Введение

Число, куб которого равен заданному числу

В математике кубический корень числа x — это число y, такое, что y³ = x. Все ненулевые действительные числа имеют ровно один действительный кубический корень и пару комплексно сопряжённых кубических корней, а все ненулевые комплексные числа имеют три различных комплексных кубических корня. Например, действительный кубический корень из 8, обозначаемый ∛8, равен 2, потому что 2³ = 8, в то время как другие кубические корни из 8 — это и . Три кубических корня из −27i:

В некоторых контекстах, особенно когда число, из которого извлекается кубический корень, является действительным числом, один из кубических корней (в этом конкретном случае действительный) называется главным кубическим корнем и обозначается знаком радикала ∛. Кубический корень является обратной функцией к функции куба, если рассматривать только действительные числа, но не если рассматривать также комплексные числа: хотя всегда верно ∛(y³) = y, куб ненулевого числа имеет более одного комплексного кубического корня, и его главный кубический корень может не совпадать с числом, которое было возведено в куб. Например, ∛(8) = 2, но .

Реальные числа

Для любого действительного числа x существует единственное действительное число y, такое что y³ = x. Кубическая функция возрастает, поэтому не принимает одинаковых значений для двух различных аргументов и охватывает все действительные числа. Иными словами, это биекция, или взаимно однозначное соответствие. Следовательно, можно определить обратную функцию, которая также будет взаимно однозначной. Для действительных чисел можно определить единственный кубический корень из любого действительного числа. При таком определении кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом. Если x и y могут быть комплексными, то существует три решения (если x не равно нулю), то есть x имеет три кубических корня. Действительное число имеет один действительный кубический корень и два дополнительных кубических корня, образующих комплексно сопряжённую пару. Например, кубические корни из 1 следующие:

Последние два из этих корней приводят к соотношению между всеми корнями любого действительного или комплексного числа. Если число является одним из кубических корней заданного действительного или комплексного числа, то два других кубических корня можно найти, умножив этот корень на один из двух комплексных кубических корней из 1.

Невозможность строительства компаса и прямой

Корни кубические возникают в задаче нахождения угла, величина которого в три раза меньше величины данного угла (трисекция угла), и в задаче нахождения ребра куба, объем которого вдвое больше объема куба с заданным ребром (удвоение куба). В 1837 году Пьер Вантцель доказал, что ни одна из этих задач не может быть решена только с помощью циркуля и линейки.

Появление в решениях уравнений третьей и четвертой степени

Кубические уравнения, являющиеся полиномиальными уравнениями третьей степени (то есть, наивысшая степень неизвестного равна 3), всегда могут быть решены относительно их трех корней с использованием кубических и квадратных корней. Хотя более простые выражения, содержащие только квадратные корни, существуют для всех трех корней, если хотя бы один из них является рациональным числом. Если два корня являются комплексными числами, то все три выражения для корней включают действительный кубический корень действительного числа, а если все три корня являются действительными числами, то они могут быть выражены через комплексный кубический корень комплексного числа. Уравнения четвертой степени также могут быть решены с использованием кубических и квадратных корней.

История

Расчет кубических корней восходит к вавилонским математикам, начиная с 1800 года до н.э. В IV веке до н.э. Платон сформулировал задачу об удвоении куба, которая требовала построения с помощью циркуля и линейки ребра куба с объемом вдвое больше заданного; это требовало построения длины, которая, как теперь известно, невозможна. Метод извлечения кубических корней встречается в «Девяти главах о математическом искусстве», китайском математическом тексте, составленном примерно во II веке до н.э. и прокомментированном Лю Хуэйем в III веке н.э. Греческий математик Герон Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в I веке н.э. Его формула вновь упоминается Евтокием в комментарии к работам Архимеда. В 499 году н.э. Арьябхата, математик и астроном классической эпохи индийской математики и астрономии, представил метод нахождения кубического корня чисел с большим количеством цифр в «Арьябхатии» (раздел 2.5).