Введение
Комплексные числа с неотрицательной мнимой частью
В математике верхняя полуплоскость, \mathcal H, — это множество точек (x, y) на декартовой плоскости, для которых y > 0. Нижняя полуплоскость — это множество точек (x, y), для которых y < 0. Каждая из них является примером двухмерного полупространства.
Метрическая геометрия
Расстояние между любыми двумя точками p и q в верхней полуплоскости может быть последовательно определено следующим образом: перпендикулярный бисектор отрезка от p до q либо пересекает границу, либо параллелен ей. В последнем случае точки p и q лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическая мера может быть использована для определения расстояния, инвариантного относительно масштабирования. В первом случае точки p и q лежат на окружности, центр которой находится в точке пересечения их перпендикулярного бисектора и границы. Согласно вышеуказанному утверждению, эту окружность можно переместить аффинным преобразованием в \mathcal Z. Расстояния на \mathcal Z могут быть определены, используя соответствие с точками на этом луче и логарифмическую меру на нем. Следовательно, верхняя полуплоскость становится метрическим пространством. Общим названием этого метрического пространства является гиперболическая плоскость. В терминах моделей гиперболической геометрии, эта модель часто называется моделью полуплоскости Пуанкаре.
\mathcal Z. Distances on \mathcal Z can be defined using the correspondence with points on and logarithmic measure on this ray. In consequence, the upper half plane becomes a metric space. The generic name of this metric space is the hyperbolic plane. In terms of the models of hyperbolic geometry, this model is frequently designated the Poincaré half plane model.
Обобщения
Одним из естественных обобщений в дифференциальной геометрии является гиперболическое пространство \mathcal H^n, максимально симметричное, простосвязное, n-мерное риманово многообразие с постоянной сечением кривизной. В этой терминологии верхняя полуплоскость является \mathcal H^2, поскольку она имеет вещественную размерность 2. В теории чисел теория модульных форм Гильберта посвящена изучению определенных функций на прямом произведении \mathcal H^n из n копий верхней полуплоскости. Другим пространством, представляющим интерес для теоретиков чисел, является верхняя полуплоскость Зигеля \mathcal H n, которая является областью определения модульных форм Зигеля.
\mathcal H^2 since it has real dimension 2. In number theory, the theory of Hilbert modular forms is concerned with the study of certain functions on the direct product \mathcal H^n of n copies of the upper half plane. Yet another space interesting to number theorists is the Siegel upper half space \mathcal H n, which is the domain of Siegel modular forms.