Введение

Дифференцируемое многообразие с недегенеративным метрическим тензором

В дифференциальной геометрии псевдориманово многообразие, также называемое полуримановым многообразием, — это дифференцируемое многообразие с метрическим тензором, который всюду недегениративен. Это обобщение риманова многообразия, в котором ослабляется требование положительной определенности. Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством. Особый случай, используемый в общей теории относительности, — это четырехмерное лоренцово многообразие для моделирования пространства-времени, где касательные векторы могут быть классифицированы как времениподобные, нулевые и пространственноподобные.

Манифолы

В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие — это пространство, локально подобное евклидову пространству. В n-мерном евклидовом пространстве любая точка может быть задана n действительными числами. Эти числа называются координатами точки. Дифференцируемое многообразие является обобщением n-мерного евклидова пространства. На многообразии возможно определить координаты лишь локально. Это достигается путем определения координатных атласов: подмножеств многообразия, которые можно отобразить в n-мерное евклидово пространство. Подробнее см. в статьях «Многообразие», «Дифференцируемое многообразие», «Координатный атлас».

Метрические подписи

При заданном метрическом тензоре g на n-мерном вещественном многообразии, квадратичная форма q(x) = g(x, x), ассоциированная с метрическим тензором и применяемая к каждому вектору любого ортогонального базиса, порождает n вещественных значений. Согласно закону инерции Сильвестра, число положительных, отрицательных и нулевых значений, полученных таким образом, является инвариантами метрического тензора и не зависит от выбора ортогонального базиса. Подпись (p, q, r) метрического тензора задает эти числа в указанном порядке. Невырожденный метрический тензор имеет r = 0, и его подпись может быть обозначена (p, q), где p + q = n.

Определение

Псевдориманов многообразие — это дифференцируемое многообразие, снабжённое всюду невырожденным, гладким, симметричным метрическим тензором. Такая метрика называется псевдоримановой метрикой. Применение метрики к векторному полю даёт скалярное поле, значение которого в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Подпись псевдоримановой метрики — (p, q), где p и q — неотрицательные целые числа. Условие невырожденности вместе с непрерывностью подразумевает, что p и q остаются постоянными на всем многообразии (при условии его связности).

Лоренцианский коллектор

Лоренцево многообразие — важный частный случай псевдориманова многообразия, в котором сигнатура метрики имеет вид (1, n−1) (эквивалентно, (n−1, 1); см. Соглашение о знаках). Такие метрики называются лоренцевыми метриками. Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца.

Применение в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они играют важную роль в приложениях общей теории относительности. Основной принцип общей теории относительности заключается в том, что пространство-время можно моделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, эквивалентно, (1, 3). В отличие от римановых многообразий с положительно определенными метриками, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы как временные, нулевые или пространственные. При сигнатуре (p, 1) или (1, q) многообразие также локально (и, возможно, глобально) ориентируемо по времени (см. Причинная структура).

Свойства псевдо-Риманновских многообразий

Так же, как Евклидово пространство можно рассматривать как модель риманова многообразия, пространство Минковского с плоской метрикой Минковского является моделью лоренцева многообразия. Аналогичным образом, модельное пространство для псевдориманова многообразия сигнатуры (p, q) – это пространство с метрикой . Некоторые основные теоремы римановой геометрии могут быть обобщены на псевдориманов случай. В частности, фундаментальная теорема римановой геометрии справедлива и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивиты на псевдоримановом многообразии вместе с ассоциированным тензором кривизны. С другой стороны, существует множество теорем в римановой геометрии, которые не выполняются в обобщенном случае. Например, неверно, что каждое гладкое многообразие допускает псевдориманову метрику заданной сигнатуры; существуют определенные топологические препятствия. Кроме того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в нуль на любой светоподобной кривой. Торус Клифтона — Пола представляет собой пример псевдориманова многообразия, которое является компактным, но не полным, что является комбинацией свойств, запрещенных теоремой Хопфа — Риноу для римановых многообразий.