Кіріспе
Топтық өрнектеу
Математика мен теориялық физикада, Ли тобының өрнектеуі – векторлық кеңістікте Ли тобының сызықтық әсері. Балама түсіндіру бойынша, өрнектеу – векторлық кеңістіктегі инверттік операторлар тобына топтың тегіс гомоморфизмі. Өрнектеулер үздіксіз симметрияны зерттеуде маңызды рөл атқарады. Мұндай өрнектеулер туралы көп мәлімет бар, оларды зерттеудегі негізгі құрал – Ли алгебраларының сәйкес «инфинитезималды» өрнектеулерін пайдалану болып табылады.
Негізгі анықтамалар
Егер гомоморфизм инъективті (яғни мономорфизм) болса, онда бейнелеу адал деп аталады. Егер V кешенді векторлық кеңістігі үшін негіз таңдалса, бейнелеуді жалпы сызықтық топқа гомоморфизм ретінде бейнелеуге болады. Бұл матрицалық бейнелеу деп аталады. V және W векторлық кеңістіктеріндегі G-дің екі бейнелеуі, егер V және W үшін таңдалған негіздерге қатысты бірдей матрицалық бейнелеулерге ие болса, эквивалентті болады. Берілген бейнелеу үшін, егер W, V-тің субкеңістігі болса және барлық және үшін болатын болса, онда W инвариантты субкеңістік деп айтылады. Егер V-тің жалғыз инвариантты субкеңістіктері нөлдік кеңістік пен V-нің өзі болса, онда бейнелеу азайтылмайтын болады. Ли тобының белгілі бір түрлері үшін, атап айтқанда, компактты және жартылай қарапайым топтар үшін, әрбір шекті өлшемді бейнелеу азайтылмайтын бейнелеулердің тікелей қосындысы ретінде ыдырайды, бұл қасиет толық азайтушылық деп аталады. Мұндай топтар үшін бейнелеу теориясының негізгі мақсаты – берілген топтың барлық шекті өлшемді азайтылмайтын бейнелеулерін изоморфизмге дейін жіктеу. (Тіркеу бөлімін қараңыз.) Шекті өлшемді ішкі көбейту кеңістігіндегі бірлік бейнелеу дәл осылай анықталады, бірақ бірлік операторлар тобына гомоморфизмдеуі керек. Егер G – компактты Ли тобы болса, онда әрбір шекті өлшемді бейнелеу бірлік бейнелеуге эквивалентті болады. нөлдік емес бүтін сан үшін, өлшемді азайтылмайтын бейнелеуді дәрежелі гомогенді гармоникалық полиномдар кеңістігі ретінде жүзеге асыруға болады. Мұнда SO(3) функцияларға айналулардың әдеттегі әсерімен әрекет етеді.
for V and W.
Given a representation , we say that a subspace W of V is an invariant subspace if for all and The representation is said to be irreducible if the only invariant subspaces of V are the zero space and V itself. For certain types of Lie groups, namely compact and semisimple groups, every finite dimensional representation decomposes as a direct sum of irreducible representations, a property known as complete reducibility. For such groups, a typical goal of representation theory is to classify all finite dimensional irreducible representations of the given group, up to isomorphism. (See the Classification section below.) A unitary representation on a finite dimensional inner product space is defined in the same way, except that is required to map into the group of unitary operators. If G is a compact Lie group, every finite dimensional representation is equivalent to a unitary one. For each non negative integer , the irreducible representation of dimension can be realized as the space of homogeneous harmonic polynomials on of degree Here, SO(3) acts on in the usual way that rotations act on functions on :
The restriction to the unit sphere of the elements of are the spherical harmonics of degree
If, say, , then all polynomials that are homogeneous of degree one are harmonic, and we obtain a three dimensional space spanned by the linear polynomials , , and If , the space is spanned by the polynomials , , , , and
As noted above, the finite dimensional representations of SO(3) arise naturally when studying the time independent Schrödinger equation for a radial potential, such as the hydrogen atom, as a reflection of the rotational symmetry of the problem. (See the role played by the spherical harmonics in the mathematical analysis of hydrogen.)
Элементтердің бірлік сфераға шектелуі дәрежелі сфералық гармоникаларды құрайды.
Мысалы, егер , онда бірінші дәрежелі гомогенді барлық полиномдар гармоникалық болады және біз сызықтық полиномдар , және арқылы кеңейтілген үш өлшемді кеңістік аламыз. Егер , онда кеңістігі полиномдар , , , және арқылы кеңейтіледі.
