Кіріспе
Математикада x санының куб түбірі y саны болып табылады, яғни y³ = x. Барлық нөлден өзге нақты сандардың бір нақты куб түбірі және бір жұп кешенді түйіндес куб түбірі болады, ал барлық нөлден өзге кешенді сандардың үш түрлі кешенді куб түбірі болады. Мысалы, 8-дің нақты куб түбірі, √[3]{8}, 2-ге тең, себебі 2³ = 8, ал 8-дің басқа куб түбірі және −27i-нің үш куб түбірі:
In mathematics, a cube root of a number x is a number y such that 1=y^(3) = x. All nonzero real numbers have exactly one real cube root and a pair of complex conjugate cube roots, and all nonzero complex numbers have three distinct complex cube roots. For example, the real cube root of 8, denoted , is 2, because 1=2^(3) = 8, while the other cube roots of 8 are and The three cube roots of −27i are:
In some contexts, particularly when the number whose cube root is to be taken is a real number, one of the cube roots (in this particular case the real one) is referred to as the principal cube root, denoted with the radical sign The cube root is the inverse function of the cube function if considering only real numbers, but not if considering also complex numbers: although one has always the cube of a nonzero number has more than one complex cube root and its principal cube root may not be the number that was cubed. For example, , but
Кейбір жағдайларда, әсіресе куб түбірі алынатын сан нақты сан болғанда, куб түбірлердің бірі (осы жағдайда нақтысы) негізгі куб түбір деп аталады, ол радикал таңбасы √[3]{} арқылы белгіленеді. Куб түбір, тек нақты сандарды қарастырғанда, куб функциясының кері функциясы болып табылады, бірақ кешенді сандарды қарастырғанда емес: әрқашан нөлден өзге санның кубынан бірден көп кешенді куб түбірі шығады және оның негізгі куб түбірі кубталған санға тең болмауы мүмкін. Мысалы, √[3]{-8} = -2, бірақ (-2)³ = -8.
In mathematics, a cube root of a number x is a number y such that 1=y^(3) = x. All nonzero real numbers have exactly one real cube root and a pair of complex conjugate cube roots, and all nonzero complex numbers have three distinct complex cube roots. For example, the real cube root of 8, denoted , is 2, because 1=2^(3) = 8, while the other cube roots of 8 are and The three cube roots of −27i are:
In some contexts, particularly when the number whose cube root is to be taken is a real number, one of the cube roots (in this particular case the real one) is referred to as the principal cube root, denoted with the radical sign The cube root is the inverse function of the cube function if considering only real numbers, but not if considering also complex numbers: although one has always the cube of a nonzero number has more than one complex cube root and its principal cube root may not be the number that was cubed. For example, , but
Нақты сандар
Кез келген нақты x саны үшін, y³ = x теңдеуін қанағаттандыратын бір ғана нақты y саны бар. Куб функциясы өспелі болғандықтан, екі түрлі кіріс мәні үшін бірдей нәтиже бермейді және барлық нақты сандарды қамтиды. Басқаша айтқанда, бұл биекция, яки бір-бірге сәйкестік. Осыдан кейін, кері функцияны да бір-бірге сәйкестік деп анықтауға болады. Нақты сандар үшін, барлық нақты сандардың бір ғана куб түбірін анықтауға болады. Егер осы анықтама қолданылса, теріс санның куб түбірі теріс сан болады. Егер x және y кешенді сандар болса, онда үш шешім болады (егер x нөлге тең болмаса) және x-тің үш куб түбірі болады. Нақты санның бір нақты куб түбірі және екі қосымша куб түбірі бар, олар кешенді түйін жұбын құрайды. Мысалы, 1-дің куб түбірлері:
Осы түбірлердің соңғы екеуі, кез келген нақты немесе кешенді санның барлық түбірлері арасындағы байланысқа алып келеді. Егер бір сан нақты немесе кешенді санның бір куб түбірі болса, қалған екі куб түбірін табу үшін сол куб түбірін 1-дің екі кешенді куб түбірінің біріне немесе екіншісіне көбейту керек.
Компас-түздік конструкциясының мүмкін еместігі
Куб түбірі берілген бұрыштың үштен бір бөлігіне тең бұрышты табу мәселесінде (бұрыш үш бөлу) және белгілі жиекті кубтың екі есе көлемін табу мәселесінде (кубты екі еселендіру) пайда болады. 1837 жылы Пьер Вантцель осы екі мәселенің де тек қана сызғыш пен циркуль көмегімен шешілмейтінін дәлелдеді.
Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулердің шешімдеріндегі пайда болуы
Кубтық теңдеулер, яғни үшінші дәрежелі полиномиялық теңдеулер (белгісіздің ең жоғары дәрежесі 3-ке тең) әрқашан кубтық және квадрат түбірлер арқылы олардың үш шешімін табуға болады (бірақ егер шешімдердің кем дегенде біреуі рационал сан болса, барлық үш шешімді тек квадрат түбірлер арқылы да өрнектеуге болады). Егер екі шешім кешенді сан болса, онда барлық үш шешімнің өрнегі нақты санның нақты кубтық түбірін қамтиды, ал егер барлық үш шешім нақты сан болса, оларды кешенді санның кешенді кубтық түбірі арқылы өрнектеуге болады. Төртінші дәрежелі теңдеулерді де кубтық және квадрат түбірлер арқылы шешуге болады.
Тарих
Куб түбірін есептеу б.з.д. 1800 жылға дейін бабылдық математиктерге дейін жетеді. Б.з.д. төртінші ғасырда Платон кубты екі еселендіру мәселесін қойды, ол үшін берілген кубтың көлемі екі еселенген кубтың қабырғасын сызғыш пен циркуль көмегімен салу қажет болды; бұл қазірде мүмкін емес екені белгілі ұзындықты салуды талап етті. «Математикалық өнер туралы тоғыз тарау» атты қытай математикалық мәтіні б.з.д. екінші ғасырда жинақталған және б.з. үшінші ғасырында Лю Хуэймен түсіндірілген. Грек математигі Александриялық Герон б.з. бірінші ғасырында куб түбірін есептеу әдісін жасады. Оның формуласы Евтокий Архимедтің түсіндірмесінде қайтадан айтылады. 499 жылы Үнді математикасы мен астрономиясының классикалық дәуірінің математигі және астрономы Ариабхата «Ариабхатия» (2.5-бөлім) еңбегінде көп таңбалы сандардың куб түбірін табу әдісін берді.
A method for extracting cube roots appears in The Nine Chapters on the Mathematical Art, a Chinese mathematical text compiled around the second century BCE and commented on by Liu Hui in the third century CE. The Greek mathematician Hero of Alexandria devised a method for calculating cube roots in the first century CE. His formula is again mentioned by Eutokios in a commentary on Archimedes. In 499 CE Aryabhata, a mathematician astronomer from the classical age of Indian mathematics and Indian astronomy, gave a method for finding the cube root of numbers having many digits in the Aryabhatiya (section 2.5).