Введение

Представление группы

В математике и теоретической физике представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве. Эквивалентно, представление является гладким гомоморфизмом группы в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Представления играют важную роль в изучении непрерывной симметрии. Об этих представлениях известно многое, а основным инструментом для их изучения является использование соответствующих "инфинитезимальных" представлений алгебр Ли.

Основные определения

Если гомоморфизм инъективен (т. е. мономорфизм), представление считается верным. Если выбрать базис для комплексного векторного пространства V, то представление может быть выражено как гомоморфизм в общую линейную группу. Это известно как матричное представление. Два представления G на векторных пространствах V и W эквивалентны, если они имеют одинаковые матричные представления относительно некоторого выбора базисов для V и W. Для заданного представления мы говорим, что подпространство W пространства V является инвариантным подпространством, если для всех и . Представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами V являются нулевое пространство и само V. Для определенных типов групп Ли, а именно компактных и полупростых групп, каждое конечномерное представление раскладывается как прямая сумма неприводимых представлений, свойство, известное как полная приводимость. Для таких групп типичной целью теории представлений является классификация всех конечномерных неприводимых представлений данной группы с точностью до изоморфизма. (См. раздел «Классификация» ниже.) Унитарное представление на конечномерном пространстве с внутренним произведением определяется аналогичным образом, за исключением того, что должно отображаться в группу унитарных операторов. Если G — компактная группа Ли, то каждое конечномерное представление эквивалентно унитарному. Для каждого неотрицательного целого числа неприводимое представление размерности можно реализовать как пространство однородных гармонических многочленов на степени . Здесь SO(3) действует на обычным образом, как вращения действуют на функции на : Ограничение на единичную сферу элементов являются сферическими гармониками степени . Если, например, , то все многочлены, однородные степени один, являются гармоническими, и мы получаем трехмерное пространство, порожденное линейными многочленами , , и . Если , то пространство порождено многочленами , , , , и . Как отмечалось выше, конечномерные представления SO(3) возникают естественным образом при изучении стационарного уравнения Шрёдингера для радиального потенциала, такого как атом водорода, как отражение вращательной симметрии задачи. (См. роль сферических гармоник в математическом анализе атома водорода.)

Проективные представления

Если мы рассмотрим алгебру Ли группы SO(3), то эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли группы SU(2). В соответствии с теорией представлений SU(2), существует одно неприводимое представление в каждой размерности. Однако, представления четной размерности не соответствуют представлениям группы SO(3). Эти так называемые представления с "дробным спином" соответствуют проективным представлениям SO(3). Эти представления возникают в квантовой механике частиц с дробным спином, таких как электрон.

Операции по представлениям

В этом разделе мы опишем три основные операции над представлениями. Также см. соответствующие конструкции для представлений алгебры Ли.

Обзор

Во многих случаях удобно изучать представления группы Ли, исследуя представления её алгебры Ли. Однако, в общем случае, не каждое представление алгебры Ли происходит от представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целым и полуцелым спином в квантовой механике. С другой стороны, если G – простосвязная группа, то теорема утверждает, что мы действительно получаем взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли. Пусть G – группа Ли с алгеброй Ли , и предположим, что у нас есть представление алгебры . Соответствие Ли может быть использовано для получения представлений группы для связной компоненты G. Грубо говоря, это достигается путем взятия матричной экспоненты матриц представления алгебры Ли. Трудность возникает, если G не является простосвязной. Это может привести к проективным представлениям или, на языке физики, многозначным представлениям G. Фактически, это представления универсальной накрывающей группы G. Эти результаты будут объяснены более подробно ниже. Соответствие Ли дает результаты только для связной компоненты группы, и, следовательно, остальные компоненты полной группы рассматриваются отдельно, путем задания представителей матриц, представляющих эти компоненты, по одному для каждой компоненты. Эти представители образуют нулевую гомотопическую группу G. Например, в случае четырехкомпонентной группы Лоренца, представители пространственной инверсии и обращения времени должны быть заданы вручную. Дальнейшие примеры будут взяты из теории представлений группы Лоренца ниже.

