Кіріспе
52 өлшемді ерекше қарапайым Лай тобы
ДИСПЛАЙТИТЛЕ: F4 (математика)
алаңы
DISPLAYTITLE:F4 (mathematics)
the field
Математикада F4 – Лай тобы және оның Лай алгебрасы f4. Ол бес ерекше қарапайым Лай тобының бірі. F4 4-рангты және 52 өлшемді. Компакт формасы жай байланысқан, ал оның сыртқы автоморфизм тобы тривиальды топ болып табылады. Оның фундаментальды бейнесі 26 өлшемді. F4-тің компактты нақты формасы – октаниондық проективті жазықтық OP2 деп аталатын 16 өлшемді Риман манифольдының изометриялық тобы. Бұл Ханс Фрейденталь мен Жак Титс жасаған «сиқырлы квадрат» деп аталатын құрылым арқылы жүйелі түрде қарастырылуы мүмкін. Оның 3 нақты формасы бар: компактты, бөлінген және үшінші форма. Олар үш нақты Альберт алгебрасының изометриялық топтары болып табылады. F4 Лай алгебрасы 36 өлшемді so(9) Лай алгебрасына спинор ретінде түрленетін 16 генераторды қосу арқылы құрастырылуы мүмкін, бұл E8 құрылысына ұқсас. Ескі кітаптар мен мақалаларда F4 кейде E4 деп белгіленеді.
Динкин диаграммасы
F4 үшін Динкин диаграммасы: .
Вейл/Коксетер тобы
Оның Вейл/Коксетер тобы 1=G = W(F4) 24 жақты клетканың симметрия тобы болып табылады: бұл 1152 реттік шешілетін топ. Оның ең төменгі инертті дәрежесі 1=μ(G) = 24, және ол 24 жақты клеткаға әрекет ету арқылы іске асырылады.
F4 тор
F4 тор - төрт өлшемді денеорталық кубтық тор (яғни, бір-бірінің ортасында орналасқан екі гиперкубтық тордың бірігісі). Олар Хурвиц квартерниондары сақинасын құрайды. Нормасы 1-ге тең 24 Хурвиц квартернионы бастапқы нүктеде орналасқан 24 ұяшықтың төбелерін құрайды.
F4 көптік инварианты
O(n) – x² + y² квадраттық полиномиалды өзгермейтін күйде сақтайтын автоморфизмдер тобы болғандай, F4 – 27 айнымалыдағы 3 полиномиалдан тұратын келесі жиынның автоморфизмдер тобы. (Бірінші полиномиалды екінші екеуіне оңай түрлендіріп, 26 айнымалыға келтіруге болады). Мұнда x, y, z нақты мәнді, ал X, Y, Z октаниондық мәнді болады. Бұл инварианттарды гермиттік октанион матрицасының Tr(M), Tr(M²) және Tr(M³) комбинациялары арқылы да жазуға болады.
Полиномиалдар жиыны 24 өлшемді, жабық бетті анықтайды.
Өкілдіктер
Нақты және күрделі Ли алгебралары мен Ли топтарының шекті өлшемді өкілдіктерінің сипаттамалары Вейль сипаттамалық формуласымен беріледі. Ең кіші ирредукцияланбайтын өкілдіктердің өлшемдері: 1, 26, 52, 273, 324, 1053 (екі рет), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (екі рет), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912.
1, 26, 52, 273, 324, 1053 (twice), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (twice), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912
The 52 dimensional representation is the adjoint representation, and the 26 dimensional one is the trace free part of the action of F4 on the exceptional Albert algebra of dimension 27. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 1053, 160056, 4313088, etc. The fundamental representations are those with dimensions 52, 1274, 273, 26 (corresponding to the four nodes in the Dynkin diagram in the order such that the double arrow points from the second to the third). Embeddings of the maximal subgroups of F4 up to dimension 273 with associated projection matrix are shown below.
52 өлшемді өкілдік – қосымша өкілдік, ал 26 өлшемді өкілдік – F4 әрекетінің 27 өлшемді ерекше Альберт алгебрасына қатысты ізсіз бөлігі. 1053, 160056, 4313088 және т.б. өлшемдерде екі изоморфты емес ирредукцияланбайтын өкілдіктер бар. Негізгі өкілдіктер – 52, 1274, 273, 26 өлшемді өкілдіктер (Динкин диаграммасындағы төрт түйінге сәйкес келеді, екі жебе екіншіден үшіншіге қарай бағытталған). 273 өлшемге дейінгі F4 максималды кіші топтарының тиісті проекциялық матрицасымен енгізілуі төменде көрсетілген.
1, 26, 52, 273, 324, 1053 (twice), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (twice), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912
The 52 dimensional representation is the adjoint representation, and the 26 dimensional one is the trace free part of the action of F4 on the exceptional Albert algebra of dimension 27. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 1053, 160056, 4313088, etc. The fundamental representations are those with dimensions 52, 1274, 273, 26 (corresponding to the four nodes in the Dynkin diagram in the order such that the double arrow points from the second to the third). Embeddings of the maximal subgroups of F4 up to dimension 273 with associated projection matrix are shown below.