Кіріспе
Күрделі сандардың оң немесе нөлдік жолға ие болған жатақ бөлігі
Математикада жоғарғы жарты жазықтық, \mathcal H, – Декарт жазықтығындағы y > 0 шартымен берілген (x,y) нүктелерінің жиыны. Төменгі жарты жазықтық – y < 0 шартымен берілген (x, y) нүктелерінің жиыны. Әрқайсысы екі өлшемді жарты кеңістіктердің мысалы болып табылады.
Метрлік геометрия
Жоғарғы жарты жазықтықтағы кез келген екі нүкте p және q арасындағы қашықтықты келесідей тұрақты түрде анықтауға болады: p-ден q-ға дейінгі кесіндінің орта перпендикуляры шекараны қиып өтеді немесе оған параллель болады. Егер соңғы жағдайда болса, p және q шекараға перпендикуляр түзу бойында жатады және қашықтықты анықтау үшін логарифмдік өлшемді пайдалануға болады, бұл кеңею кезінде өзгермейді. Ал егер бұрынғы жағдайда болса, p және q олардың орта перпендикулярының шекарамен қиылыс нүктесінде ортасы бар шеңберде жатады. Жоғарыда айтылғандай, бұл шеңберді аффиндік қозғалыс арқылы \mathcal Z-ға жылжытуға болады. \mathcal Z-дегі қашықтықтарды осы түзудегі нүктелермен сәйкестік және логарифмдік өлшемді қолдану арқылы анықтауға болады. Осының нәтижесінде жоғарғы жарты жазықтық метрикалық кеңістікке айналады. Бұл метрикалық кеңістіктің жалпы атауы – гиперболалық жазықтық. Гиперболалық геометрия модельдері тұрғысынан, бұл модель көбінесе Поанкаре жарты жазықтық моделі деп аталады.
\mathcal Z. Distances on \mathcal Z can be defined using the correspondence with points on and logarithmic measure on this ray. In consequence, the upper half plane becomes a metric space. The generic name of this metric space is the hyperbolic plane. In terms of the models of hyperbolic geometry, this model is frequently designated the Poincaré half plane model.
Жалпылау
Дифференциалдық геометриядағы табиғи жалпылау – гиперболалық кеңістік \mathcal H^n, максималды симметриялық, жай ғана байланысқан, тұрақты қималық қисықтығы бар n өлшемді Римандық көптүрлілік. Осы терминология бойынша, жоғарғы жарты жазықтық \mathcal H^2 болып табылады, себебі оның нақты өлшемі 2-ге тең. Сандар теориясында Гильберт модульдік формалар теориясы жоғарғы жарты жазықтықтың n көшірмелерінің тікелей көбейтіндісі \mathcal H^n-дегі белгілі бір функцияларды зерттеумен айналысады. Сандар теориясымен айналысатын зерттеушілерді қызықтыратын тағы бір кеңістік – Сигельдің жоғарғы жарты кеңістігі \mathcal H_n, ол Сигель модульдік формаларының анықталу облысы болып табылады.
\mathcal H^2 since it has real dimension 2. In number theory, the theory of Hilbert modular forms is concerned with the study of certain functions on the direct product \mathcal H^n of n copies of the upper half plane. Yet another space interesting to number theorists is the Siegel upper half space \mathcal H n, which is the domain of Siegel modular forms.