Жоғарыда айтылғандай, SO(3) шекті өлшемді бейнелеулері, радиалды потенциалы бар, мысалы, сутегі атомы үшін уақыттан тәуелсіз Шредингер теңдеуін зерттегенде табиғи түрде пайда болады, бұл мәселенің айналу симметриясының көрінісі. (Сутегінің математикалық талдауында сфералық гармоникалардың атқаратын рөлін қараңыз.)
for V and W.
Given a representation , we say that a subspace W of V is an invariant subspace if for all and The representation is said to be irreducible if the only invariant subspaces of V are the zero space and V itself. For certain types of Lie groups, namely compact and semisimple groups, every finite dimensional representation decomposes as a direct sum of irreducible representations, a property known as complete reducibility. For such groups, a typical goal of representation theory is to classify all finite dimensional irreducible representations of the given group, up to isomorphism. (See the Classification section below.) A unitary representation on a finite dimensional inner product space is defined in the same way, except that is required to map into the group of unitary operators. If G is a compact Lie group, every finite dimensional representation is equivalent to a unitary one. For each non negative integer , the irreducible representation of dimension can be realized as the space of homogeneous harmonic polynomials on of degree Here, SO(3) acts on in the usual way that rotations act on functions on :
The restriction to the unit sphere of the elements of are the spherical harmonics of degree
If, say, , then all polynomials that are homogeneous of degree one are harmonic, and we obtain a three dimensional space spanned by the linear polynomials , , and If , the space is spanned by the polynomials , , , , and
As noted above, the finite dimensional representations of SO(3) arise naturally when studying the time independent Schrödinger equation for a radial potential, such as the hydrogen atom, as a reflection of the rotational symmetry of the problem. (See the role played by the spherical harmonics in the mathematical analysis of hydrogen.)
Жобалау бейнелері
Егер біз SO(3) тобының Лай алгебрасын қарастырсақ, бұл Лай алгебрасы SU(2) тобының Лай алгебрасына изоморфты болады. Оның бейнелеу теориясы бойынша, әрбір өлшемде бір-бір редукцияланбайтын бейнелеу бар. Дегенмен, жұп өлшемді бейнелеулер SO(3) тобының бейнелеулеріне сәйкес келмейді. Алайда, осы "бөлшек спин" деп аталатын бейнелеулер SO(3) тобының проективтік бейнелеулеріне сәйкес келеді. Мұндай бейнелеулер электрон сияқты бөлшек спинді бөлшектердің кванттық механикасында пайда болады.
Өкілдіктер бойынша операциялар
Бұл бөлімде біз бейнелеулермен жасалатын үш негізгі амалды сипаттаймыз. Ли алгебрасының бейнелеулеріне қатысты сәйкес құрылымдарды да қараңыз.
Шолу
Көп жағдайда, Lie тобының өкілдіктерін зерттеу, оған қатысты Lie алгебрасының өкілдіктерін зерттеу арқылы ыңғайлы. Дегенмен, жалпы жағдайда, Lie алгебрасының әрбір өкілдігі Lie тобының өкілдігінен туындамайды. Мысалы, осы факті кванттық механикадағы бүтін спин мен жарты спин арасындағы айырмашылықтың себебі болып табылады. Екінші жағынан, егер G жай байланысқан топ болса, онда теорема бойынша, топ пен Lie алгебрасының өкілдіктері арасында біріншілік сәйкестік бар. G-ді Lie алгебрасымен жабдықталған Lie тобы деп алып, оның өкілдігі берілген деп есептейік. Lie сәйкестігін G тобының байланысқан компонентінің өкілдіктерін алу үшін қолдануға болады. Бұл, шамамен айтқанда, Lie алгебрасы өкілдігінің матрицаларының матрицалық экспонентасын есептеу арқылы жүзеге асырылады. Егер G жай байланысқан болмаса, қиындықтар туындайды. Бұл проективтік өкілдіктерге немесе физика тілінде G тобының көп мәнді өкілдіктеріне алып келуі мүмкін. Шын мәнінде, бұл G тобының әмбебап жапқыш тобының өкілдігі болып табылады. Бұл нәтижелер төменде толыққанды түсіндіріледі. Lie сәйкестігі тек топтардың байланысқан компоненттері үшін ғана нәтиже береді, сондықтан толық топтың қалған компоненттері осы компоненттерді ұсынатын матрицалар арқылы жеке қарастырылады, әр компонент үшін біреуі. Бұл G тобының нөлдік гомотопиялық тобын (немесе оның өкілдерін) құрайды. Мысалы, төрт компонентті Лоренц тобын қарастырғанда, кеңістіктік инверсия және уақытты кері айналдыру өкілдерін қолмен қосу қажет. Лоренц тобының өкілдік теориясынан қосымша мысалдар төменде келтіріледі.