Унитарные представления на гильбертовых пространствах

Пусть V — комплексное гильбертово пространство, которое может быть бесконечномерным, и пусть обозначает группу унитарных операторов на V. Унитарное представление группы Ли G на V — это групповой гомоморфизм с тем свойством, что для каждого фиксированного , отображение является непрерывным отображением из G в V.

Определенномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V конечномерно, то существует ассоциированное представление алгебры Ли о том, что если группа связана, то представление является унитарным тогда и только тогда, когда для каждого . Если группа компактна, то каждое представление на конечномерном векторном пространстве V является "унитаризуемым", то есть можно выбрать внутреннее произведение на V так, чтобы каждый был унитарным.

Бесконечномерные унитарные представления

Если допускается, что пространство Гильберта V имеет бесконечное измерение, изучение унитарных представлений включает ряд интересных особенностей, которых нет в конечномерном случае. Например, построение подходящего представления алгебры Ли становится технически сложной задачей. Одной из областей, где представление алгебры Ли хорошо изучено, является случай полупростых (или редуктивных) групп Ли, где соответствующее представление алгебры Ли образует (g,K)-модуль. Примеры унитарных представлений возникают в квантовой механике и квантовой теории поля, а также в анализе Фурье, как показано в следующем примере. Пусть , и пусть комплексное гильбертово пространство V определяется как . Определим представление как

Вот некоторые важные примеры, в которых были проанализированы унитарные представления группы Ли. Теорема Стоуна — фон Неймана может быть интерпретирована как классификация неприводимых унитарных представлений группы Гейзенберга. Классификация Вигнера для представлений группы Пуанкаре играет важную концептуальную роль в квантовой теории поля, показывая, как масса и спин частиц могут быть поняты в терминах теории групп. Теория представлений SL(2,R) была разработана В. Баргманом и служит прототипом для изучения унитарных представлений некомпактных полупростых групп Ли.

Проективные представления

В квантовой физике часто интересуют проективные унитарные представления группы Ли. Причина этого интереса заключается в том, что состояния квантовой системы представляются векторами в гильбертовом пространстве, но с пониманием, что два состояния, отличающиеся постоянным множителем, фактически описывают одно и то же физическое состояние. Симметрии гильбертова пространства описываются унитарными операторами, однако унитарный оператор, являющийся кратным единичному оператору, не изменяет физическое состояние системы. Таким образом, нас интересуют не обычные унитарные представления – то есть гомоморфизмы в унитарную группу – а скорее проективные унитарные представления – то есть гомоморфизмы в проективную унитарную группу.

Иными словами, для проективного представления мы строим семейство унитарных операторов , где изменение на комплексный множитель с абсолютным значением 1 считается эквивалентным исходному оператору. Эти операторы должны удовлетворять свойству гомоморфизма с точностью до комплексного множителя:

Мы уже обсуждали неприводимые проективные унитарные представления группы вращений SO(3) выше; рассмотрение проективных представлений позволяет получить дробные спины в дополнение к целым спинам. Теорема Баргмана утверждает, что для определенных типов групп Ли, неприводимые проективные унитарные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными унитарными представлениями универсального покрытия . Важными примерами, где применима теорема Баргмана, являются SO(3) (как уже упоминалось) и группа Пуанкаре. Последний случай важен для классификации Вигнером проективных представлений группы Пуанкаре, с приложениями к квантовой теории поля. Пример, в котором теорема Баргмана неприменима, – это группа. Множество трансляций в координатах и импульсах на образует проективное унитарное представление , но оно не происходит из обычного представления универсального покрытия , которое является просто самой собой. В этом случае, чтобы получить обычное представление, необходимо перейти к группе Гейзенберга, которая является одномерным центральным расширением (см. обсуждение здесь).