Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда, псевдо-Римандық көптік, сондай-ақ жартылай Римандық көптік – барлық жерде дегенеративті емес метрикалық тензоры бар дифференциалдық көптік. Бұл оң анықтылық талабы жеңілдетілген Римандық көптүрліліктің жалпылауы болып табылады. Псевдо-Римандық көптүрліліктің әрбір жанама кеңістігі – псевдо-Евклидтік векторлық кеңістік. Жалпы салыстырмалылық теориясында қолданылатын ерекше жағдай – кеңістік-уақытты модельдеу үшін төрт өлшемді Лоренцтік көптүрлілік, онда жанама векторлар уақыт тәрізді, нөлдік және кеңістіктік деп жіктелуі мүмкін.
In differential geometry, a pseudo Riemannian manifold, also called a semi Riemannian manifold, is a differentiable manifold with a metric tensor that is everywhere nondegenerate. This is a generalization of a Riemannian manifold in which the requirement of positive definiteness is relaxed. Every tangent space of a pseudo Riemannian manifold is a pseudo Euclidean vector space. A special case used in general relativity is a four dimensional Lorentzian manifold for modeling spacetime, where tangent vectors can be classified as timelike, null, and spacelike.
Манифольдер
Дифференциалдық геометрияда, дифференциалданатын көптік – жергілікті түрде Евклид кеңістігіне ұқсас кеңістік. n өлшемді Евклид кеңістігінде кез келген нүкте n нақты санмен сипатталады. Бұлар нүктенің координаттары деп аталады. n өлшемді дифференциалданатын көптік – n өлшемді Евклид кеңістігінің жалпылама түрі. Көптіктерде координаталарды тек жергілікті түрде ғана анықтау мүмкін. Бұл координаталық жамауларды анықтау арқылы іске асырылады: көптіктің n өлшемді Евклид кеңістігіне бейнеленетін кіші жиынтықтары. Толық ақпарат алу үшін Көптік, Дифференциалданатын көптік және Координаталық жамау тақырыптарын қараңыз.
Метрлік қолтаңбалар
n өлшемді нақты көптүрліліктегі g метрикалық тензоры берілгенде, кез келген ортогональды негіздің әрбір векторына қолданылатын 1=q(x) = g(x, x) квадраттық формасы n нақты мәнді шығарады. Сильвестрдің инерция заңына сәйкес, осылайша алынған оң, теріс және нөлдік мәндердің саны метрикалық тензордың инварианттары болып табылады және ортогональды негізді таңдауға тәуелсіз. Метрикалық тензордың (p, q, r) қолтаңбасы осы сандарды сол ретпен көрсетеді. Дегенерацияланбаған метрикалық тензор үшін 1=r = 0, ал қолтаңба (p, q) деп белгіленеді, мұнда 1=p + q = n.
Анықтама
Псевдо-Риманн көптігі – әр жерде дегенерацияланбаған, тегіс, симметриялық метрикалық тензормен жабдықталған дифференциалдық көптік. Мұндай метрика псевдо-Риманн метрикасы деп аталады. Векторлық өріске қолданылғанда, көптіктің кез келген нүктесіндегі скалярлық өрістің мәні оң, теріс немесе нөл болуы мүмкін. Псевдо-Риманн метрикасының қолтаңбасы (p, q) болып табылады, мұнда p және q екеуі де теріс емес. Дегенерацияланбау шарты үздіксіздікпен бірге, көптіктің барлық жерінде p және q өзгеріссіз қалады (егер ол байланысты болса).
Such a metric is called a pseudo Riemannian metric. Applied to a vector field, the resulting scalar field value at any point of the manifold can be positive, negative or zero. The signature of a pseudo Riemannian metric is (p, q), where both p and q are non negative. The non degeneracy condition together with continuity implies that p and q remain unchanged throughout the manifold (assuming it is connected).
Лоренцтік көптік
Лоренцтік көпқұрылым – псевдо-Римандық көпқұрылымның маңызды ерекше жағдайы, онда метриканың қолтаңбасы (1, n-1) (немесе баламалы түрде, (n-1, 1); қолтаңба туралы ережелерді қараңыз). Мұндай метрикалар Лоренц метрикалары деп аталады. Олар голланд физигі Хендрик Лоренцтің есімімен аталған.
Физикадағы қолданулары
Риманн түркілiктерiнен кейiн Лоренц түркілiктерi псевдо-Риманн түркілiктерiнiң ең маңызды субкласын құрайды. Олар жалпы салыстырмалылық теориясының қолданылуында маңызды рөл атқарады. Жалпы салыстырмалылық теориясының негiзгi қағидасы – кеңiстiк-уақытты (3, 1) немесе, эквиваленттi түрде, (1, 3) белгiсi бар 4 өлшемдi Лоренц түркілiгi ретiнде модельдеуге болады. Оң белгiлi метрикасы бар Риман түркілiктерiнен айырмашылығы, белгiсiз белгi тангенс векторларын уақыт тәріздi, нөлдік немесе кеңiстiктiк деп жіктеуге мүмкiндiк бередi. (p, 1) немесе (1, q) белгiсi бар түркілiк, сонымен қатар жергiлiктi (және мүмкiн жаһандық) уақытқа бағдарлана алады (Себептiк құрылымды қараңыз).
Псевдо-Риманның қасиеттері
Евклид кеңістігін модельдік Риманн көптігі деп қарастырылғандай, Минковски кеңістігі жазық Минковски метрикасымен модельдік Лоренц көптігі болып табылады. Сол сияқты, (p, q) қолтаңбалы псевдо-Риманн көптүрлілігі үшін модельдік кеңістік метрикамен бірге беріледі.
Риманн геометриясының кейбір негізгі теоремаларын псевдо-Риманн жағдайына жалпылауға болады. Атап айтқанда, Риманн геометриясының негізгі теоремасы псевдо-Риманн көптүрліліктері үшін де дұрыс. Бұл псевдо-Риманн көптігінде Леви-Чивита байланысы мен оған байланысты қисықтық тензоры туралы айтуға мүмкіндік береді. Екінші жағынан, Риманн геометриясындағы көптеген теоремалар жалпыланған жағдайда қолданылмайды. Мысалы, әрбір тегіс көптік берілген қолтаңбалы псевдо-Риманн метрикасын қабылдайды деген пікір дұрыс емес; белгілі бір топологиялық кедергілер бар. Сонымен қатар, субкөптүрлі әрқашан псевдо-Риманн көптүрлілігінің құрылымын мұрагерлік етпейді; мысалы, метрикалық тензор кез келген жарық тәрізді қисықта нөлге тең болады. Клифтон-Пол торы тығыз, бірақ толық емес псевдо-Риманн көптүрлілігінің мысалы болып табылады, бұл қасиеттердің үйлесімі Хопф-Ринов теоремасы бойынша Риманн көптүрліліктері үшін мүмкін емес.