на другие пространства (например, фрактал, расширяющий кривую Коха до 3D-пространства, имеет теоретическое D = 2,5849). Однако такая четко подсчитываемая сложность — лишь один пример самоподобия и детализации, присутствующих во фракталах. Фрактальная сложность не всегда может быть разрешена в легко воспринимаемые единицы детализации и масштаба без сложных аналитических методов, но она все равно может быть количественно оценена с помощью фрактальных измерений. Эти работы сопровождались, пожалуй, самым важным моментом в развитии концепции фрактального измерения благодаря работам Гаусдорфа в начале 1900-х годов, который определил «дробное» измерение, названное в его честь и часто используемое при определении современных фракталов. Подробнее см. в разделе «История фракталов».

Fractal dimensions were first applied as an index characterizing complicated geometric forms for which the details seemed more important than the gross picture. indicating that a set fills its space qualitatively and quantitatively differently from how an ordinary geometrical set does. This general relationship can be seen in the two images of fractal curves in Fig.2 and Fig. 3 – the 32 segment contour in Fig. 2, convoluted and space filling, has a fractal dimension of 1.67, compared to the perceptibly less complex Koch curve in Fig. 3, which has a fractal dimension of approximately 1.2619. The relationship of an increasing fractal dimension with space filling might be taken to mean fractal dimensions measure density, but that is not so; the two are not strictly correlated. These features are evident in the two examples of fractal curves. Both are curves with topological dimension of 1, so one might hope to be able to measure their length and derivative in the same way as with ordinary curves. But we cannot do either of these things, because fractal curves have complexity in the form of self similarity and detail that ordinary curves lack. Every smaller piece is composed of an infinite number of scaled segments that look exactly like the first iteration. These are not rectifiable curves, meaning they cannot be measured by being broken down into many segments approximating their respective lengths. They cannot be meaningfully characterized by finding their lengths and derivatives. However, their fractal dimensions can be determined, which shows that both fill space more than ordinary lines but less than surfaces, and allows them to be compared in this regard. The two fractal curves described above show a type of self similarity that is exact with a repeating unit of detail that is readily visualized. This sort of structure can be extended to other spaces (e. g., a fractal that extends the Koch curve into 3 d space has a theoretical D=2.5849). However, such neatly countable complexity is only one example of the self similarity and detail that are present in fractals. Fractal complexity may not always be resolvable into easily grasped units of detail and scale without complex analytic methods but it is still quantifiable through fractal dimensions. These works were accompanied by perhaps the most pivotal point in the development of the concept of a fractal dimension through the work of Hausdorff in the early 1900s who defined a "fractional" dimension that has come to be named after him and is frequently invoked in defining modern fractals. See Fractal history for more information

Фрактальные поверхностные структуры

Концепция фрактальности все чаще находит применение в науке о поверхностях, обеспечивая связь между характеристиками поверхности и ее функциональными свойствами. Для интерпретации структуры номинально плоских поверхностей, которые часто демонстрируют самоаффинные особенности в различных масштабах, используется множество поверхностных дескрипторов. Средняя шероховатость поверхности, обычно обозначаемая RA, является наиболее распространенным дескриптором, однако регулярно применяются и другие, такие как средний уклон, среднеквадратичное отклонение шероховатости (RRMS) и другие. Однако, установлено, что многие физические явления на поверхности сложно интерпретировать, опираясь на подобные дескрипторы, поэтому фрактальная размерность все чаще используется для установления корреляций между структурой поверхности, выраженной в масштабировании, и ее характеристиками. Фрактальные размерности поверхностей применялись для объяснения и лучшего понимания явлений в области механики контакта, поведения при трении, сопротивления электрического контакта и прозрачных проводящих оксидов.