These results will be explained more fully below. The Lie correspondence gives results only for the connected component of the groups, and thus the other components of the full group are treated separately by giving representatives for matrices representing these components, one for each component. These form (representatives of) the zeroth homotopy group of G. For example, in the case of the four component Lorentz group, representatives of space inversion and time reversal must be put in by hand. Further illustrations will be drawn from the representation theory of the Lorentz group below.
Гилберт кеңістіктеріндегі бірлік бейнелер
V – шексіз өлшемді болуы мүмкін күрделі Хилберт кеңістігі болсын, ал V-дегі унитар операторлар тобын білдірсін. G Lie тобының V-дегі унитарлық өкілдігі – бұл топ гомоморфизмі, онда әрбір бекітілген үшін, картасы G-ні V-ге үздіксіз түрде бейнелейді.
is a continuous map of G into V.
Шекті өлшемді бірлік бейнелеулер
Егер Гильберт кеңістігі V шекті өлшемді болса, онда оған сәйкес келетін өкілдік бар. Егер G байланысты болса, онда G-нің өкілдігі унитарлы болады, егер және ғана егер әрбір үшін ол косымша-өздік оператор болса. Егер G компактты болса, онда V шекті өлшемді векторлық кеңістігіндегі G-нің кез келген өкілдігі "унитарландырылатын" болады, яғни V-дегі ішкі көбейтуді таңдау мүмкін, сонда әрбір оператор унитарлы болады.
If is compact, then every representation of on a finite dimensional vector space V is "unitarizable," meaning that it is possible to choose an inner product on V so that each is unitary.
Шексіз өлшемді бірлік бейнелеулер
Егер Хилберт кеңістігі V шексіз өлшемді болса, унитарлық өкілдіктерді зерттеу шекті өлшемді жағдайда кездеспейтін бірқатар қызықты ерекшеліктерді қамтиды. Мысалы, Ли алгебрасының сәйкес өкілдігін құру техникалық тұрғыдан қиынға соғады. Ли алгебрасының өкілдігі жақсы түсінілетін жағдайлардың бірі – жартылай жай (немесе редуктивті) Ли топтары, онда байланысты Ли алгебрасының өкілдігі (g, K) модуль құрайды. Унитарлық өкілдіктердің мысалдары кванттық механикада және кванттық өріс теориясында, сондай-ақ келесі мысалда көрсетілгендей Фурье талдауында кездеседі. Есептеңіз, және кешенді Хилберт кеңістігі V болсын, өкілдік мына арқылы анықталады. Стоун-Вон Нейман теоремасын Гейзенберг тобының ирредуктибелді унитарлық өкілдіктерін жіктеу ретінде қарастыруға болады. Вигнердің Пуанкаре тобының өкілдіктерін жіктеуі кванттық өріс теориясында маңызды түсінік болып табылады, себебі ол бөлшектердің массасы мен спинін топтық теориялық тұрғыдан қалай түсінуге болатынын көрсетеді. SL(2,R) өкілдік теориясын В. Баргман жасады және ол ықшам емес жартылай жай Ли топтарының унитарлық өкілдіктерін зерттеудің үлгісі ретінде қызмет етеді.
Here are some important examples in which unitary representations of a Lie group have been analyzed. The Stone–von Neumann theorem can be understood as giving a classification of the irreducible unitary representations of the Heisenberg group. Wigner's classification for representations of the Poincaré group plays a major conceptual role in quantum field theory by showing how the mass and spin of particles can be understood in group theoretic terms. The representation theory of SL(2,R) was worked out by V. Bargmann and serves as the prototype for the study of unitary representations of noncompact semisimple Lie groups.
Жобалау бейнелері
Кванттық физикада, Lie тобының проекциялық унитарлық бейнелеулеріне көбінесе қызығушылық танытылады. Бұл қызығушылықтың себебі – кванттық жүйенің күйлері Гильберт кеңістігіндегі векторлармен бейнеленеді, бірақ екі күйдің тұрақтыға дейін айырмашылығы бар екендігін ескеру қажет, яғни олар физикалық жағынан бірдей. Гильберт кеңістігінің симметриялары унитарлық операторлармен сипатталады, бірақ бірлік матрицаның еселігі болып табылатын унитарлық оператор жүйенің физикалық күйін өзгерте алмайды. Сондықтан, бізді қарапайым унитарлық бейнелеулер, яғни унитарлық топқа гомоморфизмдер емес, проекциялық унитарлық бейнелеулер, яғни проективті унитарлық топқа гомоморфизмдер қызықтырады. Басқаша айтқанда, проекциялық бейнелеу үшін біз унитарлық операторлардың отбасын құрастырамыз, мұнда абсолюттік шамасы 1-ге тең тұрақтыға дейін өзгеруі «бірдей» оператор ретінде қарастырылады. Операторлар гомоморфизм қасиетін тұрақтыға дейін орындауы керек:
To put it differently, for a projective representation, we construct a family of unitary operators , where it is understood that changing by a constant of absolute value 1 is counted as "the same" operator. The operators are then required to satisfy the homomorphism property up to a constant:
We have already discussed the irreducible projective unitary representations of the rotation group SO(3) above; considering projective representations allows for fractional spin in addition to integer spin. Bargmann's theorem states that for certain types of Lie groups , irreducible projective unitary representations of are in one to one correspondence with ordinary unitary representations of the universal cover of Important examples where Bargmann's theorem applies are SO(3) (as just mentioned) and the Poincaré group. The latter case is important to Wigner's classification of the projective representations of the Poincaré group, with applications to quantum field theory. One example where Bargmann's theorem does not apply is the group The set of translations in position and momentum on form a projective unitary representation of but they do not come from an ordinary representation of the universal cover of —which is just itself. In this case, to get an ordinary representation, one has to pass to the Heisenberg group, which is a one dimensional central extension of (See the discussion here.)
Жоғарыда SO(3) айналу тобының ирредукцияланатын проекциялық унитарлық бейнелеулерін талқыладық; проекциялық бейнелеулерді қарастыру бүтін спинге қоса, бөлшектік спинге де мүмкіндік береді. Баргман теоремасы бойынша, Lie топтарының белгілі бір түрлері үшін, ирредукцияланатын проекциялық унитарлық бейнелеулер, оның әмбебап жабынының қарапайым унитарлық бейнелеулерімен бір-бірге сәйкес келеді. Баргман теоремасы қолданылатын маңызды мысалдар – SO(3) (жоғарыда айтылғандай) және Пуанкаре тобы. Соңғы жағдай Вингердің Пуанкаре тобының проекциялық бейнелеулерін классификациялауы үшін маңызды, және кванттық өріс теориясында қолданылады. Баргман теоремасы қолданылмайтын мысал – топ. Позиция және импульс бойынша трансляциялар жиынтығы –нің проекциялық унитарлық бейнелеуін құрайды, бірақ олар –нің әмбебап жабынының қарапайым бейнелеуінен туындамайды, ол өзіндік. Бұл жағдайда, қарапайым бейнелеуді алу үшін Хайзенберг тобына көшу керек, ол –нің бір өлшемді орталық кеңейтілуі (қараңыз, осы талқылау).
To put it differently, for a projective representation, we construct a family of unitary operators , where it is understood that changing by a constant of absolute value 1 is counted as "the same" operator. The operators are then required to satisfy the homomorphism property up to a constant:
We have already discussed the irreducible projective unitary representations of the rotation group SO(3) above; considering projective representations allows for fractional spin in addition to integer spin. Bargmann's theorem states that for certain types of Lie groups , irreducible projective unitary representations of are in one to one correspondence with ordinary unitary representations of the universal cover of Important examples where Bargmann's theorem applies are SO(3) (as just mentioned) and the Poincaré group. The latter case is important to Wigner's classification of the projective representations of the Poincaré group, with applications to quantum field theory. One example where Bargmann's theorem does not apply is the group The set of translations in position and momentum on form a projective unitary representation of but they do not come from an ordinary representation of the universal cover of —which is just itself. In this case, to get an ordinary representation, one has to pass to the Heisenberg group, which is a one dimensional central extension of (See the discussion here.)